统计学习方法之决策树

r囧r小猫 2022-12-01 14:19 141阅读 0赞

# 1.前言 #

你要是愿意流浪，我陪你到海角天边；你如果想要安顿，我便日出日落柴米油盐；你是我想捧在手心里，一直都看不够的小紫罗兰。我觉得我已经幸福的过了头，当你在我的梦中出现的时候；前一生我不小心用石头砸到了你的头，所以这一辈子你就像石头一样敲碎我的心。但是守候一颗石头的快乐，却使我笑成了个傻子；此段纯属废话 ，不用理会；

# 2.决策树 #

决策树的思想是使用树的形式来还原特征和类别之间的关系，树根和树杈表示的是特征，树叶表示的是类别；当我们树生成之后，每一组新的特征便可以沿着树找到自己对应的分类；达到最终实现分类的目的；下图是为我从别处盗过来的一张图，描述了拥有房产、是否结婚、月输入几个维度对于贷款偿还能力的影响；

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dhb2JpbmcxOTkz_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

![20200827170111306.png][]

我们考虑如何根据第一幅图中的数据生成下面这么一棵树，整体流程就是不断找用来分类的特征，生成子节点，直到结束；先解释一些名词图中第一个圆圈是整棵树开始的节点叫做根节点，后面的圆圈都叫做内部节点，方框的节点是用来分类的叫做叶子节点；

随便的画一棵树太简单了，但这那样的树用来分类效果往往会很差。究其原因有两点，一根节点的选择不科学，二没有确定什么时候结束，如果用完所有的特征往往容易导致过拟合；接下来解决这两个问题；

1.如何选择分类特征

我们先定一下分类特征选择的原则，既然是分类那么原则就是分类后每个类别中数据的一致性；如何来衡量这种一致性呢？我们引入了几个的概念；

1)熵:熵可以用来衡量一组信息的混乱程度，也就是该信息所携带的信息量；信息量越大则该条信息越混乱；举个例子，第一条信息是：马云家里面已经穷的揭不开锅了；第二条是马云在杭州繁华市区买了一套房子；很明显第一条信息的信息量更大，是不是因为他对钱不感兴趣，把钱都丢了？是不是因为他遇到诈骗团伙了？阿里巴巴出什么事了？可以看出越是不可思议的事情所携带的信息量就越大，而这个信息量也可以表示出该条信息背后的潜台词(据科学家说整个宇宙都再做一种熵增运动，所以宇宙运行的方向是混乱，现在明白为什么懒惰很舒服，而勤奋却很痛苦了吧，因为懒惰是熵增而勤奋是熵减，勤奋就是在逆天行道；古代人讲究自然无为，也许他们老子已经领悟了熵增之道吧！当然熵增在不同时代表现是不一样的，通过 判断熵增的方向，就可以知道人心的方向，从而判断出世界运行的方向。)对不起，扯远了！

信息熵的公式是这样的:简单表达就是：- 概率\*log概率，因为概率\*log概率为负的所以前面要加-号变为正

![H(X) = -\\sum\_\{i=1\}^\{n\} pi\*logpi][H_X_ _ -_sum_i_1_n_ pi_logpi]

2）条件熵：条件熵可以用来衡量按照某个类别分类后的混乱程度,即已知某个条件下，另外一个变量的熵。简单解释就是，按照特征x分类后y的熵的数学期望（期望简单来说就是从中随便取一个数可能是多少，离散型的期望就是加权平均，连续型的期望就是积分）；计算过程就是，按照x条件将原始数据分类，对每一类求熵，然后把所有的熵乘以其对应的概率加和；

![20200827184442811.png][]

3)经验熵和经验条件熵：如果熵和熵中的概率由数据估计(如最大似然估计)得到时，所对应熵和条件熵称为经验熵和经验条件熵。

4）信息增益：原始的熵是H(X),按照某个特征分类之后的熵变成了H(Y|X),那么用H(X)-H(Y|X)就是要求的信息增益，即分类后信息的混乱程度下降了多少；

![g(D,A) =H(D) - H(D|A)][g_D_A_ _H_D_ - H_D_A]

5)其实我们取信息增益最大的特征作为分类的特征就可以了，这种方式成为ID3

6)信息增益比 但是上面基于信息增益的特征选择有一个问题就是，如果基于某个特征正好可以原来数据分为很多类，每一类的条件熵都为0的话，整体的信息增益就非常大，但明显看出来这样分类的效果并不好；

为了解决信息增益偏好选择种类多的特征的问题，我们引入了信息增益比，即用信息增益/数据关于特征的值的熵(即特征本身的混乱程度) 得到最后的特征选择。如果按照某个特征分为将原来数据分为很多类，那么分类后数据的熵就会偏大，被选中的可能性就会降低；这种方法称为C4.5 公式如下：

![20200827190802919.png][]

2.构建树的过程

下图是我从网上盗的一张图，描述了构建树的过程。说白了就是按照id3或者c4.5不断寻找能分类的特征，对数据集进行划分，生成子节点，如果节点信息增益小于阈值或者类别一致就停止，置为叶子节点；叶子节点的属性由其最大数量的实例决定；这种使用阈值剪枝的过程叫做预剪枝。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dhb2JpbmcxOTkz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

3.树剪枝

上面的使用阈值限定树的深度的方法称为预剪枝，还有一种方法是对树进行后剪枝。剪枝的主要原则是，由下到上将一个分类节点变为叶子节点，该分类节点原来的子节点就会被剪掉。判断损失函数是不是会下降，如果下降了则将其剪掉。

损失函数如下：解释为 损失=所有叶子节点的熵+惩罚项α\*叶子节点数量；所有叶子节点熵衡量了模型拟合的好坏，惩罚项和叶子节点数量是为了防止过拟合。更少更好是我们追求的目标。

![20200827194617547.png][]

# 3.cart #

上面我们构建出来的树，都是用来分类的。如果要进行回归任务的话，我们需要进行一些改变。cart可以用来构建分类树，也可以构建决策树。这是一种二分分割的思想，所以cart切分出来的是一棵二叉树。分类的时候，特征的选择采用gini系数。

gini系数,可以用来衡量一组数据的不纯度。和C4.5方法一样，我们找到一个特征使得切分后的ginigain(gini收益)最大，作为分裂的特征。

下面就是gini系数的公式。

![20201026165443576.png][]

cart做回归的时候，只用mse来寻找切分变量和切分点。按照某一个特征的某个点切分之后，两个子空间的mse损失最小，那么就选择该特征和对应的点作为切分变量和切分点。每一个子空间的输出值为数据的均值。

# 4.总结 #

决策树就是以熵减为原则，构建一棵用于分类的树。树的构建过程就是不断寻找可分类的特征，生成子节点，直到满足类别一致或者熵低于阈值而结束，判定为叶子节点，叶子节点的属性由其中最大数量的实例属性决定。有两种防止过拟合的方法，一种是使用阈值预剪枝，一种是使用带有惩罚项的损失函数进行后剪枝。之后还有用于二分类的CART算法，其实就是使用二分类交叉熵代替了传统的熵，在此不做详细的解释。各位看官，咋们曲终、人散。

开个脑洞，刚才看到一个视频说人类世界可能是被某种外在生命模拟出来的,我在想，其它的一切模拟从可行性的角度来讲都没有什么问题。只是意识这个东西是如何模拟的呢？也就是说如何让游戏人物真正的觉得烦躁不安，但是让游戏人物真正的觉得烦躁不安又有什么实际的意义呢？合理的解释是，游戏人物的得失一定对应着一个现实中人物的喜怒哀乐，我们的意识来自外在世界。反推过去就是，人生的悲欢离合一定对应着某个外在生命的不同体验。如果我们的灵魂就是那个外在生命呢？他在这里穿着一套肉体的装备就是为了得到一种体验，而且这种体验是沉浸式的，在游戏的过程中你完全感觉不到自己是在游戏。而且为了保证游戏的公平性，你也不能去随意改变游戏的规则，只能靠着开发者提供的方法去获得金币。这款游戏刚上市的时候，玩的人比较少。然后越来越火，玩的人也就越来越多，到现在有60多亿人同时在玩。为了防止沉迷，每局不会超过100年。可是为什么要体验这种痛苦、无助、软弱无力呢？可能是我们的那个世界太幸福了；可能是财富分配不公，精英们设计了这款游戏让穷人发泄；又或者这就是一种犯罪的惩罚，我觉得这种是最靠谱的猜想；上帝啊！我绕来绕去还是绕到了你这里。

【高燃现场】中文字幕LiSA—Rising Hope燃爆全场【1080P】

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dhb2JpbmcxOTkz_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221123/85f2d41230d247ed873121d1dd1de58b.png
[20200827170111306.png]: /images/20221123/a18bc82343ff46f6b3bf6f1ddd8010aa.png
[H_X_ _ -_sum_i_1_n_ pi_logpi]: https://private.codecogs.com/gif.latex?H%28X%29%20%3D%20-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20pi*logpi
[20200827184442811.png]: /images/20221123/9ede4346bc1048428dafc499f3b27be0.png
[g_D_A_ _H_D_ - H_D_A]: https://private.codecogs.com/gif.latex?g%28D%2CA%29%20%3DH%28D%29%20-%20H%28D%7CA%29
[20200827190802919.png]: /images/20221123/35a82b9532934ba5a31660bfca655f61.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dhb2JpbmcxOTkz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221123/8955d68668cd4dff859c5ee9bbdb02de.png
[20200827194617547.png]: /images/20221123/22b7a8ff3800458a8364964632af98a1.png
[20201026165443576.png]: /images/20221123/998feeacfadd461cb454e0dba66a4bba.png