多重背包问题

╰半夏微凉° 2022-11-27 07:24 208阅读 0赞

# 多重背包问题 #

## 1、参考资料 ##

https://blog.csdn.net/qq\_38984851/article/details/81133840

https://www.cnblogs.com/mfrank/p/10816837.html

## 2、问题描述 ##

有 `N` 种物品和一个容量为 `T` 的背包，第 `i` 种物品最多有 `M[i]` 件可用，价值为 `P[i]`，体积为 `V[i]`，求解：选哪些物品放入背包，可以使得这些物品的价值最大，并且体积总和不超过背包容量。

对比一下完全背包，其实只是多了一个限制条件，完全背包问题中，物品可以选择任意多件，只要你装得下，装多少件都行。但多重背包就不一样了，每种物品都有指定的数量限制，所以不是你想装，就能一直装的。

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举个栗子：有 `A`、`B`、`C` 三种物品，相应的数量、价格和占用空间如下表：

## 3、代码思路 ##

1.  采用自上而下的填表法，完全背包对放入背包的数量数量没有限制，多重背包对放入背包的数量数量有限制
2.  状态转移方程为：`dp[i][w] = Math.max(dp[i][w], dp[i - 1][w - c * wt[i]] + c * val[i]);`，其中 `c` 为第 `i` 个物品放入背包的数量
3.  状态转移方程的意思为：将第 `i` 个物品一件一件地放入背包中，并找出其中最大价值的方案

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其实填个表就明白了

## 4、代码实现 ##

*  代码

/**
     * @ClassName MultiplePackDemo
     * @Description TODO
     * @Author Heygo
     * @Date 2020/8/14 10:56
     * @Version 1.0
     */
    public class MultiplePackDemo {
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
    
            int maxValue = multiplePack(15, 3, new int[]{
        -1, 2, 3, 4}, new int[]{
        -1, 3, 4, 5}, new int[]{
        -1, 4, 3, 2});
            System.out.println(maxValue);
    
        }
    
        /**
         * 多重背包问题
         *
         * @param W     背包的重量
         * @param N     现有物品的数量
         * @param wt    物品的重量
         * @param val   物品的价值
         * @param count 物品的数量
         * @return 背包中物品的最大价值
         */
        public static int multiplePack(int W, int N, int[] wt, int[] val, int[] count) {
        
    
            // dp[i][w] 表示：对于前 i 个物品，当背包容量为 w 时，能放下的最大价值为 dp[i][w]
            int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
    
            // 从第一个物品开始，一个一个放入物品
            for (int i = 1; i <= N; i++) {
        
                // 背包重量逐渐增大，尝试放入物品
                for (int w = 1; w <= W; w++) {
        
                    // 将第 i 件物品一件一件放入，直到放不下为止
                    for (int c = 0; c <= count[i] && c * wt[i] <= w; c++) {
        
                        // 尝试将第 i 件物品一件一件放入背包，从中取出价值最大的方案
                        dp[i][w] = Math.max(dp[i][w], dp[i - 1][w - c * wt[i]] + c * val[i]);
                    }
                }
            }
    
            for (int[] ints : dp) {
        
                System.out.println(Arrays.toString(ints));
            }
    
            return dp[N][W];
        }
    
    }

*  程序运行结果

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
    [0, 0, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12]
    [0, 0, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21]
    [0, 0, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21]
    21

## 5、代码优化 ##

> **代码优化分析**

1.  上述代码嵌套了三层 `for` 循环，其实可以进行优化，以 `wt[i]` 表示第 `i` 件物品的重量，以 `val[i]` 表示第 `i` 件物品的价值，以 `count[i]` 表示第 `i` 件物品的数量，以 `W` 表示当前背包的重量
2.  优化思路为：如果 `count[i]*wt[i]>=W`，这就说明物品 `i` 的数量其实没有限制，那么可以将第 `i` 件物品当做完全背包来处理，否则就只能当做多重背包来处理
3.  我们还可以将二维数组`dp[][]`优化为一维数组`dp[]`，`dp[w]` 表示放入第 `i`(数组下标) 个物品、背包容量为 `w` 时，背包中物品的最大价值

> **代码实现**

*  代码

/**
     * @ClassName MultiplePackDemo
     * @Description TODO
     * @Author Heygo
     * @Date 2020/8/14 10:56
     * @Version 1.0
     */
    public class MultiplePackDemo {
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
    
            int maxValue = multiplePack(15, 3, new int[]{
        -1, 2, 3, 4}, new int[]{
        -1, 3, 4, 5}, new int[]{
        -1, 4, 3, 2});
            System.out.println(maxValue);
    
        }
    
        /**
         * 多重背包问题
         *
         * @param W     背包的重量
         * @param N     现有物品的数量
         * @param wt    物品的重量
         * @param val   物品的价值
         * @param count 物品的数量
         * @return 背包中物品的最大价值
         */
        public static int multiplePack(int W, int N, int[] wt, int[] val, int[] count) {
        
    
            // dp[w] 表示：对于前 i(数组下标) 个物品，当背包容量为 w 时，能放下的最大价值为 dp[w]
            int[] dp = new int[W + 1];
    
            // 从第一个物品开始，一个一个放入物品
            for (int i = 1; i <= N; i++) {
        
    
                // 如果 count[i] * wt[i] >= W，说明当前物品数量无限制，当做完全背包来做
                if (count[i] * wt[i] >= W) {
        
    
                    // 完全背包的写法：升序（第 i 件物品可重复放入）
                    for (int w = wt[i]; w <= W; w++) {
        
                        dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - wt[i]] + val[i]);
                    }
    
                } else {
        
                    // 0-1 背包的写法：降序（第 i 次的最大价值依赖于第 i-1 次的最大价值）
                    for (int w = W; w >= wt[i]; w--) {
        
                        // 尝试将第 i 件物品，一件一件放入背包
                        for (int c = 0; c <= count[i] && c * wt[i] <= w; c++) {
        
                            dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - c * wt[i]] + c * val[i]);
                        }
                    }
    
                }
    
                System.out.println(Arrays.toString(dp));
    
            }
    
            return dp[W];
        }
    
    }

*  程序运行结果

[0, 0, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12]
    [0, 0, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21]
    [0, 0, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21]
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