第 8 章查找算法

比眉伴天荒 2022-11-25 00:44 87阅读 0赞

# 第 8 章 查找算法 #

## 1、查找算法介绍 ##

*  顺序(线性)查找
 *  二分查找/折半查找
 *  插值查找
 *  斐波那契查找

## 2、线性查找 ##

*  编写线性查找算法代码

public class SeqSearch {
        
    
    	public static void main(String[] args) {
        
    		int[] arr = {
         1, 2, 3, 4, 5 };// 没有顺序的数组
    		int index = seqSearch(arr, -11);
    		if (index == -1) {
        
    			System.out.println("没有找到到");
    		} else {
        
    			System.out.println("找到，下标为=" + index);
    		}
    	}
    
    	/**
    	 * 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
    	 * 
    	 * @param arr
    	 * @param value
    	 * @return
    	 */
    	public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
        
    		// 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标
    		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
    			if (arr[i] == value) {
        
    				return i;
    			}
    		}
    		return -1;
    	}
    
    }

*  程序运行结果

找到，下标为=4

## 3、二分查找 ##

### 3.1、二分查找思路 ###

*  **二分查找算法的前提：数组必须是有序数组**
 *  二分查找算法思路分析（递归版）：
    
     *  定义两个辅助指针：left、right ，待查找的元素在 arr\[left\]~arr\[right\] 之间
     *  left 初始值为 0 ，right 初始值为 arr.length - 1
     *  **将数组分成两半：int mid = (left + right) / 2; ，取数组中间值与目标值 findVal 比较**
        
         *  如果 mid > findVal ，说明待查找的值在数组左半部分
         *  如果 mid < findVal ，说明待查找的值在数组右半部分
         *  如果 mid == findVal ，查找到目标值，返回即可
     *  何时终止递归？分为两种情况：
        
         *  找到目标值，直接返回目标值 findVal ，结束递归即可
         *  **未找到目标值：left > right**，这样想：如果递归至数组中只有一个数时（left == right），还没有找到目标值，继续执行下一次递归时， left 指针和 right 指针总有一个会再走一步，这时 left 和 right 便会错开，此时 left > right ，返回 -1 并结束递归表示没有找到目标值

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### 3.2、代码实现 ###

#### 3.2.1、二分查找（单个值） ####

*  编写二分查找算法：查找到目标值就返回

//注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
    public class BinarySearch {
        
    
    	public static void main(String[] args) {
        
            
    		int arr[] = {
         1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };
    		int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
    		System.out.println("resIndex=" + resIndex);
    
    	}
    
    	// 二分查找算法
    	/**
    	 * 
    	 * @param arr     数组
    	 * @param left    左边的索引
    	 * @param right   右边的索引
    	 * @param findVal 要查找的值
    	 * @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
    	 */
    	public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
        
    
    		// 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
    		if (left > right) {
        
    			return -1;
    		}
    		int mid = (left + right) / 2;
    		int midVal = arr[mid];
    
    		if (findVal > midVal) {
         // 向 右递归
    			return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
    		} else if (findVal < midVal) {
         // 向左递归
    			return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
    		} else {
        
    
    			return mid;
    		}
    
    	}
        
    }

*  程序运行结果

resIndex=4

#### 3.2.2、二分查找（所有值） ####

*  编写二分查找算法：查找到所有目标值，在找到目标值之后，分别往左、往右进行扩散搜索

//注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
    public class BinarySearch {
        
    
    	public static void main(String[] args) {
        
    		
    		int arr[] = {
         1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1000, 1234 };
    		List<Integer> resIndexList = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
    		System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);
    		
    	}
    
    
    	// 完成一个课后思考题:
    	/*
    	 * 课后思考题： {1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中， 有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的
    	 * 1000
    	 * 
    	 * 思路分析 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    	 * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList 4. 将Arraylist返回
    	 */
    
    	public static List<Integer> binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
        
    		
    		// 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
    		if (left > right) {
        
    			return new ArrayList<Integer>();
    		}
    		int mid = (left + right) / 2;
    		int midVal = arr[mid];
    
    		if (findVal > midVal) {
         // 向 右递归
    			return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
    		} else if (findVal < midVal) {
         // 向左递归
    			return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
    		} else {
        
    			// 思路分析
    			// 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
    			// 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    			// 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    			// 4. 将Arraylist返回
    
    			List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
    			// 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    			int temp = mid - 1;
    			while (true) {
        
    				if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {
        // 退出
    					break;
    				}
    				// 否则，就temp 放入到 resIndexlist
    				resIndexlist.add(temp);
    				temp -= 1; // temp左移
    			}
    			resIndexlist.add(mid); //
    
    			// 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    			temp = mid + 1;
    			while (true) {
        
    				if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {
        // 退出
    					break;
    				}
    				// 否则，就temp 放入到 resIndexlist
    				resIndexlist.add(temp);
    				temp += 1; // temp右移
    			}
    
    			return resIndexlist;
    		}
    
    	}
    }

*  程序运行结果

resIndexList=[4, 5, 6]

## 4、插值查找 ##

### 4.1、插值查找基本介绍 ###

*  插值查找算法类似于二分查找， 不同的是插值查找每次从自适应 mid 处开始查找。

### 4.2、插值查找图解 ###

*  将折半查找中的求 mid 索引的公式 , low 表示左边索引 left ，high 表示右边索引 right ，key 就是前面我们讲的 findVal
 *  图中公式：**int mid = low + (high - low) \* (key - arr\[low\]) / (arr\[high\] - arr\[low\]) ;**
    
    对应前面的代码公式：
    
    int mid = left + (right – left) \* (findVal – arr\[left\]) / (arr\[right\] – arr\[left\])

![image-20200716214044658][]

*  大致思路和二分查找一样，有如下不同：
    
     *  寻找 mid 公式不同：
        
        int mid = left + (right – left) \* (findVal – arr\[left\]) / (arr\[right\] – arr\[left\]);
     *  由于公式中出现 findVal ，所以 findVal 的值不能过大或者过小，否则会引起 mid 过大或过小，引起数组越界问题，
        
         *  添加判断：**findVal < arr\[left\] 和 findVal > arr\[right\]**
         *  why？findVal = arr\[left\] 时，mid = left；findVal = arr\[right\] 时，mid = right；

![image-20200806192300479][]

### 4.3、代码实现 ###

*  编写插值查找算法

public class InsertValueSearch {
        
    
    	public static void main(String[] args) {
        
    		
    		int [] arr = new int[100];
    		for(int i = 0; i < 100; i++) {
        
    			arr[i] = i + 1;
    		}		
    		int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);
    		System.out.println("index = " + index);
    
    	}
    
    	//编写插值查找算法
    	//说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
    	/**
    	 * 
    	 * @param arr 数组
    	 * @param left 左边索引
    	 * @param right 右边索引
    	 * @param findVal 查找值
    	 * @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
    	 */
    	public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
         
    
    		System.out.println("插值查找次数~~");
    		
    		//注意：findVal < arr[left]  和  findVal > arr[right] 必须需要，否则我们得到的 mid 可能越界
    		// findVal < arr[left] ：说明待查找的值比数组中最小的元素都小
             // findVal > arr[right] ：说明待查找的值比数组中最大的元素都大
             if (left > right || findVal < arr[left] || findVal > arr[right]) {
        
    			return -1;
    		}
    
    		// 求出mid, 自适应，额，这不就是一次函数吗
             // findVal = arr[left] 时，mid = left
             // findVal = arr[right] 时，mid = right
    		int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
    		int midVal = arr[mid];
    		if (findVal > midVal) {
         // 说明应该向右边递归
    			return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
    		} else if (findVal < midVal) {
         // 说明向左递归查找
    			return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
    		} else {
        
    			return mid;
    		}
    
    	}
    }

*  程序运行结果

插值查找次数~~
    index = 0

### 4.4、总结 ###

*  对于**数据量较大，关键字分布比较均匀**（最好是线性分布）的查找表来说，采用插值查找，速度较快
 *  关键字分布不均匀的情况下， 该方法不一定比折半查找要好

## 5、斐波那契查找 ##

### 5.1、斐波那契数列 ###

*  黄金分割点是指把一条线段分割为两部分， 使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。 取其前三位数字的近似值是 0.618。 由于按此比例设计的造型十分美丽， 因此称为黄金分割， 也称为中外比。 这是一个神奇的数字， 会带来意想不到的效果。
 *  斐波那契数列 \{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \} 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例， 无限接近 黄金分割值 0.618

### 5.2、斐波那契查找介绍 ###

*  那为什么一定要等分呐？能不能进行“黄金分割”？也就是 mid = left+0.618(right-left) ，当然mid 要取整数。如果这样查找，时间复杂性是多少？也许你还可以编程做个试验，比较一下二分法和“黄金分割”法的执行效率。
 *  斐波那契查找算法又称为黄金分割法查找算法，斐波那契查找原理与前两种相似， 仅仅改变了中间结点（mid） 的位置，mid 不再是中间或由插值计算得到，而是位于黄金分割点附近， 即 mid = low + F(k-1) - 1
 *  对 F(k)-1 的理解
    
     *  由斐波那契数列 F\[k\]=F\[k-1\]+F\[k-2\] 的性质， 可以得到
    
        F[k]-1） =（F[k-1]-1） +（F[k-2]-1） + 1
    
     *  该式说明：**只要顺序表的长度为 F\[k\]-1， 则可以将该表分成长度为 F\[k-1\]-1 和 F\[k-2\]-1 的两段** ，即如图所示。 从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1 ，类似的， 每一子段也可以用相同的方式分割
     *  但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F\[k\]-1， 所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F\[k\]-1。 这里的 k 值只要能使得 F\[k\]-1 恰好大于或等于 n 即可
     *  为什么数组总长度是 F(k) - 1 ，而不是 F(k) ？**因为凑成 F(k-1) 才能找出中间值**，如果数组长度为 F(k) ，而 F(k) = F(k-1) + F(k-2) ，咋个找中间值嘞？
     *  为什么数组左边的长度是 F(k-1) - 1 ，数组右边的长度是 F(k-2) - 1 ？就拿个斐波那契数列来说：\{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \} ，54 = 33 + 20 + 1 ，左边是不是 F(k-1) - 1 ，右边是不是 F(k-2) - 1 ，也恰好空出了一个中间值~~~

![image-20200716222835639][]

### 5.3、斐波那契查找思路 ###

*  先根据原数组大小，计算斐波那契数列的得 k 值
 *  数组扩容条件是：增大 k 值（索引从 0 开始），使得数组长度刚好大于或者等于斐波那契数列中的 F\[k\]-1 ，我们定义临时数组 temp ，temp 后面为 0 的元素都按照数组最大元素值填充
 *  何时终止斐波那契查找？
    
     *  找到目标值：直接返回目标值索引
     *  没有找到目标值：low 指针和 high 指针相等或者擦肩而过，即 **low >= high**
 *  为什么 low == high 时需要单独拎出来？
    
     *  **low == high 时说明此时数组中只剩下一个元素（a\[low\] 或者 a\[high\]）没有与目标值比较，并且此时 k 有可能等于 0 ，无法执行 mid = low + f\[k - 1\] - 1; 操作（k - 1 将导致数组越界）**
     *  解决办法：我们在程序的最后，将 a\[low\] 或者 a\[high\] 单独与目标值 value 进行比较即可，我是通过 Debug 解决数组越界异常的，我并没有想明白，但是不把 low == high 单独拎出来，就会抛异常，哎，烧脑壳~~~改天再想
 *  mid 值怎么定？**mid = low + f\[k - 1\] - 1** ：用黄金分割点确定 mid 的值
 *  左右两条路，你怎么选？
    
     *  key < temp\[mid\] ：目标值在黄金分割点的左边，看上面的图，应该是 **k -= 1;**
     *  key > temp\[mid\] ：目标值在黄金分割点的右边，看上面的图，应该是 **k -= 2;**
     *  key = temp\[mid\] ：找到目标值，因为数组经历过扩容，后面的值其实有些是多余的，mid 可能会越界（相对于原数组来说）
        
         *  mid <= high ：证明 mid 索引在原数组中，返回 mid
         *  mid > high 时，证明 mid 索引已经越界（相对于原数组来说），返回 high

### 5.4、代码实现 ###

*  编写斐波那契查找算法

public class FibonacciSearch {
        
    
    	public static int maxSize = 20;
    
    	public static void main(String[] args) {
        
    
    		int[] arr = {
         1, 2, 3, 4, 5 };
    		System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 5));
    
    	}
    
    	// 因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    	// 非递归方法得到一个斐波那契数列
    	public static int[] fib() {
        
    		int[] f = new int[maxSize];
    		f[0] = 1;
    		f[1] = 1;
    		for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
        
    			f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    		}
    		return f;
    	}
    
    	// 编写斐波那契查找算法
    	// 使用非递归的方式编写算法
    	/**
    	 * 
    	 * @param a   数组
    	 * @param key 我们需要查找的关键码(值)
    	 * @return 返回对应的下标，如果没有-1
    	 */
    	public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        
    		int low = 0;
    		int high = a.length - 1;
    		int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
    		int mid = 0; // 存放mid值
    		int f[] = fib(); // 获取到斐波那契数列
    		// 获取到斐波那契分割数值的下标
    		while (high > f[k] - 1) {
        
    			k++;
    		}
    		// 因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
    		// 不足的部分会使用0填充
    		int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
    		// 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
    		// 举例:
    		// temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234,
    		// 1234,}
    		for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
        
    			temp[i] = a[high];
    		}
    
    		// 使用while来循环处理，找到我们的数 key
    		while (low < high) {
         // 只要这个条件满足，就可以找
    			mid = low + f[k - 1] - 1;
    			if (key < temp[mid]) {
         // 我们应该继续向数组的前面查找(左边)
    				high = mid - 1;
    				// 为甚是 k--
    				// 说明
    				// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
    				// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
    				// 因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
    				// 即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
    				// 即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
    				k--;
    			} else if (key > temp[mid]) {
         // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
    				low = mid + 1;
    				// 为什么是k -=2
    				// 说明
    				// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
    				// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
    				// 3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
    				// 4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
    				// 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
    				k -= 2;
    			} else {
         // 找到
    				// 需要确定，返回的是哪个下标
    				if (mid <= high) {
        
    					return mid;
    				} else {
        
    					return high;
    				}
    			}
    		}
    		if(a[low]==key) {
        
    			return low;
    		}
    		else {
        
    			return -1;
    		}
    	}
    }

*  程序运行结果

index=4

[image-20200806191557572]: /images/20221124/1bb511f4761a47b799c3578399ec6d31.png
[image-20200716214044658]: /images/20221124/567ab281c6ab4d0595acf794689d26b7.png
[image-20200806192300479]: /images/20221124/2c92ef00324345cabb7a9b910f7a23b3.png
[image-20200716222835639]: /images/20221124/cfb255cb955c4c339c3b63ecd8c4c80a.png