【随机过程】作业 3 数学期望

骑猪看日落 2022-11-15 12:24 569阅读 0赞

**1. 设X服从期望为2方差为1 的正态分布，则求E(X|X>0)**  
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**2. 若X服从参数为10 的t分布，则 X 4 X^4 X4的数学期望为多少？**  
解：  
由题知：X服从n=10的t分布，则X～ Z Y / n \\frac\{Z\}\{\\sqrt\{Y/n\}\} Y/nZ，其中Z服从正态分布Z～N(0,1),Y服从卡方分布Y~ x 2 ( n ) x^2(n) x2(n)，且Z也服从n=1的卡方分布，Z～ x 2 ( 1 ) x^2(1) x2(1)

则当n=10时， X 2 = Z 2 Y / 10 = Z 2 / 1 Y / 10 X^2 = \\frac\{Z^2\}\{Y/10\} =\\frac\{Z^2/1\}\{Y/10\} X2=Y/10Z2=Y/10Z2/1可以发现 X 2 X^2 X2是服从F分布的。表示为 X 2 X^2 X2~ F ( 1 , 10 ) F(1,10) F(1,10)

> F分布，当X～ Y / m Z / n \\frac\{Y/m\}\{Z/n\} Z/nY/m,表示为X～F(m,n)且F分布的均值为当n>2时是 E ( X ) = n n − 2 E(X) = \\frac\{n\}\{n-2\} E(X)=n−2n,当n>4方差是 D ( X ) = 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) D(X) =\\frac\{2n^2(m+n-2)\}\{m(n-2)^2(n-4)\} D(X)=m(n−2)2(n−4)2n2(m\+n−2)

所以根据公式 E X 4 = E 2 ( X 2 ) + D X 2 EX^4=E^2(X^2)+DX^2 EX4=E2(X2)\+DX2只需要求出 X 2 X^2 X2的均值和方差即可求得 E X 4 EX^4 EX4  
 E ( X 2 ) = 10 / ( 10 − 2 ) = 5 / 4 E(X^2)=10/(10-2)=5/4 E(X2)=10/(10−2)=5/4  
 D ( X 2 ) = 2 ∗ 1 0 2 ( 1 + 10 − 2 ) 1 ∗ ( 10 − 2 ) 2 ( 10 − 4 ) ≈ 4.6875 D(X^2) =\\frac\{2\*10^2(1+10-2)\}\{1\*(10-2)^2(10-4)\} \\approx 4.6875 D(X2)=1∗(10−2)2(10−4)2∗102(1\+10−2)≈4.6875  
所以 E X 4 ≈ 6.25 EX^4 \\approx 6.25 EX4≈6.25  
**3. 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为**  
 f X Y ( x , y ) = A s i n ( x + y ) , 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 f\_\{XY\}(x,y)=Asin(x+y),0 \\leq x \\leq \\frac\{\\pi\}\{2\},0\\leq y\\leq \\frac\{\\pi\}\{2\} fXY(x,y)=Asin(x\+y),0≤x≤2π,0≤y≤2π

*  求系数A
 *  求X的均值 m X m\_X mX
 *  求X的方差 σ X 2 \\sigma ^2\_X σX2
 *  求X和Y的相关系数 ρ X Y \\rho\_\{XY\} ρXY  
    解：  
    （1）  
     1 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 A s i n ( x + y ) d x d y 1 = \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}\\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}f(x,y)dxdy = \\int\_\{0\}^\{\\pi /2\}\\int\_\{0\}^\{\\pi /2\}Asin(x+y)dxdy 1=∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(x,y)dxdy=∫0π/2∫0π/2Asin(x\+y)dxdy  
     = ∫ 0 π / 2 ( ∫ 0 π / 2 A s i n ( x + y ) d x ) d y = \\int\_\{0\}^\{\\pi /2\}(\\int\_\{0\}^\{\\pi /2\}Asin(x+y)dx)dy =∫0π/2(∫0π/2Asin(x\+y)dx)dy  
     = − ∫ 0 π / 2 ( A c o s ( x + y ) d x ) ∣ 0 π / 2 d y =- \\int\_\{0\}^\{\\pi /2\}(Acos(x+y)dx)|\_0^\{\\pi /2\}dy =−∫0π/2(Acos(x\+y)dx)∣0π/2dy  
     = ∫ 0 π / 2 ( − A c o s ( π / 2 + y ) + A c o s y ) d y = \\int\_\{0\}^\{\\pi /2\}(-Acos(\\pi /2+y)+Acosy)dy =∫0π/2(−Acos(π/2\+y)\+Acosy)dy  
     = 2 A = 2A =2A  
    所以A=1/2  
    （2）第一步，求出X的概率密度函数  
     f X ( x ) = ∫ 0 π / 2 1 / 2 s i n ( x + y ) d y = − 1 / 2 \[ c o s ( π 2 + x ) − c o s x \] f\_X(x)=\\int\_0^\{\\pi/2\} 1/2sin(x+y)dy\\\\=-1/2\[cos(\\frac\{\\pi\}\{2\}+x)-cosx\] fX(x)=∫0π/21/2sin(x\+y)dy=−1/2\[cos(2π\+x)−cosx\]  
    根据公式求均值  
     m x = E x = − 1 / 2 ∫ 0 π 2 x c o s ( π 2 + x ) − x c o s x d x = π / 4 mx = Ex =-1/2 \\int\_0^\{\\frac\{\\pi\}\{2\}\}xcos(\\frac\{\\pi\}\{2\}+x)-xcosx dx\\\\ = \\pi /4 mx=Ex=−1/2∫02πxcos(2π\+x)−xcosxdx=π/4

（3）根据公式求解 X 2 的 期 望 X^2的期望 X2的期望，代入第二问中的 f X ( x ) f\_X(x) fX(x)  
 E x 2 = ∫ 0 π / 2 x 2 f X ( x ) d x = 1 / 2 ∫ 0 π / 2 x 2 ( s i n x + c o s x ) d x = π 2 + π 2 8 − 2 Ex^2 = \\int\_0^\{\\pi /2\}x^2f\_X(x)dx\\\\= 1/2 \\int\_0^\{\\pi /2\}x^2(sinx+cosx )dx\\\\=\\frac\{\\pi\}\{2\}+\\frac\{\\pi ^2\}\{8\}-2 Ex2=∫0π/2x2fX(x)dx=1/2∫0π/2x2(sinx\+cosx)dx=2π\+8π2−2  
 σ X 2 = D X = E x 2 − ( E x ) 2 = π 2 + π 2 8 − 2 − ( π / 4 ) 2 \\sigma ^2\_X = DX = Ex^2-(Ex)^2\\\\ = \\frac\{\\pi\}\{2\}+\\frac\{\\pi ^2\}\{8\}-2 - (\\pi /4)^2 σX2=DX=Ex2−(Ex)2=2π\+8π2−2−(π/4)2  
（4）求解相关系数的公式如下  
 ρ X Y = c o v ( X , Y ) D X D Y = E X Y − E X E Y D X D Y \\rho \_\{XY\} =\\frac\{cov(X,Y)\}\{\\sqrt\{D\_X\} \\sqrt\{D\_Y\}\} = \\frac\{E\_\{XY\}-E\_XE\_Y\}\{\\sqrt\{D\_X\} \\sqrt\{D\_Y\}\} ρXY=DXDYcov(X,Y)=DXDYEXY−EXEY  
所以现在需要求出 E X Y E\_\{XY\} EXY  
又  
 E X Y = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 1 / 2 x y s i n ( x + y ) d x d y E\_\{XY\} = \\int\_0^\{\\pi/2\}\\int\_0^\{\\pi/2\} 1/2xysin(x+y)dxdy EXY=∫0π/2∫0π/21/2xysin(x\+y)dxdy  
求解得到  
 E X Y = π 2 − 1 E\_\{XY\} = \\frac\{\\pi\}\{2\}-1 EXY=2π−1  
又根据第三问的结果，知道  
 D X = σ X 2 DX = \\sigma ^2\_X DX=σX2  
因为X，Y对称，所以 D X = D Y D\_X=D\_Y DX=DY  
所以把 D X , D Y , E X Y 代 入 D\_X,D\_Y,E\_\{XY\}代入 DX,DY,EXY代入得到相关系数  
 ρ X Y = E X Y − E X E Y D X D Y \\rho \_\{XY\} = \\frac\{E\_\{XY\}-E\_XE\_Y\}\{\\sqrt\{D\_X\} \\sqrt\{D\_Y\}\} ρXY=DXDYEXY−EXEY  
**4. 设(X,Y)的联合概率密度函数为**  
 f ( x , y ) = \{ 21 4 x 2 y , x 2 ≤ y ≤ 1 0 , o t h e r s w i s e f(x,y)=\\begin\{cases\} \\frac\{21\}\{4\}x^2y, &x^2 \\leq y \\leq 1\\\\ 0 ,& otherswise \\end\{cases\} f(x,y)=\{ 421x2y,0,x2≤y≤1otherswise

*  求给定条件Y=y(0<y<1)的条件下， X 2 X^2 X2的期望 E ( X 2 ∣ Y = 1 ) E(X^2|Y=1) E(X2∣Y=1)
 *  求方差 D ( X 2 ∣ Y = 1 ) D(X^2|Y=1) D(X2∣Y=1)
 *  设随机变量X的密度函数 f ( x ) = ∣ x ∣ , ∣ x ∣ < 1 f(x)=|x|,|x|<1 f(x)=∣x∣,∣x∣<1，求X的特征函数g(1)  
    解：  
    （1）  
     当 y ≤ 1 时 f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x = ∫ − 1 1 21 4 x 2 y d x = 7 2 y 当y\\leq 1 时f\_\{Y(y)\} = \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}f(x,y)dx= \\int\_\{-1\}^\{1\}\\frac\{21\}\{4\}x^2ydx =\\frac\{7\}\{2\}y 当y≤1时fY(y)=∫−∞\+∞f(x,y)dx=∫−11421x2ydx=27y  
     所 以 ， 当 y ≤ 1 时 f ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) = 3 2 x 2 所以，当y\\leq 1时f(x|y) =\\frac\{f(x,y)\}\{f\_\{Y(y)\}\} = \\frac\{3\}\{2\}x^2 所以，当y≤1时f(x∣y)=fY(y)f(x,y)=23x2  
     E ( X 2 ∣ Y = y ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 f ( x ∣ y ) d x = ∫ − 1 1 3 2 x 4 d x = 3 5 E(X^2|Y=y) =\\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}x^2f(x|y)dx = \\int\_\{-1\}^\{1\}\\frac\{3\}\{2\}x^4dx =\\frac\{3\}\{5\} E(X2∣Y=y)=∫−∞\+∞x2f(x∣y)dx=∫−1123x4dx=53

（2）因为根据公式  
 E ( X 4 ∣ Y = y ) = ∫ − 1 1 x 4 f ( x ∣ y ) d x = ∫ − 1 1 x 4 ∗ 3 2 x 2 d x = 3 / 7 E(X^4|Y=y) = \\int\_\{-1\}^\{1\}x^4f(x|y)dx\\\\= \\int\_\{-1\}^\{1\}x^4\*\\frac\{3\}\{2\}x^2dx = 3/7 E(X4∣Y=y)=∫−11x4f(x∣y)dx=∫−11x4∗23x2dx=3/7  
所以  
 D X 2 = E X 4 − ( E X ) 2 = 3 / 7 − ( 3 / 5 ) 2 = 0.0686 DX^2 = EX^4-(EX)^2\\\\=3/7-(3/5)^2 = 0.0686 DX2=EX4−(EX)2=3/7−(3/5)2=0.0686

（3）连续性随机变量的特征函数公式  
 g ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x f ( x ) d x g(t) = \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\}e^\{itx\}f(x)dx g(t)=∫−∞\+∞eitxf(x)dx  
 g ( 1 ) = ∫ − 1 1 e i x ∣ x ∣ d x g(1) = \\int\_\{-1\}^\{1\}e^\{ix\}|x|dx g(1)=∫−11eix∣x∣dx  
根据欧拉公式 e ( i t x ) = c o s t ( x ) + i s i n ( t x ) e^\{(itx)\} = cost(x)+isin(tx) e(itx)=cost(x)\+isin(tx)  
 ∫ − 1 1 e i x ∣ x ∣ d x = ∫ − 1 1 ∣ x ∣ ( c o s x + i s i n x ) d x \\int\_\{-1\}^\{1\} e^\{ix\} |x| dx =\\int\_\{-1\}^\{1\}|x|( cosx+isinx )dx ∫−11eix∣x∣dx=∫−11∣x∣(cosx\+isinx)dx  
因为|x| isinx 是奇函数，所以 ∫ − 1 1 ∣ x ∣ i s i n x d x = 0 \\int\_\{-1\}^\{1\}|x| isinx dx = 0 ∫−11∣x∣isinxdx=0，则  
 g ( 1 ) = ∫ − 1 1 ∣ x ∣ c o s x d x = ∫ − 1 0 x c o s x d x + ∫ 0 1 x c o s x d x g(1) = \\int\_\{-1\}^\{1\}|x| cosxdx = \\int\_\{-1\}^\{0\}x cosxdx +\\int\_\{0\}^\{1\}xcosxdx g(1)=∫−11∣x∣cosxdx=∫−10xcosxdx\+∫01xcosxdx  
 = 2 ( c o s 1 + s i n 1 − 1 ) = 0.7635 = 2(cos1+sin1-1) = 0.7635 =2(cos1\+sin1−1)=0.7635

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