编码以及解码问题

我就是我 2022-11-14 14:36 168阅读 0赞

> 编码：将不同的实数表示成不同的0，1二进制串表示就完成了编码。这个是比较简单的。  
> 解码：将编码后的二进制串转换为我们理解的十进制串，所以我们需要的是y = f (x)的逆映射，也就是将二进制转化为十进制并映射到某个区间，也就是解码。

例如：十进制与二进制相互映射的关系表示如下：

对于一个长度为10的二进制串,如\[0,0,0,1,0,0,0,0,0,1\]，将其映射到\[1,3\]这个区间的步骤为：

1.  首先将二进制数按权展开： 0 ∗ 2 9 + 0 ∗ 2 8 + 0 ∗ 2 7 + 1 ∗ 2 6 + 0 ∗ 2 5 + 0 ∗ 2 4 + 0 ∗ 2 3 + 0 ∗ 2 2 + 0 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 = 65 0\* 2^9+0\*2^8+0\*2^7+1\*2^6+0\*2^5+0\*2^4+0\*2^3+0\*2^2+0\*2^1+1\*2^0=65 0∗29\+0∗28\+0∗27\+1∗26\+0∗25\+0∗24\+0∗23\+0∗22\+0∗21\+1∗20=65
2.  然后将其压缩到区间\[0,1\]： 65 / ( 2 10 − 1 ) ≈ 0.0635386 65/(2^\{10\} - 1) \\approx0.0635386 65/(210−1)≈0.0635386
3.  最后将\[0,1\]区间的数映射到我们想要的区间\[1,3\]： 0.0635386 ∗ （ 3 − 1 ） + 1 ≈ 1.12707722 0.0635386\*（3-1）+ 1\\approx1.12707722 0.0635386∗（3−1）\+1≈1.12707722，可以看出规律为：num \* (high-low)+low 其中num为\[0,1\]之间的数对应此处的0.0635386，high和low表示我们想要映射的区间的上边界和下边界，分别对应此处的3和1。

分析：  
上述步骤包含了编码与解码的过程：首先我们将65编码为一个具有10位长度的二进制数，然后将其压缩到区间\[0, 1\]，最后将\[0, 1\]区间的数映射到\[1, 3\]这个范围，即编码之后求一个逆映射将这个二进制串映射到\[-3,3\]区间，这个过程也就是解码。

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关于编码：这里有个问题，即编码为了10位长度的二进制数，如果用更长的二进制数编码，又有什么变化呢？

10位二进制可以表示 2 10 2^\{10\} 210种不同的状态，可以看成是在最后要转化为的十进制区间 \[ 1 , 3 \] 切分 2 10 2^\{10\} 210个点，每个点对应的数据对应着一个二进制编码。可看出，如果我们增加二进制串的长度，那么我们对区间的切分可以更加精细，每个二进制编码对应的切分的点位置也就更加精确，意即对应的十进制数也更加精确。

**例如：**  
10位的二进制编码1111111111（全1），将其按权展开为1023，最后映射到\[-3, 3\]区间时为3，而1111111110（前面9个1）按权展开为1022， 1022 / ( 2 10 − 1 ) ≈ 0.999022 1022/(2^\{10\} - 1) \\approx0.999022 1022/(210−1)≈0.999022, 0.999022 ∗ ( 3 − 1 ) + 1 ≈ 2.994134 0.999022\*(3-1)+ 1\\approx2.994134 0.999022∗(3−1)\+1≈2.994134。如果编码为12位二进制，111111111111（12个1）最后转化为3，而111111111110（前面11个1）按权展开为4094， 4094 / ( 2 12 − 1 ) ≈ 0.999756 4094/(2^\{12\} - 1) \\approx0.999756 4094/(212−1)≈0.999756， 0.999756 ∗ ( 3 − 1 ) + 1 ≈ 2.998534 0.999756\*(3-1)+ 1\\approx2.998534 0.999756∗(3−1)\+1≈2.998534。

3−2.994134=0.005866；3 − 2.998534 = 0.001466  
所以用10位二进制编码划分区间后，每个二进制状态改变对应的实数大约改变0.005866，而用12位二进制编码这个数字下降到0.001466，所以DNA长度越长，解码为10进制的实数越精确。

参考：  
https://blog.csdn.net/ha\_ha\_ha233/article/details/91364937