【光波电子学】MATLAB仿真厄米特-高阶高斯光束以及绘制其光强分布图

约定不等于承诺〃 2022-11-11 06:17 1051阅读 0赞

### 目录 ###

*  1 物理模型
 *  2 MATLAB实现
 *   *  2.1 光斑效果展示
     *  2.2 高斯光束光强分布的三维模型
     *  2.3 代码实现
 *  3 知识拓展
 *   *  3.1 高斯分布是什么？
     *  3.2 单独实现高阶高斯分布

# 1 物理模型 #

在激光器的方形镜对称共焦腔中，厄米特—高斯分布描述了腔镜上自再现模的场分布，对其进行数值模拟，可以观察不同阶数下本征模的场分布情况  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70]

(x，y)表示镜面上的任意点坐标，腔长：L，光波波长：λ，原点选在镜面中心，则在近轴近似条件下 L,R>>α>>λ ，腔镜镜面上的电场复振幅可以表示为

u m n ≈ C m n H m ( X ) H n ( Y ) e X 2 + Y 2 2 u\_\{mn\} \\approx C\_\{mn\}H\_m(X)Hn(Y)e^\{\\frac\{X^2+Y^2\}\{2\}\} umn≈CmnHm(X)Hn(Y)e2X2\+Y2

其中，m=0, 1, 2, …和 n=0, 1, 2…，m、n 为横截面上 x、y 方向出现的节点； C m n C\_\{mn\} Cmn为与 m、n 有关的常量Hm(X)、Hn(Y)为厄密多项式，可以表示为  
 H m ( X ) = ( − 1 ) m e X 2 d m ( e − X 2 ) d X m H\_m(X) =(-1)^me^\{X^2\}\\frac\{d^m(e^\{-X^2\})\}\{dX^m\} Hm(X)=(−1)meX2dXmdm(e−X2)  
 H 0 ( X ) = 1 , H 1 ( X ) = 2 X , H 2 ( X ) = 4 X 2 − 2 , H 3 ( X ) = − 8 x 3 + 12 x H\_0(X) = 1,H\_1(X) = 2X,H\_2(X)=4X^2-2,H\_3(X)=-8x^3+12x H0(X)=1,H1(X)=2X,H2(X)=4X2−2,H3(X)=−8x3\+12x  
也可以写为

u m n ≈ C m n F m ( X ) F ( Y ) u\_\{mn\}\\approx C\_\{mn\}F\_m(X)F(Y) umn≈CmnFm(X)F(Y)  
 F ( X ) = H m ( X ) e − X 2 / 2 F\_(X) = H\_m(X)e^\{-X^2/2\} F(X)=Hm(X)e−X2/2  
 F ( Y ) = H n ( X ) e − Y 2 / 2 F\_(Y) = H\_n(X)e^\{-Y^2/2\} F(Y)=Hn(X)e−Y2/2  
因此不同阶数的光场分布对应光斑分布可以表示为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

激光的模式常用微波中的表示方法，即 T E M m n TEM\_\{mn\} TEMmn ，其中 T E M 00 TEM\_\{00\} TEM00是基模，可以看出 m 和 n 的值越大，光场也越向外扩展。当 m=0，n=0 时，光场分布为基模高斯光束 T E M 00 TEM\_\{00\} TEM00，其传播场的振幅分布可写为  
 U 00 = e x p ( − 2 1 + ζ 2 x 2 + y 2 w s 2 ) U\_\{00\} = exp(-\\frac\{2\}\{1+\\zeta ^2\} \\frac\{x^2+y^2\}\{w\_s^2\}) U00=exp(−1\+ζ22ws2x2\+y2)  
 ζ = 2 z / L , w s = λ L / π \\zeta = 2z/L,w\_s = \\sqrt\{\\lambda L/\\pi\} ζ=2z/L,ws=λL/π  
 z 为 传 播 距 离 ， L 为 腔 长 ， λ 为 波 长 z为传播距离，L为腔长，\\lambda 为波长 z为传播距离，L为腔长，λ为波长  
其零点是对称共焦腔的中心。高斯光束的传播呈现双曲线型的形态，波长一定情况下，共焦腔内 z 处的截面半径大小仅取决于腔长 L。高斯光束的束腰半径可以写为  
 w 0 = λ L 2 π = 1 2 w s w\_0 = \\sqrt\{\\frac\{\\lambda L\}\{2\\pi\}\}= \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\}\}w\_s w0=2πλL=21ws

# 2 MATLAB实现 #

## 2.1 光斑效果展示 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 2.2 高斯光束光强分布的三维模型 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 2.3 代码实现 ##

clear all
    close all
    
    x=[-5:0.1:5].*1e-3;            % 坐标范围
    lambda=632.8e-9;               % 波长
    L=10;                          % 腔长
    X=x.*sqrt(2*pi./(lambda.*L));  	
    [X1,Y1]=meshgrid(X,X);         % X和Y的坐标矩阵
    
    %% 厄米特函数
    % H0-H3
    H0X=1;
    H0Y=1;
    H1X=2.*X1;
    H1Y=2.*Y1;
    H2X=4.*X1.^2-2;
    H2Y=4.*Y1.^2-2;
    H3X=-8.*X1.^3+12.*X1;
    H3Y=-8.*Y1.^3+12.*Y1;
    
    %% 厄米特——高斯函数
    % F0-F3
    FX0=H0X.*exp(-X1.^2-2);
    FY0=H0Y.*exp(-Y1.^2-2);
    FX1=H1X.*exp(-X1.^2-2);
    FY1=H1Y.*exp(-Y1.^2-2);
    FX2=H2X.*exp(-X1.^2-2);
    FY2=H2Y.*exp(-Y1.^2-2);
    FX3=H3X.*exp(-X1.^2-2);
    FY3=H3Y.*exp(-Y1.^2-2);
    
    %% 振幅分布
    
    u00=FX0.*FY0;         % TEM00
    subplot(3,4,1)
    imagesc(abs(u00))   
    
    u10=FX1.*FY0;         %  TEM10
    subplot(3,4,2)
    imagesc(abs(u10))   
    
    u20=FX2.*FY0;         % TEM20
    subplot(3,4,3)
    imagesc(abs(u20)) 
    
    u30=FX3.*FY0;         % TEM30
    subplot(3,4,4)
    imagesc(abs(u30)) 
    
    u01=FX0.*FY1;         % TEM01
    subplot(3,4,5)
    imagesc(abs(u01))   
    
    u11=FX1.*FY1;         % TEM11
    subplot(3,4,6)
    imagesc(abs(u11))   
    
    u21=FX2.*FY1;         % TEM21
    subplot(3,4,7)
    imagesc(abs(u21))   
    
    u31=FX3.*FY1;         % TEM31
    subplot(3,4,8)
    imagesc(abs(u31)) 
    
    u02=FX0.*FY2;         % TEM02
    subplot(3,4,9)
    imagesc(abs(u02))   
    
    u12=FX1.*FY2;         % TEM12
    subplot(3,4,10)
    imagesc(abs(u12))   
    
    u22=FX2.*FY2;         % TEM22
    subplot(3,4,11)
    imagesc(abs(u22)) 
    
    u33=FX3.*FY3;         % TEM33
    subplot(3,4,12)
    imagesc(abs(u33)) 
    
    colormap gray;         %显示灰度图

# 3 知识拓展 #

## 3.1 高斯分布是什么？ ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
说白了就是上图中右下角的山坡型的图形。这个山坡型就是下面三维高斯光束的横截面。所以高斯光束就和高斯分布结合起来了。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
这时候，我将三种图对应起来，有没有发现共通点???  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
从左开始的第一张是高斯分布图，中间张是高斯光束光强三维分布图，最右边是高斯光束光强从三维图的顶部角度看上去的光斑。所以在下面要想实现光斑，只需要画出高斯分布的三维图形，从顶部角度视角展示图形就能得到光斑。  
附上绘制这张图的代码

clear all
    close all
    
    x=[-5:0.1:5].*1e-3;            % 设定腔镜坐标
    lambda=632.8e-9;               % 设定激光器出光频率
    L=10;                           % 设定激光腔腔长
    X=x.*sqrt(2*pi./(lambda.*L)); 
    Y= X
    [X1,Y1]=meshgrid(X,X);         % 获取X和Y的坐标矩阵
    
    % 设定厄米特函数，n和m只从0取到2 %
    % 绘制三维的
    H0X=1;                          
    H1X=2.*X1;
    H2X=4.*X1.^2-2;
    H0Y=1;
    H1Y=2.*Y1;
    H2Y=4.*Y1.^2-2;
    
    % 三维公式
    FX0=H0X.*exp(-X1.^2-2);  % 生成厄米特——高斯函数
    FX1=H1X.*exp(-X1.^2-2);
    FX2=H2X.*exp(-X1.^2-2);
    
    FY0=H0Y.*exp(-Y1.^2-2);
    FY1=H1Y.*exp(-Y1.^2-2);
    FY2=H2Y.*exp(-Y1.^2-2);
    
    % 二维公式
    H0X1=1;                          
    H1X1=2.*X;
    H2X1=4.*X.^2-2;
    H0Y1=1;
    H1Y1=2.*Y;
    H2Y1=4.*Y.^2-2;
    
    F0X=H0X1.*exp(-X.^2-2);  % 生成厄米特——高斯函数
    F1X=H1X1.*exp(-X.^2-2);
    F2X=H2X1.*exp(-X.^2-2);
    
    F0Y=H0Y1.*exp(-Y.^2-2);
    F1Y=H1Y1.*exp(-Y.^2-2);
    F2Y=H2Y1.*exp(-Y.^2-2);
    
    % 00
    I2=FX0.^2.*FY0.^2;         % 考虑X和Y两个方向分布
    I1=F0X.^2.*F0Y.^2;
    subplot(3,3,1)
    plot(X,I1)
    subplot(3,3,2)
    surf(X1,Y1,I2)
    subplot(3,3,3)
    surf(X1,Y1,I2)
    view(2)
    
    % 01
    I2=FX0.^2.*FY1.^2;         % 考虑X和Y两个方向分布
    I1=F0X.^2.*F1Y.^2;
    subplot(3,3,4)
    plot(X,I1)
    subplot(3,3,5)
    surf(X1,Y1,I2)
    subplot(3,3,6)
    surf(X1,Y1,I2)
    view(2)
    
    % 02
    I2=FX0.^2.*FY2.^2;         % 考虑X和Y两个方向分布
    I1=F0X.^2.*F2Y.^2;
    subplot(3,3,7)
    plot(X,I1)
    subplot(3,3,8)
    surf(X1,Y1,I2)
    subplot(3,3,9)
    surf(X1,Y1,I2)
    view(2)

## 3.2 单独实现高阶高斯分布 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

其中用到的高斯分布的公式  
 H m ( x ) H\_m(x) Hm(x)  
 F = e − x 2 + y 2 w 2 F = e^\{-\\frac\{x^2+y^2\}\{w^2\}\} F=e−w2x2\+y2  
 H m 2 ( x ) F 2 H\_m^\{2\}(x)F^2 Hm2(x)F2

clear
    clc
    
    %% 初始值
    x = -2*pi:pi/100:2*pi;% 横坐标范围
    w = 2 % F 函数中w取值
    yy =x % 纵坐标范围
    
    
    %% 画光强分布
    figure(2)          % define figure
    % 【1 1】个图
    subplot(3,4,1);
    plot([-10,10],[10,10],'linewidth',2)
    
    % 【1 2】个图
    subplot(3,4,2);
    y = fx(x,yy,w)
    plot(x,y,'linewidth',2);
    % 【1 3】个图
    subplot(3,4,3);     % subplot(x,y,n)x表示显示的行数，y表示列数，n表示第几幅图片
    y = hf(x,yy,w,hx1(x),fx(x,yy,w))
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【1 4】个图
    subplot(3,4,4);
    y = hf2(x,yy,w,hx1(x),fx(x,yy,w))
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【2 1】个图
    % 画45度斜线
    subplot(3,4,5);
    y = hx2(x)
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【2 2】个图
    subplot(3,4,6);
    y = fx(x,yy,w)
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【2 3】个图
    subplot(3,4,7);
    y = hf(x,yy,w,hx2(x),fx(x,yy,w))
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【2 4】个图
    subplot(3,4,8);
    y = hf2(x,yy,w,hx2(x),fx(x,yy,w))
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【4 1】个图
    % 画y=x^2-10
    subplot(3,4,9);
    y = hx3(x)
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【4 2】个图
    subplot(3,4,10);
    y = fx(x,yy,w)
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    
    % 【4 3】个图
    subplot(3,4,11);
    y = hf(x,yy,w,hx3(x),fx(x,yy,w))
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    % 【4 4】个图
    subplot(3,4,12);
    y = hf2(x,yy,w,hx3(x),fx(x,yy,w))
    plot(x,y,'linewidth',2);
    
    %% 函数
    % 绘制水平线函数
    function r=hx1(x)
        r =1
    end
    % 绘制45度直线函数
    function r=hx2(x)
        r =2.*x
    end
    
    % 绘制凹曲线函数 
    function r=hx3(x)
        r =4.*x.^2-2
    end
    
    % 绘制F的函数
    function r =fx(x,y,w)
       r = exp(-(x.*2+y.^2)./(w^2))
    end
    
    % 绘制Hm(x)*F
    function r =hf(x,y,w,source,fun)
        r = fun.*source
    end
    % 绘制Hm(x)^2*F^2的函数
    function r =hf2(x,y,w,source,fun)
        r = (fun.^2).*(source.^2)
    end

对于绘制出来的图形，并没有理想中的那么均匀，但是趋势是大致相同的，有两个原因  
（1）原始教材中的图形，是理想化的图像，只是为了突出表述了每个图形的特点。  
（2）本人绘制的图形，选择的参数只是随机选择的，比如F函数中w和y的取值仅仅是随机取的。如果想要实现最理想化的图形，需要慢慢的调参

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