数据结构 - heap - 堆 - 二叉堆 ゞ 浴缸里的玫瑰 2022-10-29 03:14 158阅读 0赞 # **数据结构 - heap - 堆 - 二叉堆** # ## 0. 树 ## 树是包含一个或多个数据节点的集合,其中一个节点被指定为树的根,而其余节点称为根的子节点。在通用树中,一个节点可以具有任意数量的子节点,但它只能有一个父节点。下图显示了一棵树,其中节点 A 是树的根节点,而其它节点可以看作是 A 的子节点。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center] 根节点是树层次结构中的最顶层节点,根节点是没有任何父节点的节点。如果根节点不为空,则树 T1,T2 和 T3 称为根节点的子树。树的节点中没有任何子节点的节点称为叶节点。叶节点是树的最底部节点,也称为外部节点。 节点的祖先是从根到该节点的路径上的任何先前节点,根节点没有祖先节点。节点 F 的祖先是 B 和 A。 节点的度数等于子节点数,节点 B 的度数为 2。叶子节点的度数总是 0。在完整的二叉树中,每个节点的度数等于 2。为树的每个节点分配一个级别编号,使得每个节点都存在于高于其父级的一个级别。树的根节点始终是级别 0。 ## 1. 二叉树 ## 链表 (linked list) 新的节点可以被快速插入,旧的节点可以被快速移除。链表 (linked list) 查找某个值,必须遍历所有的节点。 二叉树有利于快捷存取链接的元素。数据项必须有关键值,用于比较和排序。二叉树具有链表的灵活性,也具有“已排序数组”的优点,可以使用二元搜索方法快速地找到所要的数据。 * 二叉树的每个节点最多有两个直接的子节点。 * 有一个“没有父节点”的节点,被称为树根。其它所有的节点都有一个父节点。 * 叶节点是指“没有子节点”的节点。每个树的节点也被认为是其子树的根,子树包含所有子孙的节点。 二叉树的高度是“从根到叶”最长路径的长度。路径是由相连的节点所形成的链表。**路径的长度就是路径中节点数目,但不计算第一个节点。**只有一个节点的树,高度是 0。 ![在这里插入图片描述][20210216185928245.png_pic_center] 上图的树,高度是 3。 二叉树的每个节点最多可以有 2 个子节点。存在于最顶层的节点称为根节点。具有 0 个子节点的节点称为叶节点。 ## 2. heap - 堆 - 二叉堆 ## 堆是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。 1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。 2. 堆总是一棵完全二叉树。 二叉堆的根节点叫做堆顶。最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素,最小堆的堆顶是整个堆中的最小元素。 根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆。最大堆任何一个父节点的值,都大于等于它左右孩子节点的值。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1] 根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。最小堆任何一个父节点的值,都小于等于它左右孩子节点的值。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2] 堆是非线性数据结构,相当于一维数组,有两个直接后继。 树的高度是指从树的根节点到最低的叶节点所需要的步数。树的高度是指节点之间的边的最大值。 下图的树高度是 3,它有 4 层。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3] 0 层 2^0 1 1 层 2^1 2 2 层 2^2 4 3 层 2^3 8 4 层 2^4 16 … h 层 2^h 2^h 一个高度为 h h h 的堆有 h + 1 h+1 h\+1 层。 n n n 个结点的堆,高度 h = log 2 n h = \\log\_2^n h=log2n。根为第 0 层,则第 i i i 层结点个数为 2 i 2^i 2i,考虑一个元素在堆中向下移动的距离,这种算法时间代价为 O ( h ) Ο(h) O(h) 由于堆有 log 2 n \\log\_2^n log2n 层深,插入结点、删除节点的平均时间代价和时间复杂度都是 O ( log 2 n ) Ο(\\log\_2^n) O(log2n)。 不必将值一个一个地插入堆中,通过交换形成堆。假设一个`小根堆`的左、右子树都已是堆,并且根的元素名为 root,其左右子节点为 left 和 right,这种情况下,有两种可能: (1) root <= left 并且 root <= right,此时堆已完成。 (2) root >= left 或者 root >= right,此时 root 应与两个子女中值较小的一个交换,结果得到一个堆,除非 root 仍然大于其新子女的一个或全部的两个。这种情况下,只需简单地继续这种将 root “拉下来”的过程,直至到达某一个层使它小于它的子女,或者它成了叶结点。 ### 2.1 等比数列求和公式 ### 公式中 a 1 a\_1 a1 为首项, a n a\_n an 为数列第 n n n 项。 q q q 为等比数列公比, S n S\_n Sn 为前 n n n 项和。 ![在这里插入图片描述][20210216210005376.png_pic_center] 下图的树高度是 3,它有 4 层。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3] 2^0 = 1 2^1 = 2 2^2 = 4 2^3 = 8 …… 2^h = 2^h 如果一个堆有 n n n 个节点,它的高度是 h = floor ( log 2 n ) h = \\text\{floor\}(\\log\_2^n) h=floor(log2n)。总是要将这一层完全填满以后才会填充新的一层。上图有 15 个节点,它的高度是 floor ( log 2 15 ) = floor ( 3.9069 ) = 3 \\text\{floor\}(\\log\_2^\{15\}) = \\text\{floor\}(3.9069) = 3 floor(log215)=floor(3.9069)=3。 如果最下面的一层已经填满,那么那一层包含 2 h 2^h 2h 个节点。树中这一层以上所有的节点数目为 2 h − 1 2^h - 1 2h−1。上图最下面的一层有 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8 个节点。前面的三层一共包含 2 3 − 1 = 8 − 1 = 7 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 23−1=8−1=7 个节点。 所以整个堆中的节点数目为: 2 ( h + 1 ) − 1 2^\{(h+1)\} - 1 2(h\+1)−1。上面的例子中, 2 4 − 1 = 16 − 1 = 15 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15 24−1=16−1=15。 q = 2 q = 2 q=2 S n = a 1 ∗ ( 1 − q n ) / ( 1 − q ) = 1 ∗ ( 1 − 2 ( h + 1 ) ) / ( 1 − 2 ) = 2 ( h + 1 ) − 1 S\_n = a\_1 \* (1 - q^n) / (1 - q) = 1 \* (1 - 2^\{(h + 1)\}) / (1 - 2) = 2^\{(h + 1)\} - 1 Sn=a1∗(1−qn)/(1−q)=1∗(1−2(h\+1))/(1−2)=2(h\+1)−1 S n = ( a 1 − a n ∗ q ) / ( 1 − q ) = ( 1 − 2 h ∗ 2 ) / ( 1 − 2 ) = 2 ( h + 1 ) − 1 S\_n = (a\_1 - a\_n \* q) / (1 - q) = (1 - 2^h \* 2) / (1 - 2) = 2^\{(h + 1)\} - 1 Sn=(a1−an∗q)/(1−q)=(1−2h∗2)/(1−2)=2(h\+1)−1 ### 2.2 STL ### 堆的 STL 包含于 `#include "algorithm"` 头文件中。 堆的 STL 支持以下的基本操作: 建立一个空堆: make_heap(first, last, comp); 向堆中插入一个新元素: push_heap(first, last, comp); 获取当前堆顶元素的值: top_heap(first, last, comp); 对当前堆进行排序: sort_heap(first, last, comp); ## 3. 二叉堆的自我调整 ## 二叉堆是实现堆排序和优先队列的基础。 ### 3.1 二叉堆的插入节点 ### 二叉堆的节点插入,插入位置是完全二叉树的最后一个位置。插入一个新节点,关键字数据为 0。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4] 关键字数据为 0 的节点与它的父节点 (关键字数据为 5) 做比较。因为 0 小于 5,则让新节点上浮,同父节点交换位置。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5] 继续用关键字数据为 0 的节点和关键字数据为 3 的父节点做比较,因为 0 小于 3,则让新节点继续上浮。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6] 继续比较,最终让关键字数据为 0 的新节点上浮到了堆顶位置。 ### 3.2 二叉堆的删除节点 ### 二叉堆的节点删除过程和插入过程正好相反,所删除的是处于堆顶的节点。例如删除最小堆的关键字数据为 1 的堆顶节点。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7] 为了维持完全二叉树的结构,将堆的最后一个关键字数据为 10 的节点补到原本堆顶的位置。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8] 堆顶的关键字数据为 10 的节点和它的左右孩子中的最小值进行比较。**左右孩子中值最小的节点** (显然是关键字数据为 2 的节点) 小于关键字数据为 10 的节点,那么将关键字数据为 10 的节点下沉。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9] 继续让关键字数据为 10 的节点和它的左右孩子最小值做比较,**左右孩子中值最小的节点**关键字数据为 7,由于 10 大于 7,让关键字数据为 10 的节点继续下沉。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10] ### 3.2 二叉堆的构建 ### 构建二叉堆是把一个无序的完全二叉树调整为二叉堆,本质上就是让所有**非叶子节点依次下沉**。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11] 从最后一个非叶子节点开始,也就是从关键字数据为 10 的节点开始。如果关键字数据为 10 的节点大于其左右孩子中关键字数据最小的一个,则关键字数据为 10 节点下沉。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12] 接下来是关键字数据为 3 的节点。如果关键字数据为 3 的节点大于其左右孩子中最小的一个,则关键字数据为 3 的节点下沉。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13] 接下来是关键字数据为 1 的节点。如果是关键字数据为 1 的节点大于其左右孩子中最小的一个,则关键字数据为 1 的节点下沉。事实上关键字数据为 1 的节点小于它的左右孩子中的最小值,无需改变。 接下来是关键字数据为 7 的节点。如果关键字数据为 7 的节点大于它左右孩子中最小的一个,则关键字数据为 7 的节点下沉。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14] 关键字数据为 7 节点继续比较,继续下沉。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15] 一颗无序的完全二叉树就构建成了一个最小堆。 ## 4. 二叉堆的代码实现 ## 二叉堆是一颗完全二叉树,它的存储方式并不是链式存储,而是顺序存储。二叉堆的所有节点都存储在数组中。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70] 上图的示例是定义数组索引从第 0 个开始。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3 2 6 5 7 8 9 10 依靠数组下标来计算父节点的左孩子和右孩子。 假设父节点的下标是 `parent`,那么它的左孩子下标就是 `2*parent+1`,它的右孩子下标就是 `2*parent+2`。 关键字数据为 6 的节点包含两个孩子 (关键字数据为 9 和关键字数据为 10),关键字数据为 6 的节点在数组中的下标是 3,关键字数据为 9 的节点在数组中的下标是 7,关键字数据为 10 的节点在数组中的下标是 8。 7 = 2 * 3 + 1 8 = 2 * 3 + 2 父节点和孩子节点做连续交换时,并不一定要真的交换,只需要先把交换一方的值存入 tmp 变量,做单向覆盖,循环结束后,再把 tmp 的值存入交换后的最终位置。 ## 5. 堆排序 ## 二叉堆是一棵完全二叉树。 最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素,删除一个最大堆的堆顶 (并不是完全删除,而是替换到最后面),经过自我调节,第二大的元素就会被交换上来,成为最大堆的新堆顶。 ![在这里插入图片描述][20210217133459850.png_pic_center] 当删除值为 10 的堆顶节点,经过调节,值为 9 的新节点就会顶替上来。当删除值为 9 的堆顶节点,经过调节,值为 8 的新节点就会顶替上来。每一次删除旧堆顶,调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。只要反复删除堆顶,反复调节二叉堆,所得到的集合就成为了一个有序集合。 删除关键字数据为 9 的节点,关键字数据为 3 的节点被替换为堆顶,调整后关键字数据为 8 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16] 删除关键字数据为 8 的节点,关键字数据为 2 的节点被替换为堆顶,调整后关键字数据为 7 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17] 删除关键字数据为 7 的节点,关键字数据为 4 的节点被替换为堆顶,调整后关键字数据为 6 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18] 删除关键字数据为 6 的节点,关键字数据为 2 的节点被替换为堆顶,调整后关键字数据为 5 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19] 删除关键字数据为 5 的节点,关键字数据为 2 的节点被替换为堆顶,调整后关键字数据为 4 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 20] 删除关键字数据为 4 的节点,关键字数据为 2 的节点被替换为堆顶,调整后关键字数据为 3 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 21] 删除关键字数据为 3 的节点,关键字数据为 2 的节点被替换为堆顶,关键字数据为 2 的节点成为新堆顶: ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5neXExMTY_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 22] 原本的最大堆已经变成了一个从小到大的有序集合。二叉堆实际存储在数组当中,数组中的元素排列如下: ![在这里插入图片描述][20210217134041612.png_pic_center] ### 5.1 空间复杂度和时间复杂度 ### 二叉堆的节点下沉调整 (down\_adjust) 是堆排序算法的基础。 假设二叉堆总共有 n n n 个元素,那么下沉调整的最坏时间复杂度就等同于二叉堆的高度,也就是 O ( log 2 n ) O(\\log\_2^n) O(log2n)。 **堆排序算法的步骤:** 1. 将无序数组构建成二叉堆,需要进行 n / 2 n/2 n/2 次循环。每次循环调用一次 down\_adjust 方法,第一步的计算规模是 n / 2 ∗ log 2 n n/2 \* \\log\_2^n n/2∗log2n,时间复杂度 O ( n ∗ log 2 n ) O(n \* \\log\_2^n) O(n∗log2n)。 2. 循环删除堆顶元素,移到集合尾部,调节堆产生新的堆顶。需要进行 n − 1 n-1 n−1 次循环,每次循环调用一次 down\_adjust 方法,第二步的计算规模是 ( n − 1 ) ∗ log 2 n (n-1) \* \\log\_2^n (n−1)∗log2n ,时间复杂度 O ( n ∗ log 2 n ) O(n \* \\log\_2^n) O(n∗log2n)。 两个步骤是并列关系,整体的时间复杂度同样是 O ( n ∗ log 2 n ) O(n \* \\log\_2^n) O(n∗log2n)。 因为没有开辟额外的集合空间,堆排序空间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。 堆排序和快速排序的平均时间复杂度都是 O ( n ∗ log 2 n ) O(n \* \\log\_2^n) O(n∗log2n),它们都是不稳定排序。 快速排序的最坏时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),而堆排序的最坏时间复杂度稳定在 O ( n ∗ log 2 n ) O(n \* \\log\_2^n) O(n∗log2n)。 快速排序的递归和非递归方法空间复杂度都是 O ( n ) O(n) O(n),而堆排序的空间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1)。 ## References ## [http://www.cxyxiaowu.com/author/cxyxiaohuihui][http_www.cxyxiaowu.com_author_cxyxiaohuihui] [https://www.cxyxiaowu.com/5352.html][https_www.cxyxiaowu.com_5352.html] [https://www.cxyxiaowu.com/5393.html][https_www.cxyxiaowu.com_5393.html] [https://blog.csdn.net/bjweimengshu][https_blog.csdn.net_bjweimengshu] 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