计算几何基础知识整理大全代码模板与证明过程（直线、向量、多边形、三维计算几何、凸包、半平面交、最小圆覆盖）

比眉伴天荒 2022-10-23 11:11 504阅读 0赞

### 计算几何 ###

*   *  计算几何基础知识
     *   *  一、求 π \\pi π的方法
         *  二、余弦定理
         *  三、向量
         *   *  （1）向量的加、减、数乘运算
             *  （2）向量的内积
             *  （3）向量的外积
             *  （4）向量常用函数
             *   *  1、求向量的模
                 *  2、计算两向量夹角
                 *  3、计算两向量构成的平行四边形有向面积
                 *  4、求向量A顺时针旋转角度 θ \\theta θ后的向量
         *  四、点与直线
         *   *  （1）直线的表示形式
             *  （2）判断点是否在直线上
             *  （3）判断点是否在线段上
             *  （4）判断两直线是否相交，求交点
             *  （5）点到直线的距离
             *  （6）点到线段的距离
             *  （7）点在直线上的投影
             *  （8）判断线段是否相交
     *  计算几何之多边形
     *   *  一、三角形
         *   *  （1）三角形的面积
             *   *  海伦公式
             *  （2）三角形的四心
             *   *  1、外心
                 *  2、内心
                 *  3、垂心
                 *  4、重心
         *  二、凸多边形
         *   *  （1）定义
             *  （2）凸多边形的性质
         *  三、多边形
         *   *  （1）求多边形的面积
             *   *  代码模板
             *  （2）判断点是否在多边形内
             *  （3）皮克定理
     *  三维中的计算几何
     *   *  一、三维向量的表示
         *  二、叉积
         *  三、求平面的法向量
         *  四、判断点x是否在平面里
         *  五、求点x到平面的距离
         *  六、多面体欧拉定理
     *  凸包
     *  半平面交
     *  最小圆覆盖问题

## 计算几何基础知识 ##

### 一、求 π \\pi π的方法 ###

我们在代码中一般把 π \\pi π记作PI，PI = acos(-1)。因为我们都知道cos( π \\pi π) = -1，所以PI = arccos(-1)。  
acos()

### 二、余弦定理 ###

c^2 = a^2 + b^2 - 2acos(t);

### 三、向量 ###

#### （1）向量的加、减、数乘运算 ####

计算：坐标分别直接相加减乘。  
对应几何意义：平行四边形法则。

#### （2）向量的内积 ####

**内积也称作点积：** a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ⋅ ∣ b ⃗ ∣ ⋅ c o s θ \\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| \\cdot |\\vec b| \\cdot cos\\theta a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cosθ

**数学计算**：就是x、y坐标分别相乘再相加即可。即若 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) ， b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \\vec a = (x\_1,y\_1)，\\vec b = (x\_2,y\_2) a=(x1,y1)，b=(x2,y2) 。则 a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 \\vec a \\cdot \\vec b = x\_1 \\times x\_2 + y\_1 \\times y\_2 a⋅b=x1×x2\+y1×y2 。内积得到的答案是一个数值。

**几何意义：** 向量A、B的内积就等于向量A在向量B上的投影长度乘向量B的长度。

**代码实现**

double dot(Point a,Point b)
    { 
    	return a.x * b.x + a.y * b.y;
    }

#### （3）向量的外积 ####

**外积也称作叉积：** a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ⋅ ∣ b ⃗ ∣ ⋅ s i n θ \\vec a \\times \\vec b = |\\vec a| \\cdot |\\vec b| \\cdot sin\\theta a×b=∣a∣⋅∣b∣⋅sinθ

**数学计算：** a ⃗ × b ⃗ = x 1 × y 2 − x 2 × y 1 \\vec a \\times \\vec b = x\_1 \\times y\_2 - x\_2 \\times y\_1 a×b=x1×y2−x2×y1

**几何意义：** 外积求出来的是以向量A和B为两边的三角形面积的两倍，也就是以向量A和B为两边的平行四边形面积。这里求出来的面积是个有向面积，是分正负的，与角度有关。

叉积的前后顺序是有要求的，交换顺序后的答案是相反的，因为他计算的是有向面积，他取的角度是前者逆时针旋转到后者的角度为 θ \\theta θ，而不单纯的是二者的夹角。 u ⃗ × v ⃗ = − ( v ⃗ × u ⃗ ) \\vec u \\times \\vec v = -(\\vec v \\times \\vec u) u×v=−(v×u)

**代码实现**

double cross(Point a,Point b)
    { 
    	return a.x * b.y - b.x * a.y;
    }

#### （4）向量常用函数 ####

##### 1、求向量的模 #####

∣ a ⃗ ∣ = a ⃗ ⋅ a ⃗ |\\vec a| = \\sqrt\{\\vec a \\cdot \\vec a\} ∣a∣=a⋅a

double len(Point a)
    { 
    	return sqrt(dot(a,a));
    }

##### 2、计算两向量夹角 #####

c o s θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos\\theta = \\frac\{\\vec a \\cdot \\vec b\}\{|\\vec a||\\vec b|\} cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b

double angle(Point a,Point b)
    { 
    	return acos(dot(a,b) / len(a) / len(b));
    }

##### 3、计算两向量构成的平行四边形有向面积 #####

S 平 行 四 边 形 = a ⃗ × b ⃗ S\_\{平行四边形\} = \\vec a \\times \\vec b S平行四边形=a×b

double area(Point a,Point b)
    { 
    	return cross(a,b);
    }

##### 4、求向量A顺时针旋转角度 θ \\theta θ后的向量 #####

记原向量A = (x，y)，旋转后 θ \\theta θ角度后的向量是(x’，y’)  
则有 ( x ′ , y ′ ) = ( x , y ) \[ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ \] (x',y') = (x,y)\\left\[ \\begin\{matrix\} cos\\theta & -sin\\theta \\\\ sin\\theta & cos\\theta \\end\{matrix\} \\right\] (x′,y′)=(x,y)\[cosθsinθ−sinθcosθ\]  
在计算机上记 θ \\theta θ角的大小为angle

Point rotate(Point a,double angle)
    { 
    	return Point(a.x * cos(angle) + a.y * sin(angle) , -a.x * sin(angle) + a.y * cos(angle));
    }

### 四、点与直线 ###

#### （1）直线的表示形式 ####

①一般式：ax + by + c = 0		//可以处理所有直线
    ②斜截式：y = kx + b		//较为直观，但无法处理竖直的直线，需特判竖直线
    ③点向式：p0 + tv			//最常见，这里的p0是直线上的一点，v是平行直线的一个向量。每一个t对应直线上的一个点

#### （2）判断点是否在直线上 ####

随意取直线上一个非零向量（或两点），做一个向量起点到该点的向量，判断这两个向量**叉积是否为0**。  
为0说明其组成的平行四边形面积是0，说明点在直线上；不为0说明点不在直线上。

bool on_line(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	Vector v = b - a,u = p - a;
    	if(cross(v,u) == 0)
    		return 1;
    	else
    		return 0;
    }

#### （3）判断点是否在线段上 ####

首先先判断ab向量和ap向量的**叉积是否为0**，和直线一样先判断是否共线；然后就要判断p在线段上还是在线段两边，这里我们只需要判断ap向量和bp向量的方向即可，只要这两向量是反向的，就说明p在ab中间，在线段上，这通过两向量的点积来判断，若**点积小于等于0**，说明是反向的，在线段上。

bool on_segment(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	Vector v = b - a,u = p - a,l = p - b;
    	return (cross(v,u) == 0 && dot(u,l) <= 0);
    }

#### （4）判断两直线是否相交，求交点 ####

若cross(v,w) == 0，则两直线平行或重合，否则可求交点（直线一般用点向式表示）

Point intersection(Point p,Vector v,Point q,Vector w)	//点向式表示直线
    { 
    	Vector u = p - q;
    	double t = cross(w,u) / cross(v,w);
    	return { p.first+t*v.first , p.second+t*v.second};
    }

证明：[证明过程][Link 1]在这里

#### （5）点到直线的距离 ####

double distance_line(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	Vector v1 = b - a,v2 = p - a;
    	return fabs(cross(v1,v2) / len(v1));
    }

这里是已知直线上任意两点a、b，求p到直线的距离  
证明：[证明过程][Link 2]在这里

#### （6）点到线段的距离 ####

double distance_segment(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	if(a == b)
    		return len(p-a);
    	Vector v1 = b - a,v2 = p - a,v3 = p - b;
    	if(dot(v1,v2) < 0)
    		return len(v2);
    	if(dot(v1,v3) > 0)
    		return len(v3);
    	return distance_line(p,a,b);
    }

证明：[证明过程][Link 2]在这里。

#### （7）点在直线上的投影 ####

Point projection(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	Vector v = b - a,u = p - a;
    	return a + v * (dot(v,u) / dot(v,v));
    }

证明：[证明过程][Link 3]在这里

#### （8）判断线段是否相交 ####

已知两线段 a 1 a 2 a\_1a\_2 a1a2和 b 1 b 2 b\_1b\_2 b1b2，判断是否相交

bool segment_intersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
    { 
    	double c1 = cross(a2 - a1,b1 - a1), c2 = cross(a2 - a1,b2 - a1);
    	double c3 = cross(b2 - b1,a2 - b1), c4 = cross(b2 - b1,a1 - b1);
    	return (c1 * c2 <= 0 && c3 * c4 <= 0);
    }

证明：[证明过程][Link 4]在这里

## 计算几何之多边形 ##

### 一、三角形 ###

#### （1）三角形的面积 ####

求三角形面积分为两种情况，若给的是顶点坐标，就用叉积法来求，若给的是三边长，就用海伦公式来求。

##### 海伦公式 #####

已知三边长为a、b、c。

p = (a+b+c) / 2;
    s = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c));

#### （2）三角形的四心 ####

##### 1、外心 #####

外接圆圆心。三边中垂线交点，外心到三顶点的距离相等。

##### 2、内心 #####

内接圆圆心。三条角平分线交点，内心到三边的距离相等。

##### 3、垂心 #####

三条高的交点

##### 4、重心 #####

三条中线的交点  
（重心的两个性质：1、他是到三角形三顶点距离的平方和最小的点。2、他也是三角形内部到三边距离之积最大的点）

### 二、凸多边形 ###

#### （1）定义 ####

凸多边形是指过多边形的任意一边做一条直线，如果其他各个顶点都在这条直线的同侧，则把这个多边形叫做凸多边形

#### （2）凸多边形的性质 ####

1、任意凸多边形的外角和均为360°  
2、任意凸多边形的内角和为（n-2）180°

### 三、多边形 ###

#### （1）求多边形的面积 ####

任取平面上一点P，然后逆时针依次枚举多边形的每条边，用点P到该边起点 的向量叉乘该边，将所有答案相加就是该多边形的面积的两倍，如下图：  
![eg][]  
如图： S 平 行 四 边 形 A B C D = P A ⃗ × A B ⃗ + P B ⃗ × B C ⃗ + P C ⃗ × C D ⃗ + P D ⃗ × D A ⃗ 2 S\_\{平行四边形ABCD\} = \\frac\{\\vec \{PA\} \\times \\vec\{AB\} + \\vec\{PB\} \\times \\vec\{BC\} + \\vec\{PC\} \\times \\vec\{CD\} + \\vec\{PD\} \\times \\vec\{DA\}\}\{2\} S平行四边形ABCD=2PA×AB\+PB×BC\+PC×CD\+PD×DA

我们一般选取多边形的一个顶点p\[0\]作为定点，便于计算，因为叉积得到的是有向面积，所以红色的是被减去的，蓝色的是加上的，最后枚举完所有边后，得到的有向面积就是多边形的面积（可以自己画图试一下）。

##### 代码模板 #####

//求面积的方法有很多，这里给两个方法
    //方法一：枚举每个点，这里取原点o作为定点方便计算
    double polygon_area(Point p[],int n)
    { 
    	double s = 0;
    	for(int i = 1;i < n;i++)
    		s += cross(p[i],p[i-1]);	//cross是计算叉积
    	s += cross(p[n-1],p[0]);
    	return s / 2;
    }
    
    //方法二：枚举多边形的每条边，如上图
    double polygon_area(Point p[],int n)
    { 
    	double s = 0;
    	for(int i = 1;i < n-1;i++)
    		s += cross(p[i] - p[0],p[i+1] - p[i]);
    	return s / 2;
    }

#### （2）判断点是否在多边形内 ####

①射线法：从该点出发，任意做一条和边不平行的射线，若射线和多边形交点个数是奇数，说明在内部；若为偶数，说明在外部。  
②转角法：从该点依次向多边形每个顶点做向量，然后判断转过的角度是不是360°，若是，则在内部；否则在外部。  
③（若该多边形是凸多边形）则可判断该点是不是在所有边的左侧即可。可以用向量的叉积判断左侧。

#### （3）皮克定理 ####

皮克定理是计算格点中的多边形面积公式，格点是指所有点坐标都为整数的点。  
 S = a + b 2 − 1 S = a + \\frac b 2 - 1 S=a\+2b−1  
这里的a是多边形内部格点的个数，b是多边形边上格点的个数。

## 三维中的计算几何 ##

### 一、三维向量的表示 ###

三维向量的表示：（x，y，z）  
三维向量的加减法、数乘运算、点积运算，都与二维的相同，直接套。  
三维向量的模 ∣ V ∣ = s q r t ( x × x + y × y + z × z ) |V| = sqrt(x\\times x + y\\times y + z\\times z) ∣V∣=sqrt(x×x\+y×y\+z×z)

### 二、叉积 ###

几何意义：叉积的结果是一个向量，点积的结果是一个数。 a ⃗ \\vec a a和 b ⃗ \\vec b b叉积所得到的向量是既垂直于 a ⃗ \\vec a a也垂直于 b ⃗ \\vec b b的一个向量。  
方向：右手定则。  
代数计算： A × B = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , x 2 z 1 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) A\\times B=(y\_1z\_2-y\_2z\_1,x\_2z\_1-x\_1z\_2,x\_1y\_2-x\_2y\_1) A×B=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)

### 三、求平面的法向量 ###

根据叉积的性质，在平面里找两个不共线的向量，求他俩的叉积就是平面的法向量。

### 四、判断点x是否在平面里 ###

先求得平面的法向量 n ⃗ \\vec n n，然后在平面里任取一点p，判断向量px和法向量n的点积是否为0，为0说明点x在平面里，否则不在。  
点积为0的话说明px在法向量上的投影为0，说明p和x都在平面里.

### 五、求点x到平面的距离 ###

先求得平面的法向量 n ⃗ \\vec n n，然后在平面里任取一点p，求向量px在法向量n上的投影即为x到平面的距离。  
投影的求法： D = p x ⃗ ⋅ n ⃗ ∣ n ⃗ ∣ D = \\frac\{\\vec \{px\} \\cdot \\vec n\}\{|\\vec n|\} D=∣n∣px⋅n

### 六、多面体欧拉定理 ###

在多面体中有一个定理：多面体的 顶点数 - 棱长数 + 表面数 = 2

## 凸包 ##

传送门：[凸包的Andrew算法][Andrew]

## 半平面交 ##

传送门：[半平面交][Link 5]

## 最小圆覆盖问题 ##

传送门：[最小圆覆盖问题][Link 6]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114434281
[Link 2]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114448767
[Link 3]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114453558
[Link 4]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114476458
[eg]: /images/20221023/5cf21ec7323849189cd3d9d9ce6e57c7.png
[Andrew]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114553142
[Link 5]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114637655?spm=1001.2014.3001.5501
[Link 6]: https://blog.csdn.net/qq_45735851/article/details/114690719