一辆轿车和两只山羊问题解析（概率）

缺乏、安全感 2022-10-22 15:57 211阅读 0赞

### 一辆轿车和两只山羊问题解析（概率） ###

有些看似简单的问题，其实不简单，甚至让人感到反直觉。需要耐心细致的分析对比思考。

“玛丽莲问题”（也称为三扇门问题、蒙提霍尔问题）问题如下：台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？

玛丽莲的答案是应该换，但是很多读者不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列表说明她的道理，但反对声更多更大了。在几千封读者来信中，反对者达九成。其中有全国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗.埃尔笛希（Paul Erdos）也是反对者之一。

涉及到概率的问题，如果想解释得通俗易懂，让非专业人士也能很容易明白，那就不适合引入太多的专业术语和概念。为了方便大家的理解，我的回答不会涉及任何特别专业的词汇。

我们换种说法，先玩三个游戏：

游戏1.有三个盒子，一个盒子里有钻石，其它两个什么都没有。你先选了一个盒子，放在你的书包里。主持人把另外两个放在他的书包里。这时候问你，要不要用你的书包换主持人的书包？

分析：你的书包只有一个盒子，主持人的书包有两个，很显然，主持人的书包里有钻石的可能性更大。所以应该选择换！

游戏2.有三个盒子，一个盒子里有钻石，其它两个什么都没有。你先选了一个盒子，放在你的书包里。主持人把另外两个放在他的书包里。然后主持人从他的书包里扔掉一个没有钻石的盒子。这时候问你，要不要用你的书包换主持人的书包？

分析：主持人从他的书包里扔掉一个没有钻石的盒子，这个行为并不会改变书包里有钻石的概率。所以既然游戏1要换，那么游戏2同样要换。

游戏3.有三个盒子，一个盒子里有钻石，其它两个什么都没有。你先选了一个盒子。然后主持人从另外两个盒子中扔掉一个没有钻石的盒子。这时候问你，要不要用你的盒子换剩下的那个盒子？

分析：游戏2相对于游戏3，唯一的不同是增加了“书包”这个概念，但其实有没有把盒子装入书包，并不会对结论产生影响，本质上游戏3和游戏2是同一个游戏。所以游戏3同样要换。

而游戏3就是题目中所描述的蒙提霍尔问题。因此结论只有一个字：换。

再换一种图示方法：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NuZHMxMjM_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

**附录**

**概率的定义**

概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比，称为这个事件在这n次试验中出现的频率。当试验次数n很大时，频率将“稳定”在一个常数附近。n越大，频率偏离这个常数大的可能性越小。这个常数称为该事件的概率。

**“三门问题”的视频（费曼解释）**  
[https://www.bilibili.com/video/BV1Pr4y1P75x/?spm\_id\_from=333.788.recommend\_more\_video.0][https_www.bilibili.com_video_BV1Pr4y1P75x_spm_id_from_333.788.recommend_more_video.0]

**Python模拟解决三门问题**

通过程序模拟三门问题，并重复进行大量测试，统计换门与不换门的情况下，赢得汽车的概率。

#检测若输入的模拟次数不是整数，提示重新输入
    while True:
         try:
             total = input("请输入模拟次数:")
             total=int(total)
             break   #若输入的正确，则退出，错误执行except下面代码
         except:
             print('您输入的内容不规范，请重新输入：')
    #根据你输入的保存在total中次数，重复进行大量测试，统计换门与不换门赢得汽车的概率
    a=b=c=d=e=f=0.00
    x=0
    from random import randint
    list=["sheep1","sheep2","car"]
    tuple=("yes","no")
    while x!=total:
       t=randint(0,2)
       i=randint(0,1)
       if list[t]=="car":
            if tuple[i]=="yes":
             a+=1
            else:
             b+=1
       elif list[t]=="sheep1":
            if tuple[i]=="yes":
               c+=1
            else:
               d+=1
       elif list[t]=="sheep2":
            if tuple[i]=="yes":
               e+=1
            else:
               f+=1
       x+=1
    print("总次数为%d"%(total))
    print("换%d" %(a+c+e),"不换%d" %(b+d+f))
    print("不换赢的概率为%.2f%%"%(b/(c+b+e)*100))
    print("换赢的概率为%.2f%%"%((c+e)/(c+b+e)*100))

运行之，参见下图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NuZHMxMjM_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

由模拟结果可以看出，换门赢的概率大约是不换赢的概率的2倍，所以换门能增加参赛者赢得汽车的概率。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NuZHMxMjM_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221022/e8e674006d564ee7b1a63bf81d8e9be6.png
[https_www.bilibili.com_video_BV1Pr4y1P75x_spm_id_from_333.788.recommend_more_video.0]: https://www.bilibili.com/video/BV1Pr4y1P75x/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0
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