LeetCode题解 - 二分查找

╰+攻爆jí腚メ 2022-10-15 06:59 409阅读 0赞

# LeetCode题解 - 二分查找 #

### 文章目录 ###

*  LeetCode题解 - 二分查找
 *   *  1. 二分查找框架
     *  2. 寻找一个数（基本的二分查找）
     *  3. 寻找左侧边界的二分搜索
     *  3. 寻找右侧边界的二分查找
     *  4. 最后总结
     *  5. LeetCode相关题解
     *   *  69. x 的平方根（简单）
         *  求浮点数的平方根 保留小数
         *  744. 寻找比目标字母大的最小字母（简单）
         *   *  方法一：记录存在的字母
             *  方法二：线性扫描
             *  方法三：二分查找
         *  278. 第一个错误的版本（简单）
         *  540. 有序数组中的单一元素（中等）
         *  153. 寻找旋转排序数组中的最小值（中等）
         *  34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置（中等）
         *  875. 爱吃香蕉的柯柯（中等）
         *  1011. 在D天内送达包裹的能力（中等）

--------------------

**讲解部分参考：作者：labuladong 公众号：labuladong**

## 1. 二分查找框架 ##

int binarySearch(int[] nums, int target) {
        
        int left = 0, right = ...;
    
        while(...) {
        
            // int mid = (left + right) / 2;
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
        
                ...
            } else if (nums[mid] < target) {
        
                left = ...
            } else if (nums[mid] > target) {
        
                right = ...
            }
        }
        return ...;
    }

**分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节**。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中…标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

**时间复杂度**

二分查找也称为折半查找，每次都能将查找区间减半，这种折半特性的算法时间复杂度为 O(logN)。

**mid 计算**

有两种计算中值 mid 的方式：

*  mid = (left + right) / 2
 *  mid = left + (right - left)/2;

left + right 可能出现加法溢出，也就是说加法的结果大于整型能够表示的范围。但是 left 和 right 都为正数，因此 right - left不会出现加法溢出问题。所以，最好使用第二种计算法方法。

**未成功查找的返回值**

循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：

*  \-1：以一个错误码表示没有查找到 key
 *  l：将 key 插入到 nums 中的正确位置

## 2. 寻找一个数（基本的二分查找） ##

这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

Input : [1,2,3,4,5]
    key : 3
    return the index : 2

int binarySearch(int[] nums, int target) {
        
        int left = 0; 
        int right = nums.length - 1; // 注意
    
        while(left <= right) {
         // 注意
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] == target)
                return mid; 
            else if (nums[mid] < target)
                left = mid + 1; // 注意
            else if (nums[mid] > target)
                right = mid - 1; // 注意
            }
        return -1;
    }

*1*. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 \[left, right\]，后者相当于左闭右开区间 \[left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们**这个算法中使用的是 \[left, right\] 两端都闭的区间。这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」。**

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if(nums[mid] == target)
            return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？**搜索区间为空的时候应该终止**，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 \[right + 1, right\]，或者带个具体的数字进去 \[3, 2\]，可见**这时候搜索区间为空**，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 \[right, right\]，或者带个具体的数字进去 \[2, 2\]，**这时候搜索区间非空**，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 \[2, 2\] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

//...
    while(left < right) {
        
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;

*2*. 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 \[left, right\]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？

当然是去搜索 \[left, mid - 1\] 或者 \[mid + 1, right\] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

*3*. 此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = \[1,2,2,2,3\]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

## 3. 寻找左侧边界的二分搜索 ##

二分查找可以有很多变种，实现变种要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置，直接看代码，其中的标记是需要注意的细节：

int left_bound(int[] nums, int target) {
        
        if (nums.length == 0) return -1;
        int left = 0;
        int right = nums.length; // 注意
    
        while (left < right) {
         // 注意
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
        
                right = mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
        
                left = mid + 1;
            } else if (nums[mid] > target) {
        
                right = mid; // 注意
            }
        }
        return left;
    }

*1.* 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?

答：用相同的方法分析，因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此**每次循环的「搜索区间」是 \[left, right) 左闭右开**。

while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 \[left, left) 恰巧为空，所以可以正确终止。

*2.* 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyODc0MzE5_size_16_color_FFFFFF_t_70][]  
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = \[2,3,5,7\], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 \[0, nums.length\]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

while (left < right) {
        
        //...
    }
    // target 比所有数都大
    if (left == nums.length) return -1;
    // 类似之前算法的处理方式
    return nums[left] == target ? left : -1;

*3.* 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 \[left, right) 左闭右开，所以当 nums\[mid\] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 \[left, mid) 或 \[mid + 1, right)。

*4.* 为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums\[mid\] == target 这种情况的处理：

if (nums[mid] == target)
            right = mid;

可见，**找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 \[left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。**

*5.* 为什么返回 left 而不是 right？

答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

## 3. 寻找右侧边界的二分查找 ##

寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：

int right_bound(int[] nums, int target) {
        
        if (nums.length == 0) return -1;
        int left = 0, right = nums.length;
    
        while (left < right) {
        
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
        
                left = mid + 1; // 注意
            } else if (nums[mid] < target) {
        
                left = mid + 1;
            } else if (nums[mid] > target) {
        
                right = mid;
            }
        }
        return left - 1; // 注意
    }

*1.* 为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：类似地，关键点还是这里：

if (nums[mid] == target) {
        
            left = mid + 1;

**当 nums\[mid\] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。**

*2.* 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

if (nums[mid] == target) {
        
            left = mid + 1;
            // 这样想: mid = left - 1

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyODc0MzE5_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums\[left\] 一定不等于 target 了，而 nums\[left - 1\] 可能是 target。

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

*3.* 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 \[0, nums.length\]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

while (left < right) {
        
        // ...
    }
    if (left == 0) return -1;
    return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

## 4. 最后总结 ##

先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

第一个，最基本的二分查找算法：

因为我们初始化 right = nums.length - 1
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
    所以决定了 while (left <= right)
    同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
    
    因为我们只需找到一个 target 的索引即可
    所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个，寻找左侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
    所以决定了 while (left < right)
    同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
    
    因为我们需找到 target 的最左侧索引
    所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
    而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个，寻找右侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
    所以决定了 while (left < right)
    同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid
    
    因为我们需找到 target 的最右侧索引
    所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
    而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
    
    又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
    所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

## 5. LeetCode相关题解 ##

### 69. x 的平方根（简单） ###

实现 `int sqrt(int x)` 函数。计算并返回 *x* 的平方根，其中 *x* 是非负整数

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

输入: 4
    输出: 2

输入: 8
    输出: 2
    说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
         由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

\*\*解题思路：\*\*本题是二分查找的典型应用场景：查找一个有确定范围的整数，根据 **单调性** 逐渐缩小搜索范围。二分查找的下界为 0，上界可以粗略地设定为 x 。在二分查找的每一步中，我们只需要比较中间元素 mid 的平方与 x 的大小关系，并通过比较的结果调整上下界的范围。

class Solution {
        
        public int mySqrt(int x) {
        
            int left = 1, right = x;
            while(left <= right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                int sqrt = x / mid;  //用x/m<m而不是m*m>x防止溢出
                if(mid == sqrt){
        
                    return mid;
                }else if(mid < sqrt){
        
                    left = mid + 1;
                }else if(mid > sqrt){
        
                    right = mid - 1;
                }
            }
            return right;
        }
    }

### 求浮点数的平方根 保留小数 ###

public class Solution {
        
        private static double epsilon = 1e-15;
        public static void main(String[] args)throws IOException{
        
            BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
            String numStr = bf.readLine().trim();
            int x = Integer.parseInt(numStr);
            double ans = mySqrt(x,epsilon);
            System.out.printf(String.format("%.3f",ans));
        }
    
        public static double mySqrt(double x , double epsilon){
        
            double left = 0 , right = x;
            if(x == 0 || x == 1){
        
                return x;
            }
            while(left < right){
        
                double mid = left + (right - left) / 2;
                if(Math.abs(mid * mid - x) < epsilon){
        
                    return mid;
                }else if(mid * mid < x){
        
                    left = mid;
                }else{
        
                    right = mid;
                }
            }
            return left;
        }
    
    }

[参考链接][Link 1]

### 744. 寻找比目标字母大的最小字母（简单） ###

给你一个排序后的字符列表 `letters` ，列表中只包含小写英文字母。另给出一个目标字母 `target`，请你寻找在这一有序列表里比目标字母大的最小字母。

在比较时，字母是依序循环出现的。举个例子：

*  如果目标字母 `target = 'z'` 并且字符列表为 `letters = ['a', 'b']`，则答案返回 `'a'`

输入:
    letters = ["c", "f", "j"]
    target = "a"
    输出: "c"
    
    letters = ["c", "f", "j"]
    target = "j"
    输出: "c"

**解题思路：**

#### 方法一：记录存在的字母 ####

*  扫描 `letters` 记录字母是否存在。可以用大小为 26 的数组或者 `Set` 来实现。

*  然后，从下一个字母（从比目标大一个的字母开始）开始检查一下是否存在。如果有的话则是答案。

class Solution {
        
        public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
        
            boolean[] exist = new boolean[26];
            for(char c : letters){
        
                exist[c - 'a'] = true;
            }
    
            while(true){
        
                target++;
                if(target > 'z')  target = 'a'; //如果大于z则再从头开始找
                if(exist[target - 'a']) return target;           
            }
        }
    }

**复杂度分析**

*  时间复杂度：O(N)。N指的是 `letters` 的长度，我们扫描数组的每个元素。
 *  空间复杂度：O(1)。`seen` 最大的空间为 26。

#### 方法二：线性扫描 ####

由于 `letters` 已经有序，当我们从左往右扫描找到比目标字母大字母则该字母就是答案。否则(`letters`不为空)答案将是 `letters[0]`。

class Solution{
        
        public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
        
            for(char c : letters){
        
                if(c > target){
        
                    return c;
                }
            }
            return letter[0];
        }
    }

#### 方法三：二分查找 ####

本题不是要求你查找目标元素，而是要查找**比目标字母大的最小字母**，可以理解为**寻找满足条件的最左侧边界**。

1.取 left = 0, right = letters.length，相当于在搜索区间 \[left, right）中查找；

2.如果 letters\[mid\] < target，则在区间 \[mid + 1, right）中查找；

3.如果 letters\[mid\] > target，则在区间 \[left, mid）中查找；

4.当 letters\[mid\] == target 时，也在区间 \[mid + 1, right) 中查找，因为题目要求查找比目标字母大的最小字母，所有得在查找到 letters\[mid\] == target 时，还需要在 mid 的右侧查找。

5.最后比较 left 是否等于 letters.length，等于则直接返回 letters\[0\]，否则返回 letters\[left\] 。

class Solution {
        
        public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
        
           int left = 0, right = letters.length;
           while(left < right){
        
               int mid = left + (right - left) / 2;
               if(letters[mid] <= target){
        
                   left = mid + 1;
               }else{
        
                   right = mid;
               }
           }
           return left == letters.length ? letters[0] : letters[left];
        }
    }

### 278. 第一个错误的版本（简单） ###

给定一个元素 n 代表有 \[1, 2, …, n\] 版本，在第 x 位置开始出现错误版本，导致后面的版本都错误。可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。

**解题思路：此题即为在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置**，可以参考上面的框架

/* The isBadVersion API is defined in the parent class VersionControl.
          boolean isBadVersion(int version); */
    public class Solution extends VersionControl {
        
        public int firstBadVersion(int n) {
        
            int left = 1, right = n;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(!isBadVersion(mid)){
        
                    left = mid + 1;
                }else{
        
                    right = mid;
                }
            }
            return left;
        }
    }

--------------------

### 540. 有序数组中的单一元素（中等） ###

给定一个只包含整数的有序数组，每个元素都会出现两次，唯有一个数只会出现一次，找出这个数。

输入: [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
    输出: 2

输入: [3,3,7,7,10,11,11]
    输出: 10

**解题思路**：为了使用二分搜索，我们需要查看中间的元素来判断我们的答案在中间，左边还是右边。我们的数组个数始终是奇数，因为有一个元素出现一次，其余元素出现两次。当我们从中心移除一对元素时，将剩下左子数组和右子数组。

![在这里插入图片描述][d9884753c7186400ec69186b1b2f1d90.png]

与原数组一样，包含单个元素的子数组元素个数必为奇数，不包含单个元素的子数组必为偶数。 因此，当原数组移除一对元素后，然后计算出哪一侧的子数组元素个数是奇数，这样我们就能够知道下一步应该在哪一侧进行搜索。

下面包含四个例子，自己多画图看看！

class Solution {
        
        public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(nums[mid] == nums[mid - 1]){
        //中点跟左边的相等，则判断除开中点，左边还剩几位数；
                    //这里特别注意索引值相减为偶数，说明是奇数个数字哦！！1
                    if((mid - left) % 2 == 0){
        //如果左边剩奇数个数，则说明答案在左边，改变right值
                        right = mid - 2;
                    }else{
                     否则说明右边的存在答案值，改变left的值
                        left = mid + 1;
                    }
                }else if(nums[mid] == nums[mid + 1]){
        //中点跟右边的相等，还是看mid索引值；
                    if((mid - left) % 2 == 0){
         //如果左边剩奇数个数，则说明答案在右边，改变left值
                        left = mid + 2;                  
                    }else{
        
                        right = mid - 1; //否则说明在左边，更新right值
                    }
                }else{
        //中点跟左右都不相等，直接返回
                    return nums[mid];
                }
            }
            return nums[left];
        }
    }

**方法二：仅对偶数索引进行二分搜索**

**奇数长度的数组首尾元素索引都为偶数**，因此我们可以将 left 和 right 设置为数组首尾。**我们需要确保 mid 是偶数**，如果为奇数，则将其减 1。然后，我们检查 mid 的元素是否与其后面的索引相同。

*  如果相同，则我们知道 mid 不是单个元素。且单个元素在 mid 之后。则我们将 left 设置为 mid + 2。
 *  如果不是，则我们知道单个元素位于 mid，或者在 mid 之前。我们将 right 设置为 mid。
 *  一旦 left == right，则当前搜索空间为 1 个元素，那么该元素为单个元素，我们将返回它。

class Solution {
        
        public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(mid % 2 == 1){
        
                    mid--;
                }
                if(nums[mid] == nums[mid + 1]){
        
                    left = mid + 2;
                }else{
        
                    right = mid;
                }
            }
            return nums[left];
        }
    }

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### 153. 寻找旋转排序数组中的最小值（中等） ###

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组`nums = [0,1,2,4,5,6,7]` 在变化后可能得到：

*  若旋转 `4` 次，则可以得到 `[4,5,6,7,0,1,2]`
 *  若旋转 `7` 次，则可以得到 `[0,1,2,4,5,6,7]`

注意，数组 `[a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]]` **旋转一次** 的结果为数组`[a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]]`

给你一个元素值 **互不相同** 的数组 `nums` ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 **最小元素**

输入：nums = [3,4,5,1,2]
    输出：1
    解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

输入：nums = [11,13,15,17]
    输出：11
    解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

**解题思路**：首先，创建两个指针 left, right 分别指向 numbers 首尾数字，然后计算出两指针之间的中间索引值mid，然后我们会遇到以下三种情况：

*  mid > right ：代表最小值一定在 mid 右侧，所以 left 移到 mid+1 的位置。
 *  mid < right ：代表最小值一定在 mid 左侧或者就是 mid，所以 right 移到 mid 的位置。
 *  mid 既不大于 left 指针的值，也不小于 right 指针的值，代表着 mid 可能等于 left 指针的值，或者 right 指针的值，我们这时候只能让 right 指针递减，来一个一个找最小值了。

class Solution {
        
        public int findMin(int[] nums) {
        
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(nums[mid] > nums[right]){
        
                    left = mid + 1;
                }else{
        
                    right = mid;
                }
            }
            return nums[left];
        }
    }

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### 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置（中等） ###

给定一个按照升序排列的整数数组 `nums`，和一个目标值 `target`。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 `target`，返回 `[-1, -1]`。

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
    输出：[3,4]

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
    输出：[-1,-1]

**解题思路**：第一种方法就是基于二分法的寻找最左侧边界（元素第一次出现的位置）和寻找最右侧边界（元素最后一次出现的位置）的框架，当中点值大于目标值时，两种情况都是更新right = mid；当中点值小于目标值时，都是更新left = mid + 1；只有当中点值等于目标值时处理方式不同，对于最左侧边界就是使right = mid，来不断向左侧逼近，而对于最右侧边界就是使left = mid + 1来不断向右侧逼近；这里采用的方法如下所示（重点注意相等情况）

class Solution {
        
        public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        
            int left = 0, right = nums.length;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(nums[mid] < target){
        
                    left = mid + 1;
                }else if(nums[mid] > target){
        
                    right = mid;
                }else{
        
                    int l=mid, r=mid;
                    //找左边 
                    while(l > 0 && nums[l] == nums[l - 1]) l--;
                    //找右边
                    while(r + 1 < nums.length && nums[r] == nums[r+1]) r++;
                    return new int[]{
        l, r};
                }
            }
            return new int[]{
        -1, -1};
        }
    }

上面的方法需要实现两个二分查找，我们可以做一下改进，将寻找 target 最后一个位置，转换成寻找 target+1 第一个位置，再往前移动一个位置。这样我们只需要实现一个二分查找代码即可。

class Solution {
        
        public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        
            int first = findFirst(nums, target);
            int last = findFirst(nums, target + 1) - 1;
            if(first == nums.length || nums[first] != target){
        
                return new int[]{
        -1, -1};
            }else{
        
                return new int[]{
        first, last};
            }
    
        }
    	//寻找最左侧边界
        public int findFirst(int[] nums, int target){
        
            int left = 0, right = nums.length;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(nums[mid] < target){
        
                    left = mid + 1;
                }else{
        
                    right = mid;
                }
            }
            return left;
        }
    }

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### 875. 爱吃香蕉的柯柯（中等） ###

珂珂喜欢吃香蕉。这里有 `N` 堆香蕉，第 `i` 堆中有 `piles[i]` 根香蕉。警卫已经离开了，将在 `H` 小时后回来。珂珂可以决定她吃香蕉的速度`K`（单位：根/小时）。每个小时，她将会选择一堆香蕉，从中吃掉 `K` 根。如果这堆香蕉少于 `K` 根，她将吃掉这堆的所有香蕉，然后这一小时内不会再吃更多的香蕉。

珂珂喜欢慢慢吃，但仍然想在警卫回来前吃掉所有的香蕉。

返回她可以在 `H` 小时内吃掉所有香蕉的最小速度 `K`（`K` 为整数）。

输入: piles = [3,6,7,11], H = 8
    输出: 4

输入: piles = [30,11,23,4,20], H = 5
    输出: 30

如果直接给你这个情景，你能想到哪里能用到二分查找算法吗？如果没有见过类似的问题，恐怕是很难把这个问题和二分查找联系起来的。

那么我们先抛开二分查找技巧，**想想如何暴力解决这个问题呢？**

首先，算法要求的是「`H`小时内吃完香蕉的最小速度」，我们不妨称为`speed`，**请问`speed`最大可能为多少，最少可能为多少呢？**

显然最少为 1，最大为`max(piles)`，因为一小时最多只能吃一堆香蕉。那么暴力解法就很简单了，只要从 1 开始穷举到`max(piles)`，一旦发现发现某个值可以在`H`小时内吃完所有香蕉，这个值就是最小速度：

int minEatingSpeed(int[] piles, int h) {
        
        // piles 数组的最大值
        int max = getMax(piles);
        for (int speed = 1; speed < max; speed++) {
        
            // 以 speed 是否能在 H 小时内吃完香蕉
            if (canFinish(piles, speed, h))
                return speed;
        }
        return max;
    }

注意这个 for 循环，就是在**连续的空间线性搜索，这就是二分查找可以发挥作用的标志**。

由于我们要求的是最小速度，所以可以用一个**搜索左侧边界的二分查找**来代替线性搜索，提升效率：

class Solution {
        
        public int minEatingSpeed(int[] piles, int h) {
        
            int max = 0;
            for (int n : piles){
        
                max = Math.max(n, max);
            }
                
            int left = 1, right = max + 1;//注意right取值为max+1，这样搜索区间就为[left,right)
            while (left < right) {
        
                // 防止溢出
                int mid = left + (right - left) / 2;
                if (canFinish(piles, mid, h)) {
        
                    right = mid;
                } else {
        
                    left = mid + 1;
                }
            }
            return left;
        }
    
        // 时间复杂度 O(N)
        boolean canFinish(int[] piles, int speed, int h) {
        
            int time = 0;
            for (int n : piles) {
        
                int t = (n / speed) + ((n % speed > 0) ? 1 : 0);
                time += t;
            }
            return time <= h;
        }
    }

至此，借助二分查找技巧，算法的时间复杂度为 O(NlogN)。

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### 1011. 在D天内送达包裹的能力（中等） ###

传送带上的包裹必须在 D 天内从一个港口运送到另一个港口。传送带上的第 `i` 个包裹的重量为 `weights[i]`。每一天，我们都会按给出重量的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。返回能在 `D` 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], D = 5
    输出：15
    解释：
    船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
    第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
    第 2 天：6, 7
    第 3 天：8
    第 4 天：9
    第 5 天：10
    
    请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。

其实本质上和 Koko 吃香蕉的问题一样的，首先确定`cap`的最小值和最大值分别为`max(weights)`和`sum(weights)`。

类似刚才的问题，我们要求**最小载重**，可以用 for 循环从小到大遍历，那么就可以用**搜索左侧边界的二分查**找算法优化线性搜索：

class Solution {
        
        public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
        
            int max = 0, sum = 0;
            for(int w : weights){
        
                max = Math.max(w, max);
                sum += w;
            }
            int left= max, right= sum + 1;
            while(left < right){
        
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(canLoad(weights, days, mid)){
        
                    right = mid;
                }else{
        
                    left = mid + 1;
                }
            }
            return left;
        }
    	//以下两种方法均可以
    	private boolean canLoad(int[] weights, int days, int load){
           
            int time = 0;
            int sum = 0;
            for(int i = 0; i < weights.length; i++){
        
                sum += weights[i];
                if(sum > load){
        
                    i = i - 1;
                    sum = 0;
                    time++;
                }
            }
            return time + 1 <= days;
        }
        
        private boolean canLoad(int[] w, int D, int cap) {
        
            int i = 0;
            for (int day = 0; day < D; day++) {
        
                int maxCap = cap;
                while ((maxCap -= w[i]) >= 0) {
        
                    i++;
                    if (i == w.length)
                        return true;
                }
            }
            return false;
        }
    }

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyODc0MzE5_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221014/f7a0eec2f6f24dbb955fd8cfd24aa99f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQyODc0MzE5_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221014/b9077e2429fe4d51881eded70bd6748b.png
[Link 1]: https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/solution/java-er-fen-fa-qiu-fu-dian-shu-de-ping-f-k9s5/
[d9884753c7186400ec69186b1b2f1d90.png]: /images/20221014/2f6053e74df04f1c9523a208e4064b8f.png