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客官°小女子只卖身不卖艺 2022-10-13 02:21 221阅读 0赞

江西理工大学理学院

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第四节

线性方程理论、二阶

常系数齐次线性方程

一、概念的引入

例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初

始速度v0 ≠ 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置

附近作上下振动.试确定物体的振动规律 x = x(t).

解 受力分析

1. 恢复力 f = ?cx; o

x

dx

2.阻力 R = ?μ ;

dt x

d 2 x dx

F = ma, ∴m = ?cx ? μ ,

Q dt 2 dt

d 2 x dx

\+ 2n + k 2 x = 0 物体自由振动的微分方程

dt 2 dt

若受到铅直干扰力 F = H sin pt,

d 2 x dx

\+ 2n β+ k 2 x = hsin pt 强迫振动的方程

dt 2 dt ω

2

d u du 2 E

Lc c + 2 c + u = m sinωt

dt 2 dt 0 c LC

串联电路的振荡方程

d 2 y dy

\+ P(x) + Q(x) y = f (x)

dx 2 dx

二阶线性微分方程

当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程

当 f (x) ≠ 0时，二阶线性非齐次微分方程

n阶线性微分方程

(n) (n?1)

y + P1 (x) y + L+ Pn?1 (x) y′ + Pn (x) y = f (x).

二、线性微分方程的解的结构

1.二阶齐次方程解的结构:

y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0 (1)

定理 1 如果函数 y1 (x)与 y2 (x)是方程(1)的两个

解,那末y = C1 y1 + C2 y2 也是(1)的解.(C1, C2是常

数)

问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？

定义：设 为定义在区间 内的 个

y1 , y2 ,L, yn I n

函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当 x

在该区间内有恒等式成立

，

k1 y1 + k2 y2 + L+ kn yn = 0

那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则

称线性无关

例如 当x ∈ (?∞, + ∞)时， e x，e ? x , e 2 x 线性无关

1，cos2 x, sin2 x 线性相关

y (x)

特别地 : 若在 I 上有 1 ≠ 常数，

y2 (x)

则函数y1 (x)与 y2 (x)在 I 上线性无关.

定理 2：如果 y1 (x)与 y2 (x)是方程(1)的两个线

性无关的特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2 就是方程(1

的通解.

例如 y′′ + y = 0, y1 = cos x, y2 = sin x,

y2

且 = tan x ≠ 常数, y = C1 cos x + C2 sin x.

y1

2.二阶非齐次线性方程的解的结构:

定理 3 设 y\*是二阶非齐次线性方程

y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = f (x) (2)

的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,

那么 y = Y + y\* 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通

解.

定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函

数之和, 如 y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = f1 (x) + f 2 (x)

\* \*

而 y1 与 y2 分别是方程,

y′′ + P(x)y′ + Q(x) y = f

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