三角函数的正交性及其公式推导

落日映苍穹つ 2022-10-12 05:53 385阅读 0赞

# 三角函数的正交性 #

废话不多说，直接上公式：

∫ − π π ( sin ⁡ n x ) ( sin ⁡ m x )   d x = 0 ， 其 中   n ≠ m ， n , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ ∫ − π π ( sin ⁡ n x ) ( cos ⁡ m x )   d x = 0 ， 其 中   n ≠ m ， n , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ ∫ − π π ( cos ⁡ n x ) ( cos ⁡ m x )   d x = 0 ， 其 中   n ≠ m ， n , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\sin nx) (\\sin mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \\neq m，n,m=0,1,2,\\cdots \\\\\\\\ & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\sin nx) (\\cos mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \\neq m，n,m=0,1,2,\\cdots \\\\\\\\ & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\cos nx) (\\cos mx)~ dx = 0 ，其中 ~ n \\neq m，n,m=0,1,2,\\cdots \\\\\\\\ \\end\{aligned\} ∫−ππ(sinnx)(sinmx) dx=0，其中 n=m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(sinnx)(cosmx) dx=0，其中 n=m，n,m=0,1,2,⋯∫−ππ(cosnx)(cosmx) dx=0，其中 n=m，n,m=0,1,2,⋯

其他公式：  
 ∫ − π π ( cos ⁡ m x ) ( cos ⁡ m x )   d x = π ， 其 中   m = 0 , 1 , 2 , ⋯ \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\cos mx) (\\cos mx) ~dx = \\pi，其中~m=0,1,2,\\cdots \\\\\\\\ \\end\{aligned\} ∫−ππ(cosmx)(cosmx) dx=π，其中 m=0,1,2,⋯

## 公式推导 ##

∫ − π π ( sin ⁡ n x ) ( sin ⁡ m x )   d x =    − 1 2 \[ ∫ − π π cos ⁡ ( n + m ) x   d x − ∫ − π π cos ⁡ ( n − m ) x   d x \]      （ 积 化 和 差 ） =    − 1 2 \[ 1 n + m sin ⁡ ( n + m ) x ∣ − π π − 1 n − m sin ⁡ ( n − m ) x ∣ − π π \] =    0 + 0 =    0 \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\sin nx) (\\sin mx)~ dx \\\\\\\\ = ~~& -\\frac\{1\}\{2\} \[ \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} \\cos(n+m)x ~dx - \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} \\cos(n-m) x~dx \] ~~~~（积化和差）\\\\\\\\ = ~~ &-\\frac\{1\}\{2\} \[ \\frac\{1\}\{n+m\} \\sin(n+m)x \\mid\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} - \\frac\{1\}\{n-m\} \\sin(n-m)x \\mid\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}\] \\\\\\\\ = ~~ & 0+0 \\\\\\\\ = ~~ & 0 \\end\{aligned\} =  =  =  =  ∫−ππ(sinnx)(sinmx) dx−21\[∫−ππcos(n\+m)x dx−∫−ππcos(n−m)x dx\]    （积化和差）−21\[n\+m1sin(n\+m)x∣−ππ−n−m1sin(n−m)x∣−ππ\]0\+00

∫ − π π ( cos ⁡ n x ) ( cos ⁡ m x )   d x =    1 2 \[ ∫ − π π cos ⁡ ( n − m ) x   d x + ∫ − π π cos ⁡ ( n + m ) x   d x \]      （ 积 化 和 差 ） =    1 2 \[ 1 n − m sin ⁡ ( n − m ) x ∣ − π π + 1 n + m sin ⁡ ( n + m ) x ∣ − π π \] =    0 + 0 =    0 \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\cos nx) (\\cos mx)~ dx \\\\\\\\ = ~~& \\frac\{1\}\{2\} \[ \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} \\cos(n-m)x ~dx + \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} \\cos(n+m) x~dx \] ~~~~（积化和差）\\\\\\\\ = ~~ &\\frac\{1\}\{2\} \[ \\frac\{1\}\{n-m\} \\sin(n-m)x \\mid\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} + \\frac\{1\}\{n+m\} \\sin(n+m)x \\mid\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}\] \\\\\\\\ = ~~ & 0+0 \\\\\\\\ = ~~ & 0 \\end\{aligned\} =  =  =  =  ∫−ππ(cosnx)(cosmx) dx21\[∫−ππcos(n−m)x dx\+∫−ππcos(n\+m)x dx\]    （积化和差）21\[n−m1sin(n−m)x∣−ππ\+n\+m1sin(n\+m)x∣−ππ\]0\+00

∫ − π π ( cos ⁡ m x ) ( cos ⁡ m x )   d x =    ∫ − π π 1 2 \[ 1 + cos ⁡ 2 m x \] d x =    1 2 \[ ∫ − π π 1   d x + ∫ − π π cos ⁡ 0 x cos ⁡ 2 m x   d x \] =    1 2 ∫ − π π 1   d x =    π \\begin\{aligned\} & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} (\\cos mx) (\\cos mx)~ dx \\\\\\\\ = ~~ & \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} \\frac\{1\}\{2\} \[1+\\cos 2mx\] dx\\\\\\\\ = ~~& \\frac\{1\}\{2\} \[\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} 1 ~dx + \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} \\cos 0x \\cos 2mx ~dx\] \\\\\\\\ = ~~ & \\frac\{1\}\{2\} \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} 1 ~dx \\\\\\\\ = ~~ & \\pi \\end\{aligned\} =  =  =  =  ∫−ππ(cosmx)(cosmx) dx∫−ππ21\[1\+cos2mx\]dx21\[∫−ππ1 dx\+∫−ππcos0xcos2mx dx\]21∫−ππ1 dxπ

其他公式同理

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# 参考资料 #

[纯干货数学推导\_傅里叶级数与傅里叶变换\_Part1\_三角函数的正交性][Part1]：https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v

[考研必备数学公式大全][Link 1]：https://blog.csdn.net/zhaohongfei\_358/article/details/106039576

[Part1]: https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v
[Link 1]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576