二叉树基础知识总结

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2022-10-01 00:58 153阅读 0赞

题外话

昨晚面了腾讯，问了一个完全二叉树的题，竟然让我算了快10分钟，因为等比公式记错了导致最后用最原始的方法推算结果也没算对，一下子就懵了。本来精心准备了1周的面试，最后因为自己基础知识记忆不牢固导致了悲剧。不管怎样，还是要继续查漏补缺，准备将数据结构再细细看一遍，先来补上二叉树的这个漏洞吧。

**一、树的定义**

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

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树具有的特点有：

（1）每个结点有零个或多个子结点

（2）没有父节点的结点称为根节点

（3）每一个非根结点有且只有一个父节点

（4）除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语有：

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“**双亲**”，子树的根称为该结点的“**孩子**”。有相同双亲的结点互为“**兄弟**”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的**后裔**。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的**祖先**。

**结点的度**：结点拥有的子树的数目

**叶子结点**：度为0的结点

**分支结点**：度不为0的结点

**树的度**：树中结点的最大的度

**层次**：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

**树的高度**：树中结点的最大层次

**森林**：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

**二、二叉树**

**1、二叉树的定义**

二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

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**2、二叉树的性质**

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)

性质2：深度为k的二叉树至多有2k\-1个结点（k>=1）

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2\+1

**3、性质4的证明**

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2\+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，不妨设n0表示度为0的结点个数，n1表示度为1的结点个数，n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n0\+n1\+n2 (1)

由度之间的关系可得第二个等式：n=n0\*0+n1\*1+n2\*2+1即n=n1\+2n2\+1 (2)

将（1）（2）组合在一起可得到n0=n2\+1

**三、满二叉树、完全二叉树和二叉查找树**

**1、满二叉树**

**定义**：高度为h，并且由2h\-1个结点组成的二叉树，称为满二叉树

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**2、完全二叉树**

**定义**：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。

**特点**：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

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**面试题**：如果一个完全二叉树的结点总数为768个，求叶子结点的个数。

由二叉树的性质知：n0=n2\+1，将之带入768=n0\+n1\+n2中得：768=n1\+2n2\+1，因为完全二叉树度为1的结点个数要么为0，要么为1，那么就把n1=0或者1都代入公式中，很容易发现n1=1才符合条件。所以算出来n2=383，所以叶子结点个数n0=n2\+1=384。

**总结规律**：如果一棵完全二叉树的结点总数为n，那么叶子结点等于n/2（当n为偶数时）或者(n+1)/2（当n为奇数时）

**3、二叉查找树**

定义：二叉查找树又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x结点包含关键字key，结点x的key值计为key\[x\]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key\[y\]<=key\[x\]；如果y是x的右子树的一个结点，则key\[y\]>=key\[x\]

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在二叉查找树种：

（1）若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。

（2）任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

（3）任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。

（4）没有键值相等的结点。

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