机器学习中的一些信息论 information theory

朱雀 2022-09-25 06:19 20阅读 0赞

## 信息量： ##

如果事情x发生，那么 p(x) 能为“事件x发生”所提供的信息量：

h(X)=−log2p(x)

也就是消除事情不确定性所需要的信息量，单位是 比特  
国足取得冠军的概率是0.01  h(国足取冠)=−log20.01=4.6比特  
羽毛球队取得冠军的概率是0.9  h(国羽取冠)=−log20.9=0.1比特

在信息论中，熵是接收的每条消息中包含的信息的平均量，它是不确定性的度量，越随机的信号源其熵越大  
离散：

H(X)=−∑xp(xi)log2p(xi)

连续：

H(X)=−∫p(x)log2p(x)

在最优化理论中，很多算法用熵作为优化目标，Watanabe也提出过“学习就是一个熵减的过程”，算法学习的过程就是信息不确定性减小的过程。比如 bayesian 分类器，在两类样本数量严重不平衡的情况下，如果以经验公式为训练目标，那么对少数类样本的分类会有严重的错误率，而以互信息为训练目标的分类器，则能够根据样本比例自动平衡错误率。

## 联合熵 ##

度量二维随机变量的不确定性

H(X，Y)=−∑i∑jp(xi,yj)log2p(xi,yj)

## 条件熵 ##

H(Y|X) 表示已知X， 求Y 的平均不确定性

H(Y|X)=−∑i∑jp(xi,yj)log2p(yj|xi)

H(Y|X)=∑ip(xi)H(Y|xi)

推导过程如下：

H(Y|X)=−∑i∑jp(xi)p(yi|xi)log2p(yi|xi)=−∑ip(xi)∑jp(yi|xi)log2p(yi|xi)=∑ip(xi)H(Y|xi)

由联合熵和条件熵可得：

H(X，Y)=−∑i∑jp(xi,yj)log2p(xi,yj)=−∑i∑jp(xi,yj)log2p(yj|xi)\+∑i⎛⎝∑jp(xi,yj)⎞⎠log2p(xi)=H(Y|X)\+H(X)

## 相对熵 ##

又称为**KL散度**（Kullback–Leibler divergence，KLD），**信息散度**（information divergence），**信息增益**（information gain）

主要用来衡量两个分布的相似度。假设连续随机变量x，真是的概率分布为p(x)， 模型得到的近似分布为q(x)  
离散：

KL(p||q)=−∑ip(xi)lnq(xi)−(−∑p(xi)lnp(xi))=∑ip(xi)lnp(xi)q(xi)

连续：

KL(p||q)=−∫xp(x)lnp(x)\+p(x)lnq(x)=∫xp(x)lnp(x)q(x)

对离散变量的相对熵：

KL(p||q)=−∑ip(xi)lnq(xi)−(−∑p(xi)lnp(xi))=H(p,q)−H(p)

应用：  
在LDA(Latent Dirichlet Allocation)中计算doc之间内容的相似度

其中

H(p,q)=−∑ip(xi)lnq(xi)

称为交叉熵（cross entropy），(注意  H(p,q) 和  H(X,Y) 的区别)

**应用**：  
做过神经网络二值分类器的同学，用 sigmoid 做激活函数的时候，和目标函数对比较一下，是不是发现很相似？其实就是用的 cross entropy cost function:

C=1n∑i\[yilnf(xi)\+(1−yi)ln(1−f(xi))\]

## 互信息 ##

相对熵是衡量同一个变量的两个一维分布之间的相似性，而互信息是用来衡量两个相同的一维分布变量之间的独立性  
mutual information I(p,q) 是衡量联合分布p(x,y) 和 p(x)p(y) 分布之间的关系，即他们之间的相关系数

I(X,Y)=KL(p(x,y)||p(x)p(y))=∑i∑jp(xi,yj)lnp(xi,yj)p(xi)p(yj)=−H(X,Y)\+H(X)\+H(Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)

## 信息增益 Information Gain ##

假设系统原有的熵为 H(X)，后来引入了特征 T，在固定特征 T 的情况下，系统的混乱度减小，熵减小为 H(X|T)，那么特征 T 给系统带来的信息增益为：

IG(T)=H(X)−H(X|T)

## 信息增益率 Information Gain ratio ##

R(X,T)=IG(T)splitinfo(T)

在特征提取与特征选择， 和图像处理中有广泛的应用，比如在决策树中用于选择下次进行分支划分的特征。

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