《An Introduction to Signal Smoothing》译文

男娘i 2022-09-22 11:44 134阅读 0赞

最近在做数据平滑相关的工作，正好读到该篇博客，感觉不错，就翻译了一下。原链接：[An Introduction to Signal Smoothing][]

# 信号平滑简介 #

噪声无处不在，不管是在采集手机游戏的加速度数据还是在测量房间的温度，都会引入误差。即使我们有能力消除所有的误差，测量的结果依旧包含一定程度的不确定性。假如玩家随意点击了一下手机屏幕，他们到底想点击哪里是不确定的。所有这些问题都强迫我们重新思考数据的采集和预处理。

## 1. 简介 ##

滤波器是寻找产生观测数据最可能信号的数学工具。它可以对渗透进传感器的噪声和不确定性进行消除。当前的各种设备，如触屏、游戏手柄、手机和游戏控制器等都是通过传感器采集用户的输入，所以这些设备都不可避免地会引入噪声。所以滤波器在用户体验上扮演着非常重要的角色。  
本博客会介绍关于平滑滤波器的基本知识。将这些知识应用到游戏中会极大提升游戏体验。

## 2. 噪声信号 ##

用一个简单例子来解释噪声是如何干扰信号的。假设一个传感器每隔固定时间采样一下数据，在时刻i产生观测值*S**i*。如果你是游戏开发者，这个传感器很可能是一个控制器，得到的数据可能为：`Input.GetAxis("Vertical")`。如果你是一个电子工程师，这个传感器可能是电位计，用来测量电压： `analogRead(3)`。这些时间序列都有一个共同点：都被噪声干扰。下图展示了一个被噪声污染的信号：  
![20160628222506728][]  
在这个例子中，噪声被人工添加到原始信号中。针对原始信号的每一个点*S**i*加上一个随机值：

*n**i*=*S**i*\+*r**a**n**d*()

如果满足上面的条件，我们就说噪声是满足可加性的，并且是均匀分布的。这时添加的噪声就独立于原始信号。满足可加性的一致性噪声通常来源于固定的外部干扰。

## 3. 滑动平均（Moving Average） ##

是否能重构被噪声污染的信号呢？答案是：看情况。这依赖于噪声的类型和幅度。减弱噪声的最简单方法被称为滑动平均。该方法基于这样一个假设：独立的噪声不会改变信号的基本结构。如果假设成立，则求几个连续点的平均值就可以减弱噪声。正如其名字所表示的，滑动平均就是求给定点和其邻居的平均值作为信号值。例如，我们对三个点求平均值，则过滤之后的信号为：

*F**i*=*N**i*−1\+*N**i*\+*N**i*\+13

当获得所有的观测值之后，我们可以定义窗口大小为N=2K+1的滑动平均为：

*F**i*=1*N*∑*j*=−*k*\+*k**S**i*−*j*

在下图中，用窗口大小为6的滑动平均对上图的信号进行处理：  
![20160628222821131][]  
可以看出，原始信号几乎被完整地恢复出来。如果你是开发者，可以用下面的代码实现上述过滤：

public float [] MovingAverage (float [] data, int size)
    {
        float [] filter = new float [data.length];
        for (int i = points/2; i < data.length-points/2; i++)
        {
            float mean = 0;
            for (var j = -points/2; j < points/2; j++)
                mean += data[i + j];
    
            filter[i] = mean / size;
        }
        return filter;
    }

增加窗长可以进一步减弱噪声的影响，但同时也会使原始信号过度平滑。滑动平均特别适合于连续和平稳的信号。如果信号变化较为剧烈，滑动平均可能会使原始信号的变化大于噪声的消除（也即功不抵过）。  
![20160628222923371][]  
上图中，虽然滑动平均减小了信号的变化程度，但是完美地重构了信号的线性部分。当我们在处理包含可加性噪声的线性信号时，滑动平均是最好的选择。当然，上面的例子也过于理想化，在实际中很难出现。

## 4. 中心化的滑动平均 ##

上面介绍的滑动平均有个限制：窗口长度N必须为奇数。这样计算的平均值就满足对称性。假如窗口长度N=2k为偶数，此时我们有两种平滑方法（假定k=2）：

*M**A**L*4=*N**i*−2\+*N**i*−1\+*N**i*\+*N**i*\+14

*M**A**R*4=*N**i*−1\+*N**i*\+*N**i*\+1\+*N**i*\+24

上述两个公式都是合法的，没有特别的偏向性。所以我们可以对这两个公式求平均值，获得一个中心化的滑动平均，这通常被称为2×4MA。

2×4*M**A*=12\[14(*N**i*−2\+*N**i*−1\+*N**i*\+*N**i*\+1)\+14(*N**i*−1\+*N**i*\+*N**i*\+1\+*N**i*\+2)\]

=*N**i*−28\+*N**i*−14\+*N**i*4\+*N**i*\+14\+*N**i*\+28

上面的结果特别像以  *N**i* 为中心的滑动平均，但是和前面介绍的滑动平均还是不同的。

## 5. 加权滑动平均 ##

滑动平均中每个点的权重是相同的，一个更加合理的选择是对靠近*S**i*的点赋予更大的权重，这就是加权滑动平均：

*F**i*=∑*j*=−*k*\+*k**S**i*−*j**W**k*\+*j*

*W**j* 的和必须等于1。  
针对加权滑动平均，可以对前面的滑动平均代码进行下面的修改：

for (var j = -points/2; j < points/2; j++)
                mean += data[i + j] * weights[j+points/2];

回过头来重看中心化的滑动平均，我们就可以说2×4MA其实就是权重为1/8,1/4,1/4,1/4,1/8的加权滑动平均。  
加权的方法不可思议得有效，但是引入了更多的参数。如果你对泛函分析很了解，可能很容易将上面的操作联想到卷积操作符上。通过仔细地挑选权重可以带来很多有趣的性质，例如实现边缘检测或者高斯模糊等。  
举一个边缘检测的例子，我们对一个方波执行墨西哥帽小波的卷积操作，需要做的就是将权重设置为下述函数上的点：

*f*(*t*)=(1−*t*2)*e*−*t*22

然后代码修改成：

float[] kernel = new float[10];
    for (int i = 0; i <= kernel.length; t ++)
    {
        float t = i +4;
        kernel[i] = (1-(t*t)) * Math.exp(-(t*t)/2);
    }

上述卷积函数可以用来进行边缘检测。如果你是一个游戏开发者，上述方法可以用来检测玩家的突然移动，这通常是运动检测的第一步。  
![20160628223220543][]

## 6. 结论 ##

本博客介绍了信号中的噪声问题以及两种解决方法。需要记住一点，没有一种方法是完美的，每个方法都有其优缺点，我们需要知道它们的适用范围。

[An Introduction to Signal Smoothing]: http://www.alanzucconi.com/2016/06/03/an-introduction-to-signal-smoothing/
[20160628222506728]: /images/20220721/81861d5731fb495787b043894076218c.png
[20160628222821131]: /images/20220721/22f8d60b3e6b4073a5bd0ac3d3452999.png
[20160628222923371]: /images/20220721/d1f891c58f5649138b7c3d0901109f24.png
[20160628223220543]: /images/20220721/07a08c328e214dfd9b2a4ea89ce5aa28.png