前缀、中缀、后缀表达式

Myth丶恋晨 2022-09-19 01:57 271阅读 0赞

它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。  
  
举例：  
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式  
\- × + 3 4 5 6 前缀表达式  
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式  
  
**中缀表达式（中缀记法）**  
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。  
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。  
  
**前缀表达式（前缀记法、波兰式）**  
前缀表达式的运算符位于操作数之前。  
  
**前缀表达式的计算机求值：**  
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。  
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：  
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；  
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；  
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；  
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。  
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。  
  
**将中缀表达式转换为前缀表达式：**  
遵循以下步骤：  
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；  
(2) 从右至左扫描中缀表达式；  
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；  
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：  
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；  
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；  
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；  
(5) 遇到括号时：  
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；  
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；  
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；  
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；  
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。  
 例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

<table style="text-align:center"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center">扫描到的元素</td> 
 <td align="center">S2(栈底-&gt;栈顶)</td> 
 <td align="center">S1 (栈底-&gt;栈顶)</td> 
 <td align="center">说明</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">5</td> 
 <td align="center">5</td> 
 <td align="center">空</td> 
 <td align="center">数字，直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">-</td> 
 <td align="center">5</td> 
 <td align="center">-</td> 
 <td align="center">S1为空，运算符直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">)</td> 
 <td align="center">5</td> 
 <td align="center">- )</td> 
 <td align="center">右括号直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">4</td> 
 <td align="center">5 4</td> 
 <td align="center">- )</td> 
 <td align="center">数字直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">×</td> 
 <td align="center">5 4</td> 
 <td align="center">- ) ×</td> 
 <td align="center">S1栈顶是右括号，直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">)</td> 
 <td align="center">5 4</td> 
 <td align="center">- ) × )</td> 
 <td align="center">右括号直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">3</td> 
 <td align="center">5 4 3</td> 
 <td align="center">- ) × )</td> 
 <td align="center">数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">+</td> 
 <td align="center">5 4 3</td> 
 <td align="center">- ) × ) +</td> 
 <td align="center">S1栈顶是右括号，直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">2</td> 
 <td align="center">5 4 3 2</td> 
 <td align="center">- ) × ) +</td> 
 <td align="center">数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">(</td> 
 <td align="center">5 4 3 2 +</td> 
 <td align="center">- ) ×</td> 
 <td align="center">左括号，弹出运算符直至遇到右括号</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">(</td> 
 <td align="center">5 4 3 2 + ×</td> 
 <td align="center">-</td> 
 <td align="center">同上</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">+</td> 
 <td align="center">5 4 3 2 + ×</td> 
 <td align="center">- +</td> 
 <td align="center">优先级与-相同，入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">1</td> 
 <td align="center">5 4 3 2 + × 1</td> 
 <td align="center">- +</td> 
 <td align="center">数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">到达最左端</td> 
 <td align="center">5 4 3 2 + × 1 + -</td> 
 <td align="center">空</td> 
 <td align="center">S1中剩余的运算符</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。  
  
**后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）**  
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。  
  
**后缀表达式的计算机求值：**  
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：  
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。  
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：  
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；  
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；  
(3) 将5入栈；  
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；  
(5) 将6入栈；  
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。  
  
**将中缀表达式转换为后缀表达式：**  
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：  
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；  
(2) 从左至右扫描中缀表达式；  
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；  
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：  
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；  
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；  
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；  
(5) 遇到括号时：  
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；  
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；  
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；  
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；  
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。  
  
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

<table style="text-align:center"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>扫描到的元素</td> 
 <td>S2(栈底-&gt;栈顶)</td> 
 <td>S1 (栈底-&gt;栈顶)</td> 
 <td>说明</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>1</td> 
 <td>1</td> 
 <td>空</td> 
 <td>数字，直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>+</td> 
 <td>1</td> 
 <td>+</td> 
 <td>S1为空，运算符直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>(</td> 
 <td>1</td> 
 <td>+ (</td> 
 <td>左括号，直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>(</td> 
 <td>1</td> 
 <td>+ ( (</td> 
 <td>同上</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>2</td> 
 <td>1 2</td> 
 <td>+ ( (</td> 
 <td>数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>+</td> 
 <td>1 2</td> 
 <td>+ ( ( +</td> 
 <td>S1栈顶为左括号，运算符直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>3</td> 
 <td>1 2 3</td> 
 <td>+ ( ( +</td> 
 <td>数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>)</td> 
 <td>1 2 3 +</td> 
 <td>+ (</td> 
 <td>右括号，弹出运算符直至遇到左括号</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>×</td> 
 <td>1 2 3 +</td> 
 <td>+ ( ×</td> 
 <td>S1栈顶为左括号，运算符直接入栈</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>4</td> 
 <td>1 2 3 + 4</td> 
 <td>+ ( ×</td> 
 <td>数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>)</td> 
 <td>1 2 3 + 4 ×</td> 
 <td>+</td> 
 <td>右括号，弹出运算符直至遇到左括号</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>-</td> 
 <td>1 2 3 + 4 × +</td> 
 <td>-</td> 
 <td>-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>5</td> 
 <td>1 2 3 + 4 × + 5</td> 
 <td>-</td> 
 <td>数字</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>到达最右端</td> 
 <td>1 2 3 + 4 × + 5 -</td> 
 <td>空</td> 
 <td>S1中剩余的运算符</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。