分形理论的历史过程

Dear 丶 2022-09-18 12:55 230阅读 0赞

> 分形理论是近二三十年才发展起来的一门新的理论，因而目前仍处在不断发展之中。我最近也正在学习这方面的资料，希望能提高一点儿几何数学的水平。下面是我学习归纳的一些文章：

> [一、分形理论的历史过程][Link 1]
> 
> [二、分形理论的基础概念][Link 2]
> 
> [三、分形理论的分维解析][Link 3]
> 
> [四、分形理论的Hausdorff维数][Hausdorff]
> 
> [五、分形理论的盒维数][Link 4]
> 
> 六、分形理论在计算机图形中的应用（待定）
> 
> Blogger：[LinJM][] 微博（[LinJM-机器视觉][LinJM-]）

自公元前3世纪欧氏几何基本形成至今已有2000多年。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系。这种观念与特定时期人类的实践、认识水平是相适应的。进入20世纪以后，科学的发展极为迅速，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究及大量的非线性不可逆现象。

哈佛大学数学系的教授[Benoit B．Mandelbrot][Benoit B_Mandelbrot]曾提出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。此外，在湍流的研究自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学。

一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一类很特殊的集合（图形），如Cantor集、Peano曲线、KoCh曲线等，这些在连续观念下的"病态"集合往往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被用于讨论定理条件的强弱性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识。

1975年，Mandelbrot首次提出了分形(fractal)这一概念，其原意是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体，这个名词是参考了拉丁文fractus（弄碎的）后造出来的，它既是英文又是法文，既是名词又是形容词。1977年，他出版了第一本著作《分形：形态，偶然性和维数》（Fractal: Form, Chance and Dimension），标志着分形理论的正式诞生。五年后，他出版了著名的专著《自然界的分形几何》（The Fractal Geometry of Nature）。至此，分形理论初步形成。

而且随着分形理论的产生和发展，逐步地形成了分形几何学，又称非欧氏几何学，与前面提到的欧氏几何学相比，它们的差异是十分明显的，如下表所示：

![SouthEast][]

针对分形的定义，目前还没有一个让各方都满意的阐述，但在数学上大家都认为分形有以下几个特点：

*  （1）具有无限精细的结构； 
 *  （2）比例自相似性；
 *  （3）一般它的分数维大子它的拓扑维数；
 *  （4）可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。

（1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。[自相似性][Link 2]是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息。第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项则说明了分形的生成机制。

分形由递归、迭代生成，主要适用于自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它看成一个整体。

平面上决定一条直线或圆锥曲线只需数个条件。那么决定一片蕨叶需要多少条件？如果把蕨叶看成是由线段拼合而成，那么确定这片蕨叶的条件数相当可观，然而当人们以分形的眼光来看这片蕨叶时，可以把它认为是一个简单的迭代函数系统的结果，而确定该系统所需的条件相比之下要少得多。这说明用特定的分形拟合蕨叶比用折线拟合蕨叶更为有效。

一个基于Matlab生成蕨叶的例子如下：（[教程][Link 5]）[csdn下载地址][csdn]

function fern
    shg
    clf reset
    set(gcf,'color','white','menubar','none', ...
       'numbertitle','off','name','Fractal Fern')
    x = [.5; .5];
    h = plot(x(1),x(2),'.');
    darkgreen = [0 2/3 0];
    set(h,'markersize',1,'color',darkgreen,'erasemode','none');
    axis([-3 3 0 10])
    axis off
    stop = uicontrol('style','toggle','string','stop', ...
       'background','white');
    drawnow
    
    p  = [ .85  .92  .99  1.00];
    A1 = [ .85  .04; -.04  .85];  b1 = [0; 1.6];
    A2 = [ .20 -.26;  .23  .22];  b2 = [0; 1.6];
    A3 = [-.15  .28;  .26  .24];  b3 = [0; .44];
    A4 = [  0    0 ;   0   .16];
    
    cnt = 1;
    tic
    while ~get(stop,'value')
       r = rand;
       if r < p(1)
          x = A1*x + b1;
       elseif r < p(2)
          x = A2*x + b2;
       elseif r < p(3)
          x = A3*x + b3;
       else
          x = A4*x;
       end
       set(h,'xdata',x(1),'ydata',x(2));
       drawnow
       cnt = cnt + 1;
    end
    t = toc;
    s = sprintf('%8.0f points in %6.3f seconds',cnt,t);
    text(-1.5,-0.5,s,'fontweight','bold');
    set(stop,'style','pushbutton','string','close','callback','close(gcf)')

![SouthEast 1][]

![SouthEast 2][]

分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，从根本上讲，分形反映了自然界中某些规律性的东西，以植物为例，植物的生长是植物细胞按一定的遗传规律不断发育、分裂的过程，这种按规律分裂的过程可以近似地看作是递归、迭代过程，这与分形的产生极为相似。在此意义上，人们可以认为一种植物对应一个迭代函数系统，人们甚至可以通过改变该系统中的某些参数来模拟植物的变异过程。

分形几何还被用于海岸线的描绘及海图制作、地震预报、图象编码理论、信号处理等领域，并在这些领域内取得了引人注目的成绩。作为多个学科的交叉，分形几何对以往欧氏几何不屑一顾（或说是无能为力）的"病态"曲线的全新解释是人类认识客体不断开拓的必然结果。当前，人们迫切需要一种能够更好地研究、描述各种复杂自然曲线的几何学，而分形几何恰好可以堪当此用。

当前，自然科学领域（如物理、化学、地球物理学及生物学等）中的分形学术论文不断增加，社会科学领域涉及分形的论文和书籍也越来越多。有关分形的国际会议及各种专题研讨会有增无减。国际学术刊物《混沌、孤子和分形》（Chaos，Solitons and Fractals）和《分形学》（Fractals——An Interdisciplinary Journal on the Complex Geometry of Nature）先后于1991年和1993年正式创刊。

一个典型的分形图像如下：

![SouthEast 3][]

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本系列文章的参考资料

\[1\] 张济忠. 分形\[M\]. 清华大学出版社有限公司, 1995.

\[2\] Mandelbrot B, 文志英, 苏虹. 分形对象: 形, 机遇和维数\[M\]. 世界图书出版公司, 1999.

\[3\] 法尔科内, 曾文曲. 分形几何: 数学基础及其应用\[M\]. 人民邮电出版社, 2007.

\[4\] 李重概. 分形分析 Hurst 指数在中国股票市场的应用\[D\]. 厦门大学, 2002.

\[5\] [http://rsb.info.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/StartUpScreen.htm][http_rsb.info.nih.gov_ij_plugins_fraclac_FLHelp_StartUpScreen.htm]等相关网络资料

[Link 1]: http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/16967685
[Link 2]: http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/17013173
[Link 3]: http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/17020069
[Hausdorff]: http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/17021521
[Link 4]: http://blog.csdn.net/linj_m/article/details/17021981
[LinJM]: http://blog.csdn.net/linj_m
[LinJM-]: http://weibo.com/cengineer
[Benoit B_Mandelbrot]: http://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot
[SouthEast]: /images/20220828/b3b8f8f8eb7540f59c88a524df596929.png
[Link 5]: http://www.mathworks.com/moler/exm/chapters/fern.pdf
[csdn]: http://download.csdn.net/detail/linoi/6639093
[SouthEast 1]: /images/20220828/c74f3029d69540e08150a630832ac49a.png
[SouthEast 2]: /images/20220828/a59e56ba671b48c39804177786e9b605.png
[SouthEast 3]: /images/20220828/58f42d9d4b75431385df40c42d726c04.png
[http_rsb.info.nih.gov_ij_plugins_fraclac_FLHelp_StartUpScreen.htm]: http://rsb.info.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/StartUpScreen.htm