一个整数划分的多种情况（一堆苹果放到n个盘子）

墨蓝 2022-09-18 00:52 97阅读 0赞

整数划分问题（放苹果）

[http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/05/27/116506.html][http_www.cppblog.com_superKiki_archive_2010_05_27_116506.html]

整数划分问题

[http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html][http_www.cnblogs.com_hoodlum1980_archive_2008_10_11_1308493.html]

**一、问题描述**  
将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。  
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。

例如正整数6有如下11种不同的划分，

6;  
5+1;  
4+2,4+1+1;  
3+3,3+2+1,3+1+1+1;  
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;  
1+1+1+1+1+1.  
**二、问题分析**  
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即\{1\};

(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，\{1,1,1,...,1\};

(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含n的情况，只有一个即\{n\}；

(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

(a). 划分中包含m的情况，即\{m, \{x1,x2,...xi\}\}, 其中\{x1,x2,... xi\} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

个数为f(n-m, m);

(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)

f(n, n); (n<m)

1+ f(n, m-1); (n=m)

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

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