算法设计与分析/动态规划——最长公共子序列LCS及模板

向右看齐 2022-09-16 13:25 84阅读 0赞

## **一，问题描述** ##

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

## **二，算法求解** ##

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

### **①最优子结构** ###

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y=\{y1,y2,.....ym\} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个**最优化问题**。因为，我们需要找到X 和 Y中**最长的**那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

**1）如果 xn=ym**，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的**一个**子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

**2）如果xn != ym**，这下要麻烦一点，因为它产生了**两个**子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长**公共**子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max\{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)\}

由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，**我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。**

### **②重叠子问题** ###

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的**继续**分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

[这篇文章][Link 1]中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，[可参考：][Link 2]

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5b-Y6K6w5pe26Ze055qE5bCP55m9_size_6_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。**如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))**

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5b-Y6K6w5pe26Ze055qE5bCP55m9_size_14_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

**c\[i,j\]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。**（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

这张DP表很是重要，从中我们可以窥见最长公共子序列的来源，同时可以根据这张表打印出最长公共子序列的构成路径

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5b-Y6K6w5pe26Ze055qE5bCP55m9_size_8_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

**三，最长公共子序列模板**

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N = 1000;
    char a[N],b[N];
    int dp[N][N];
    int main()
    {
        int lena,lenb,i,j;
        while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
        {
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            lena=strlen(a);
            lenb=strlen(b);
            for(i=1;i<=lena;i++)
            {
                for(j=1;j<=lenb;j++)
                {
                    if(a[i-1]==b[j-1])
                    {
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                    }
                }
            }
            printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
        }
        return 0;
    }

**最长公共子序列打印路径的模板**

**递归法：**

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N = 1010;
    char x[N],y[N];
    int dp[N][N];
    int b[N][N];
    void Print(int i,int j)
    {
        if(i==0||j==0)///递归终止条件
        {
            return ;
        }
        if(b[i][j]==1)
        {
            Print(i-1,j-1);
            printf("%c",x[i-1]);
        }
        else if(b[i][j]==2)
        {
            Print(i-1,j);
        }
        else if(b[i][j]==3)
        {
            Print(i,j-1);
        }
    }
    int main()
    {
        int lena,lenb,i,j;
        while(scanf("%s%s",x,y)!=EOF)
        {
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            memset(b,0,sizeof(b));
            lena=strlen(x);
            lenb=strlen(y);
            for(i=1;i<=lena;i++)
            {
                for(j=1;j<=lenb;j++)
                {
                    if(x[i-1]==y[j-1])
                    {
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                        b[i][j]=1;///来自于左上方
                    }
                    else
                    {
                        if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
                        {
                            dp[i][j]=dp[i-1][j];
                            b[i][j]=2;///来自于左方
                        }
                        else
                        {
                            dp[i][j]=dp[i][j-1];
                            b[i][j]=3;///来自于上方
                        }
                    }
                }
            }
            Print(lena,lenb);
        }
        return 0;
    }

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5b-Y6K6w5pe26Ze055qE5bCP55m9_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

**非递归，在这里因为是逆序的回溯，所以我使用了栈来存储路径**

#include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<stack>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define N 1010
    int dp[N][N];
    char c;
    int main()
    {
        char a[N];
        char b[N];
        scanf("%s%s",a,b);
        int la=strlen(a);
        int lb=strlen(b);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=la; i++)
        {
            for(int j=1; j<=lb; j++)
            {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        int i=la,j=lb;
        stack<char>s;
        while(dp[i][j])
        {
            if(dp[i][j]==dp[i-1][j])///来自于左方向
            {
                i--;
            }
            else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])///来自于上方向
            {
                j--;
            }
            else if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1])///来自于左上方向
            {
                i--;
                j--;
                s.push(a[i]);
            }
        }
        while(!s.empty())
        {
            c=s.top();
            printf("%c",c);
            s.pop();
        }
        return 0;
    }

[Link 1]: http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729
[Link 2]: http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5571352.html
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