1127 香甜的黄油（spfa求解最短路径）

向右看齐 2022-09-15 15:58 110阅读 0赞

**1. 问题描述：**

农夫John发现了做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。把糖放在一片牧场上，他知道 N 只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。农夫John很狡猾，就像以前的巴甫洛夫，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。农夫John知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）。数据保证至少存在一个牧场和所有牛所在的牧场连通。

**输入格式**

第一行: 三个数：奶牛数 N，牧场数 P，牧场间道路数 C。第二行到第 N+1 行: 1 到 N 头奶牛所在的牧场号。第 N+2 行到第 N+C+1 行：每行有三个数：相连的牧场A、B，两牧场间距 D，当然，连接是双向的。

**输出格式**

共一行，输出奶牛必须行走的最小的距离和。

**数据范围**

1 ≤ N ≤ 500，  
2 ≤ P ≤ 800，  
1 ≤ C ≤ 1450，  
1 ≤ D ≤ 255

**输入样例：**

3 4 5  
2  
3  
4  
1 2 1  
1 3 5  
2 3 7  
2 4 3  
3 4 5

**输出样例：**

8  
来源：[https://www.acwing.com/problem/content/description/1129/][https_www.acwing.com_problem_content_description_1129]

**2. 思路分析：**

分析题目可以知道我们需要在所有的牧场中找到一个起点s，使得起点s到其余点的距离之和最小，我们可以考虑以每一个牧场作为起点，求解这个点到其余点的距离之和，最终在所有以某个牧场为起点的距离之和中取一个min就是以某个点作为起点到达其余点的最短距离之和，所以这道题目的本质上是多源汇的最短路径问题，最简单的方法是floyd算法，但是floyd算法的时间复杂度为O(n ^ 3)，而牧场数P最多为800肯定会超时，所以不能够使用floyd求解任意两个点的最短距离，我们可以考虑一下其余的单源最短路径算法： ① 朴素版本的Dijkstra算法 ② 堆优化版的Dijkstra算法 ③ spfa算法；这三个算法求解的都是单源最短路径所以我们还需要使用一层循环枚举以某个点作为起点；对于朴素版本的Dijkstra算法因为每一次要枚举以某个牧场为起点，所以时间复杂度也为O(n ^ 3)，不可取；对于堆优化版的Dijkstra算法，时间复杂度为O(nmlogn) = 1450 \* 800 \* log800 = 1160000 \* 10 = 10 ^ 7，勉强可以通过；对于spfa算法，最坏情况下时间复杂度为O(nm) = 1450 \* 800 = 1160000 = 10 ^ 6，理论上spfa算法最快，所以我们使用spfa算法求解。

**3. 代码如下：**

import collections
    from typing import List
    
    
    class Solution:
        # 因为spfa的时间复杂度最小, 所以使用spfa来写, 其余算法的时间复杂度都很高
        def spfa(self, s: int, n: int, idx: List[int], g: List[dict]):
            q = collections.deque()
            q.append(s)
            INF = 10 ** 10
            dis = [INF] * (n + 1)
            dis[s] = 0
            vis = [0] * (n + 1)
            vis[s] = 1
            while q:
                p = q.popleft()
                vis[p] = 0
                for next in g[p].items():
                    # 当前的cur作为中间点之后使得到其余点的距离更小那么需要更新
                    if dis[next[0]] > dis[p] + next[1]:
                        dis[next[0]] = dis[p] + next[1]
                        # 判断队列中是否存在当前被修改的点, 不存在的时候加入当前的点
                        if vis[next[0]] == 0:
                            q.append(next[0])
                            # 将当前的标记置为已修改
                            vis[next[0]] = 1
            res = 0
            # 求解源点s到其余点的距离之和如果发现某些点不可达那么返回INF
            for i in range(len(idx)):
                if dis[idx[i]] == INF:
                    res = INF
                    break
                else:
                    res += dis[idx[i]]
            return res
    
        def process(self):
            # cows为奶牛的数量
            cows, n, m = map(int, input().split())
            idx = [0] * cows
            for i in range(cows):
                # 第i头奶牛的编号
                idx[i] = int(input())
            g = [dict() for i in range(n + 1)]
            for i in range(m):
                x, y, z = map(int, input().split())
                # 因为是无向图所以需要建两次边
                if y in g[x]:
                    g[x][y] = min(g[x][y], z)
                else:
                    g[x][y] = z
                if x in g[y]:
                    g[y][x] = min(g[y][x], z)
                else:
                    g[y][x] = z
            # 以每一个点作为起点到其余牧场的最短距离
            INF = 10 ** 10
            res = INF
            # 注意牧场的编号是从1开始的
            for i in range(1, n + 1):
                t = self.spfa(i, n, idx, g)
                res = min(res, t)
            return res
    
    
    if __name__ == "__main__":
        print(Solution().process())

[https_www.acwing.com_problem_content_description_1129]: https://www.acwing.com/problem/content/description/1129/