数据结构与算法绪论(一)

青旅半醒 2022-09-12 04:58 150阅读 0赞

# ✍、目录总览 #

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*  绪论的重点为**时间复杂度**的计算。

# 1、绪论 #

*  **数据**：数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机最终并被计算机程序识别和处理的符号的集合。数据是计算机程序加工的原料。
 *  **数据元素**：数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。
 *  **数据结构**：数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合
 *  **数据对象**：数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集

# 2、逻辑结构 #

*  **数据结构的三要素**：**逻辑结构、物理结构（存储结构）、数据的运算**
 *  **逻辑结构**：集合、线性结构、树形结构、图状结构（网状结构）
 *  **存储结构**：顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储
 *  **数据的运算**：检索、排序、插入、删除、修改等

## 2.1、集合 ##

集合：各个元素同属一个集合，别无其他关系

## 2.2、线性结构 ##

线性结构：

*  数据元素之间是一对一的关系
 *  除了第一个元素，所有元素都有唯一前驱
 *  除了最后一个元素，所有元素都有唯一后继

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## 2.3、树形结构 ##

树形结构：数据元素之间是一对多的关系

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## 2.4、图结构 ##

图结构：数据元素之间是多对多的关系

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# 3、存储结构 #

**存储结构**：顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储

## 3.1、顺序存储 ##

顺序存储：**把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元**中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

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## 3.2、链式存储 ##

链式存储：**逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻**。借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。

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## 3.3、索引存储 ##

索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表，索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是（关键字，地址）

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## 3.4、散列存储 ##

散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希存储

# 4、算法 #

程序 = 数据结构 + 算法

## 4.1、五大特性 ##

算法必须具备的特性：

*  **有穷性**：一个算法必须总在执行有穷步之后结束，且每一步都可在又穷时间内完成。
    
     *  注意：算法必须是有穷的，而程序可以是无穷的
 *  **确定性**：算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出。
 *  **可行性**：算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现
 *  **输入**：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。
 *  **输出**：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。

## 4.2、好算法特质 ##

*  **正确性**：算法应能够正确地解决求解问题。
 *  **可读性**：算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。
 *  **健壮性**：输入非法数据时，算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。
 *  高效率（执行速度快，时间复杂度低）与低存储量需求（不费内存。  
    空间复杂度低）

## 4.3、时间复杂度 ##

算法的时间复杂度：算法时间开销T(n)与问题规模n的关系（T代表"time"）

*  T = O(f(n))
 *  只考虑阶数高的部分
 *  **加法规则：多项相加，只保留最高阶的项，且系数变为1**
 *  **乘法规则：多项相乘，都保留**
 *  只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与n的关系即可
 *  如果有多层嵌套循环，只需关注最深层的循环循环了几次

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<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>表达式</th> 
   <th>时间复杂度</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>T<sub>1</sub>(n) = 3n+3</td> 
   <td>T<sub>1</sub>(n) = O(n)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>T<sub>2</sub>(n) = n² + 3n + 1000</td> 
   <td>T<sub>2</sub>(n) = O(n²)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>T<sub>3</sub>(n) = n<sup>3</sup> + n<sup>2</sup> + 99999</td> 
   <td>T<sub>3</sub>(n) = O(n<sup>3</sup>)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>T<sub>4</sub>(n) = n<sup>3</sup> + n<sup>2</sup>log<sub>2</sub>n</td> 
   <td>T<sub>4</sub>(n) = O( n<sup>3</sup> )</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td></td> 
   <td></td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

T4(n) = n3 \+ n2log2n

=O( n3 ) + O(n2log2n)

=O( n3 )

--------------------

时间复杂度由小到大：

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*  记忆口诀：**常对幂指阶**
 *  **常数级 < 对数级 < 幂数级 < 指数级 < 阶乘级的**

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## 4.4、时间复杂度练习题 ##

1.  计算下述算法的时间复杂度T(n)

void loveYou(int n){ 
        int i=1;
        while(i<=n){ 
            i=i*2;
            printf("I Love U %d\n",i);
        }  
    }

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>i=1</th> 
   <th>第一次循环</th> 
   <th>第二次循环</th> 
   <th>第三次循环</th> 
   <th>…</th> 
   <th>第x次循环</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td></td> 
   <td>i = 2</td> 
   <td>i = 4</td> 
   <td>i = 8</td> 
   <td>…</td> 
   <td>i = 2<sup>x</sup></td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

*  设最深层总共循环的次数为x，则循环了x次之后，i = 2x，循环结束的条件为 i > n，即 2x > n ，x = log2n + 1
 *  T(n) = O(x) = O(log2n) + O(1) = O(log2n)

## 4.5、空间复杂度 ##

空间复杂度：空间开销与问题规模n之间的关系

*  S(n) = O(g(n))
 *  算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即`O(1)`

1.  计算下列算法的空间复杂度

void test(int n){ 
        int flag[n];  //声明一个长度为n的数组
        int i;
        // ...
    }

假设一个 int 型变量占 4B，则所需内存空间 = 4 + 4n + 4 = 4n + 8

则S(n) = O(4n+8) = O(n)

所以考虑空间复杂度只需考虑flag数组所占内存大小

void test(int n){ 
        int flag[n][n];
        int i;
    }

S(n) = O(4n2) = O(n2)

void test(int n){ 
        int flag[n][n];	//声明n*n的二维数组
        int other[n];	//声明一个长度为n的数组
        int i;
    }

S(n) = O(n2) +O(n) +O(1) = O(n2)

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