2022考研-高等数学教程

迷南。 2022-09-08 14:59 231阅读 0赞

文章链接

https://gitee.com/fakerlove/math

### 文章目录 ###

*  第一章 函数，连续，极限
 *   *  1.1 函数
     *   *  概念和常见的函数
         *  性质
     *  1.2 极限
     *   *  数列极限
         *  函数极限
         *  性质
         *  易错问题
         *  极限和无穷小的关系
         *  极限存在准则
         *  求极限方法8种
     *  1.3 连续
     *   *  定义
         *  间断点
         *  运算和性质
 *  第二章 导数
 *   *  2.1 导数和微分概念
     *   *  导数定义
         *  微分定义
         *  几何意义
         *  连续，可导，可微关系
     *  2. 2 导数公式和求导法则
     *   *  基本初等函数的导数
         *  求导法则
         *  规律
     *  2.3 高阶导数
     *   *  求n 阶导数
     *  2.4 相关性
     *  2.5 常见题型
 *  第三章 微分中值定理及导数应用
 *   *  3.1 微分中值定理
     *   *  费马定理
         *  罗尔定理
         *  拉格朗日定理
         *  柯西中值定理
         *  皮亚诺余项泰勒公式(局部)
         *  拉格朗日余项泰勒公式(整体)
     *  3.2 导数的应用
     *   *  单调性
         *  极值点
         *  驻点
         *  最值
         *  曲线的凹凸性
         *  拐点
         *  渐进线
         *  曲率
     *  3.3 题型
 *  第四章 不定积分
 *   *  4.1 不定积分概念
     *  4.2 基本公式
     *  4.3 三种积分方法
     *   *  1. 第一类换元法(凑微分)
         *  2. 分部积分
         *  3. 第二类换元法
     *  4.4 三种常见可积函数的积分
     *   *  1. 有理函数的积分
         *  2. 三角有理式积分
         *  3. 简单无理数积分
         *  4. 图片解析
 *  第五章 定积分和反常积分
 *   *  5.1 定积分
     *   *  题型
         *  概念性质
         *  积分上限函数
         *  定积分的计算
         *  可爱因子
     *  5.2 反常积分
     *   *  无穷区间上的积分
         *  无界函数的反常积分
         *  题型
 *  第六章 定积分应用
 *   *  6.1 几何应用
     *   *  平面图形的面积
         *  旋转体体积
         *  曲线弧长
         *  旋转体侧面积
     *  6.2 物理应用
     *   *  压力
         *  变力做功
         *  引力
 *  第七章 微分方程
 *   *  7.1 常微分方程的基本概念
     *  7.2 一阶微分方程
     *  7.3 可降阶的高阶方程
     *  7.4 高阶线性微分方程
     *   *  齐次方程
         *  非齐次方程
         *  常系数齐次线性微分方程
         *  常系数非齐次线性微分方程
     *  7.5 题型
 *  第八章 多元函数微分学
 *   *  8.1 重极限，连续，偏导数，全微分
     *   *  二元函数
         *  二元函数的极限
         *  多元函数的连续性
         *  偏导数(不会)
         *  全微分
         *  连续，可导，可微的关系
         *  题型
     *  8.2 多元函数微分法
     *   *  复合函数微分法
         *  隐函数微分法
     *  8.3 多元函数的极限和最值
     *   *  无约束极值
         *  条件极值与拉格朗日乘法
         *  最大最小值
         *  题型
     *  8.4 伯努利方程
     *  8.5 欧拉方程
 *  第九章 二重积分
 *   *  9.1 二重概念的概念与性质
     *  9.2 二重积分计算
     *  9.3 题型
 *  第十章 无穷级数
 *   *  10.1 常数项级数
     *   *  级数的概念与性质
         *  级数的审敛准则
         *  题型
     *  10.2 幂级数
     *   *  收敛半径 收敛区域 收敛域
         *  幂级数的性质
         *  函数的幂级数展开
         *  题型
     *  10.3 傅里叶级数
     *   *  傅里叶系数与傅里叶级数
         *  收敛定理
         *  函数展开为傅里叶级数
     *  题型
 *  第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用
 *   *  11.1 向量代数
     *   *  数量积
         *  向量积
         *  混合积
         *  题型
     *  11.2 空间平面 与直线
     *   *  平面方程
         *  直线方程
         *  平面与直线的关系
         *  点到面的距离
         *  点到直线的距离
     *  11.3 曲面与空间曲线
     *   *  曲面方程
         *  空间曲线
         *  常见曲面
         *  空间曲线投影
     *  11.4 多元微分在几何应用
     *   *  曲面的切平面与法线
         *  曲线的切线与法平面
 *  第十二章 多元积分学及其应用
 *   *  12. 1 三重积分
     *   *  定义
         *  性质
         *  计算
     *  12.2 曲线积分
     *   *  对弧长的线积分(第一类线积分)
         *  对坐标的线积分(第二类线积分)
     *  12.3 曲面积分
     *   *  对面积的面积分(第一类面积分)
         *  对坐标的面积分(第二类面积分)
     *  12.4 多元积分应用
     *  12.5 场论初步
     *   *  方向导数
         *  梯度
         *  散度
         *  旋度
 *  错题集锦
 *   *  高数部分

# 第一章 函数，连续，极限 #

## 1.1 函数 ##

### 概念和常见的函数 ###

常见函数分类

*  符号函数
 *  取整函数
 *  隐函数
 *  分段函数
 *  基本初等函数
    
     *  常值函数
     *  幂函数
     *  三角函数
     *  指数函数
     *  对数函数
     *  反三角函数

### 性质 ###

*  周期性
 *  单调性
 *  奇偶性
 *  有界性

## 1.2 极限 ##

### 数列极限 ###

定 义        lim ⁡ Δ x → ∞ = A 定义\\;\\;\\;\\lim\_\{\\Delta x \\to \\infty\} =A 定义Δx→∞lim=A

∀ ϵ > 0 , ∃ N > 0 , 当 n > N 时 ， 恒 有 ∣ X n − A ∣ < ϵ \\forall \\epsilon>0 ,\\exists N>0 ,当n>N时，恒有|X\_n-A|< \\epsilon ∀ϵ>0,∃N>0,当n>N时，恒有∣Xn−A∣<ϵ

### 函数极限 ###

定 义        lim ⁡ Δ x → ∞ f ( x ) = A 定义\\;\\;\\;\\lim\_\{\\Delta x \\to \\infty\}f(x)=A 定义Δx→∞limf(x)=A

∀ ϵ > 0 , ∃ N ， 当 n > N 时 ， 恒 有 ∣ f ( n ) − A ∣ < ϵ \\forall \\epsilon >0 ,\\exists N ， 当n>N 时，恒有| f(n)-A|<\\epsilon ∀ϵ>0,∃N，当n>N时，恒有∣f(n)−A∣<ϵ

### 性质 ###

*  有界性
 *  保号性 lim ⁡ Δ x → ∞ f ( x ) = A    如 果 A > 0 , 那 么 ∃ N > 0 , 当 n > N 时 ， f ( n ) > 0 \\lim\_\{\\Delta x \\to \\infty\}f(x)=A \\; 如果A>0,那么\\exists N>0,当n>N 时，f(n)>0 limΔx→∞f(x)=A如果A>0,那么∃N>0,当n>N时，f(n)>0$

### 易错问题 ###

*  分段函数的左极限和右极限
 *   e ∞ 型 的 极 限 e^\{\\infty\}型的极限 e∞型的极限
 *   a r c t a n ( ∞ ) 型 极 限 a r c t a n ( x ) x → + ∞ = π 2 arctan(\\infty)型极限 \\qquad arctan(x)\_\{x \\to +\\infty\}=\\frac\{\\pi\}\{2\} arctan(∞)型极限arctan(x)x→\+∞=2π

### 极限和无穷小的关系 ###

*  概念
 *  无穷小的比较
    
     *  高阶 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = 0 \\lim\\frac\{\\alpha(x)\}\{\\beta(x)\}=0 limβ(x)α(x)=0
     *  低阶 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = ∞ \\lim\\frac\{\\alpha(x)\}\{\\beta(x)\}=\\infty limβ(x)α(x)=∞
     *  同阶 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = A ;    A ≠ 0 \\lim\\frac\{\\alpha(x)\}\{\\beta(x)\}=A; \\;A\\ne 0 limβ(x)α(x)=A;A=0
     *  等价 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = 1 \\lim\\frac\{\\alpha(x)\}\{\\beta(x)\}=1 limβ(x)α(x)=1
 *  性质
    
     *  有限个无穷小量依旧是无穷小
     *  有限个无穷小量的积依旧是无穷小
     *  有界变量乘以无穷小依旧是无穷小

### 极限存在准则 ###

*  夹逼准则
    
    一般用在n项和 的地方
 *  单调有界准则
    
    单调增，有上界必有极限
    
    单调减，有下界必有极限

### 求极限方法8种 ###

*  利用基本极限求极限

lim ⁡ Δ x → 0 s i n x x = 1 \\lim\_\{\\Delta x \\to 0\}\\frac\{sinx\}\{x\}=1 limΔx→0xsinx=1  lim ⁡ Δ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \\lim\_\{\\Delta x \\to 0 \}(1+x)^\{\\frac\{1\}\{x\}\}=e limΔx→0(1\+x)x1=e  lim ⁡ Δ x → ∞ n n = 1 \\lim\_\{\\Delta x \\to \\infty\} \\sqrt \[n\] n=1 limΔx→∞nn=1

* 利用等阶无穷小代换求极限
 
 <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>原式</th> 
 <th>无穷小</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> e x − 1 , t a n x , s i n x , a r c s i n x , a r c t a n x e^{x}-1,tanx,sinx,arcsinx,arctanx ex−1,tanx,sinx,arcsinx,arctanx</td> 
 <td> x x x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 1 − c o s x 1-cosx 1−cosx</td> 
 <td> 1 2 x 2 \frac{1}{2} x^2 21x2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 1 − c o s α x 1-cos^\alpha x 1−cosαx</td> 
 <td> α 2 x 2 \frac{\alpha}{2}x^2 2αx2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( 1 + β x ) α − 1 (1+\beta x)^\alpha-1 (1+βx)α−1</td> 
 <td> α β x \alpha \beta x αβx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> log ⁡ a ( 1 + x ) − 1 \log_a(1+x)-1 loga(1+x)−1</td> 
 <td> x l n a \frac{x}{lna} lnax</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> t a n x − x tanx-x tanx−x</td> 
 <td> 1 3 x 3 \frac{1}{3} x^3 31x3</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>$ x-ln(1+x)$</td> 
 <td> 1 2 x 2 \frac{1}{2}x^2 21x2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> x − s i n x x-sinx x−sinx</td> 
 <td> x 3 6 \frac{x^3}{6} 6x3</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * 利用有理运算法则求极限
 * 利用洛必达求极限
 * 利用泰勒公式求极限
 
 常见的泰勒展开式(拉格朗日余项)
 
 <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>原式</th> 
 <th>展开式</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1</td> 
 <td> = 1 + x + x 2 + x 3 + x n + … … = ∑ n = 0 ∞ x n =1+x +x^2+x^3+x^n+…… \\= \sum_{n=0}^{\infty} x^n =1+x+x2+x3+xn+……=∑n=0∞xn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> e x e^x ex</td> 
 <td> = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + = ∑ n = 0 ∞ x n n ! =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =1+x+2!x2+3!x3+=∑n=0∞n!xn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c o s x cosx cosx</td> 
 <td> = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} =1−2!x2+4!x4−6x6=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> s i n x sinx sinx</td> 
 <td> = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^n} =x−3!x3+5!x5−7!x7=∑n=0∞(−1)n(2n+1)nx2n+1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x)</td> 
 <td> = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n n =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\\=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n} =x−2x2+3x3−4x4=∑n=1∞(−1)nnxn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> t a n x tanx tanx</td> 
 <td> x + x 3 3 + o ( x 3 ) x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) x+3x3+o(x3)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a r c t a n x arctanx arctanx</td> 
 <td> x − x 3 3 + x 5 5 + o ( x 5 ) x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5) x−3x3+5x5+o(x5)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α</td> 
 <td> 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + … … + α ( α − 1 ) ( α − n + 1 ) n ! x n 1+\alpha x+\frac{ \alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+……+ \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-n+1)}{n!}x^n 1+αx+2!α(α−1)x2+……+n!α(α−1)(α−n+1)xn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * 利用夹逼准则求极限
 * 利用单调有界准则求极限
 * 利用定积分求极限

## 1.3 连续 ##

### 定义 ###

若 lim ⁡ Δ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) 则 称 y = f ( x ) 在 点 x 0 处 连 续 若 \\lim\_\{\\Delta x \\to x\_0\} f(x)=f(x\_0) 则称y=f(x)在点x\_0处连续 若Δx→x0limf(x)=f(x0)则称y=f(x)在点x0处连续

### 间断点 ###

*  定义

若 f ( x ) 在 x 0 某 去 心 领 域 有 定 义 ， 但 在 x 0 处 不 连 续 ， 则 称 x 0 为 f ( x ) 的 间 断 点 若f(x)在x\_0某去心领域有定义，但在x\_0处不连续，则称x\_0为f(x)的间断点 若f(x)在x0某去心领域有定义，但在x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点

*  分类
    
     *  第一类间断点：左右极限均存在
        
        可去间断点：左极限=右极限
        
        跳跃间断点：左极限 不等于 右极限
     *  第二类间断点 左右极限至少有一个不存在
        
        无穷间断点
        
        震荡间断点

### 运算和性质 ###

*  零点定理
 *  介值定理

# 第二章 导数 #

## 2.1 导数和微分概念 ##

### 导数定义 ###

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ） − f ( x 0 ) Δ x f^\\prime(x\_0)=\\lim\_\{\\Delta x \\to 0\}\\frac\{\\Delta y\}\{\\Delta x\}=\\lim\_\{\\Delta x \\to 0\}\\frac\{f(x\_0+\\Delta x）-f(x\_0)\}\{\\Delta x\} f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0\+Δx）−f(x0)

### 微分定义 ###

如 果 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )    可 以 表 示 为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x )      ( Δ → 0 ) 则 称 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 处 可 微 称 A Δ x 为 微 分 ， 记 为 d y = A Δ x 如果\\Delta y=f(x\_0 +\\Delta x)-f(x\_0)\\;可以表示为\\Delta y=A\\Delta x+o(\\Delta x)\\;\\; (\\Delta \\to 0)\\\\则称 函数f(x)在点x\_0处可微 称A\\Delta x 为微分，记为dy=A\\Delta x 如果Δy=f(x0\+Δx)−f(x0)可以表示为Δy=AΔx\+o(Δx)(Δ→0)则称函数f(x)在点x0处可微称AΔx为微分，记为dy=AΔx

定理二  
 函 数 y = f ( x ) 在 点 x 0 处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 f ( x 0 ) 在 点 x 0 处 可 导 ， 且 有 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x = f ′ ( x 0 ) d x 函数y=f(x)在点x\_0 处可微的充分必要条件是f(x\_0)在点x\_0处可导，且有 \\\\ dy=f^\\prime(x\_0)\\Delta x=f^\\prime(x\_0)dx 函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是f(x0)在点x0处可导，且有dy=f′(x0)Δx=f′(x0)dx

### 几何意义 ###

*  斜率
 *  切线方程
 *  法线方程

### 连续，可导，可微关系 ###

可 导 ⇔ 可 微 可导\\Leftrightarrow 可微 可导⇔可微

可 导 ⇒ 连 续 可导\\Rightarrow 连续 可导⇒连续

可 微 ⇒ 连 续 可微\\Rightarrow 连续 可微⇒连续

一阶可导 推不出 一阶导函数连续

一阶可导 推不出 一阶极限存在

## 2. 2 导数公式和求导法则 ##

### 基本初等函数的导数 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>原函数</th> 
 <th>导数</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> s i n x sinx sinx</td> 
 <td> c o s x cosx cosx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> x α x^\alpha xα</td> 
 <td> α x α − 1 \alpha x^{\alpha -1} αxα−1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a x a^x ax</td> 
 <td> a x l n a a^x lna axlna</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> e x e^x ex</td> 
 <td> e x e^x ex</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> log ⁡ a x \log_{a}x logax</td> 
 <td> 1 x l n a \frac{1}{xlna} xlna1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ln ⁡ ∣ x ∣ \ln\mid x \mid ln∣x∣</td> 
 <td> 1 x \frac{1}{x} x1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c o s x cosx cosx</td> 
 <td> − s i n x -sinx −sinx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> t a n x tanx tanx</td> 
 <td> = 1 c o s 2 x = s e c 2 x =\frac{1}{cos^2x}=sec^2x =cos2x1=sec2x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 1 t a n x = c o t x \frac{1}{tanx}=cotx tanx1=cotx</td> 
 <td> − 1 s i n 2 x = − c s c 2 x -\frac{1}{sin^2x}=-csc^2x −sin2x1=−csc2x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> s e c x = 1 c o s x secx=\frac{1}{cosx} secx=cosx1</td> 
 <td> s e c x t a n x = s i n x c o s 2 x secxtanx=\frac{sinx}{cos^2x} secxtanx=cos2xsinx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c s c x cscx cscx</td> 
 <td> − c s c x c o t x -cscxcotx −cscxcotx</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a r c s i n x arcsinx arcsinx <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/321faf0c8256d095da078294f0de63e2.png" alt=""></td> 
 <td> 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1−x2 1<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/060350e1e8169eb01b3b03846db4228e.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a r c c o s x arccosx arccosx<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/189172913a39014cc7049649bb53164d.png" alt=""></td> 
 <td> − 1 1 − x 2 -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} −1−x2 1<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c7e487298192ac28c0e9eeb5ac4df81f.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a r c t a n x arctanx arctanx<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/108b0465368e457eb42de0ba72e59d15.png" alt=""></td> 
 <td> 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1+x21<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/cd882e5781425633fd4a4faabb7c52a2.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a r c c o t x arccotx arccotx</td> 
 <td> − 1 1 + x 2 -\frac{1}{1+x^2} −1+x21</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 求导法则 ###

*  有理运算法则

( u + v ) ′ = u ′ + v ′ (u+v)^\\prime=u^\\prime+v^\\prime (u\+v)′=u′\+v′

( u v ) ′ = u ′ v + u v p r i m e (uv)^\\prime=u^\\prime v+uv^prime (uv)′=u′v\+uvprime

( u v ) = u ′ v − u v ′ v 2 \\left(\\frac\{u\}\{v\}\\right)=\\frac\{u^\\prime v-uv^\\prime\}\{v^2\} (vu)=v2u′v−uv′

*  复合函数求导法
 *  隐函数求导

F ( x , y ) = 0    d y d x = − F x F y F(x,y)=0 \\; \\frac\{dy\}\{dx\}=-\\frac\{F\_x\}\{F\_y\} F(x,y)=0dxdy=−FyFx

*  反函数求导

φ ′ ( x ) = 1 f ′ ( x ) \\varphi^\\prime(x)=\\frac\{1\}\{f^\\prime(x)\} φ′(x)=f′(x)1

* 参数方程 
 y = y ( x ) 是 由 \{ x = ϕ ( x ) y = φ ( x ) , ( α < t < β ) 确 定 的 函 数 ， 则 d y d x = φ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) y=y(x)是由\\begin\{cases\}x=\\phi(x) \\\\ y=\\varphi(x)\\end\{cases\},(\\alpha<t<\\beta)确定的函数， \\\\ 则\\frac\{dy\}\{dx\}=\\frac\{\\varphi^\\prime(t)\}\{\\phi^\\prime(t)\} y=y(x)是由\{ x=ϕ(x)y=φ(x),(α<t<β)确定的函数，则dxdy=ϕ′(t)φ′(t)
 * 对数求导法
 
 一般应用成幂指函数

### 规律 ###

设 f ( x ) 可 导 设f(x)可导 设f(x)可导

f ( x ) 是 奇 函 数 ， 则 f ′ ( x ) 是 偶 函 数 f(x) 是奇函数，则f^\\prime(x)是偶函数 f(x)是奇函数，则f′(x)是偶函数

f ( x ) 是 偶 函 数 ， 则 f ′ ( x ) 是 奇 函 数 f(x)是偶函数，则f^\\prime(x)是奇函数 f(x)是偶函数，则f′(x)是奇函数

f ( x ) 是 周 期 函 数 ， 则 f ′ ( x ) 也 是 周 期 函 数 f(x)是周期函数，则f^\\prime(x)也是周期函数 f(x)是周期函数，则f′(x)也是周期函数

## 2.3 高阶导数 ##

( s i n x ) ( n ) = s i n ( x + n π 2 ) (sinx)^\{(n)\}=sin(x+n\\frac\{\\pi\}\{2\}) (sinx)(n)=sin(x\+n2π)

( u + v ) ( n ) = u ( n ) + v ( n ) (u+v)^\{(n)\}=u^\{(n)\}+v^\{(n)\} (u\+v)(n)=u(n)\+v(n)

( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) (uv)^\{(n)\}=\\sum\_\{k=0\}^n C\_n^ku^\{(k)\}v^\{(n-k)\} (uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)

### 求n 阶导数 ###

*  公式
 *  归纳
 *  泰勒公式

## 2.4 相关性 ##

## 2.5 常见题型 ##

*  导数的定义
 *  复合函数，隐函数，参数方程求导
 *  高阶导数
 *  导数的应用

# 第三章 微分中值定理及导数应用 #

## 3.1 微分中值定理 ##

### 费马定理 ###

如 果 函 数 f ( x ) 在 x 0 处 可 导 ， 且 在 x 0 处 取 得 极 值 , 那 么 f ′ ( x 0 ) = 0 如果函数f(x)在x\_0处可导，且在x\_0 处取得极值,那么f^\\prime(x\_0)=0 如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值,那么f′(x0)=0

### 罗尔定理 ###

若 f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续 ， f ( x ) 在 ( a , b ) 内 可 导 ， f ( a ) = f ( b ) , 则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) , f ′ ( ξ ) = 0 若f(x)在\[a,b\]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则\\exists \\xi \\in(a,b) ,f^\\prime(\\xi)=0 若f(x)在\[a,b\]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=0

### 拉格朗日定理 ###

设 f ( x ) 在 闭 区 间 \[ a , b \] 内 上 连 续 ， 在 开 区 间 ( a , b ) 上 可 导 ， 则 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) 使 得 f ( b ) − f ( a ) = f ( ξ ) ( b − a ) 设f(x)在闭区间\[a,b\]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点\\xi \\in (a,b) 使得f(b)-f(a)=f(\\xi)(b-a) 设f(x)在闭区间\[a,b\]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)=f(ξ)(b−a)

### 柯西中值定理 ###

设 f ( x ) , g ( x ) 在 闭 区 间 \[ a , b \] 上 连 续 ， 在 开 区 间 ( a , b ) 内 可 导 ， 且 g ′ ( x ) ≠ 0 , x ∈ ( a , b ) , 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b ) , 使 得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( x ) g ′ ( x ) 设f(x),g(x)在闭区间\[a,b\]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g^\\prime(x) \\neq 0,x\\in (a,b),至少存在一点 \\xi \\in (a,b),使得 \\frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\}=\\frac\{f^\\prime (x)\}\{g^\\prime(x)\} 设f(x),g(x)在闭区间\[a,b\]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g′(x)=0,x∈(a,b),至少存在一点ξ∈(a,b),使得g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(x)f′(x)

### 皮亚诺余项泰勒公式(局部) ###

*  极限
 *  极值
 *  麦克劳林公式

### 拉格朗日余项泰勒公式(整体) ###

*  不等式
 *  最值

## 3.2 导数的应用 ##

### 单调性 ###

f ′ ( x ) > 0    f ( x ) 递 增 f^\\prime(x)>0 \\; f(x) 递增 f′(x)>0f(x)递增

f ′ ( x ) < 0    f ( x ) 递 减 f^\\prime(x)<0 \\; f(x) 递减 f′(x)<0f(x)递减

### 极值点 ###

### 驻点 ###

一阶导数为零。

f ′ ( x ) = 0 f^\\prime(x)=0 f′(x)=0

### 最值 ###

### 曲线的凹凸性 ###

### 拐点 ###

使函数凹凸性改变的点。

二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

f ′ ′ ( x ) < 0    凸 函 数 f^\{\\prime \\prime\}(x)<0 \\;凸函数 f′′(x)<0凸函数

f ′ ′ ( x ) > 0    凹 函 数 f^\{\\prime \\prime\}(x)>0 \\;凹函数 f′′(x)>0凹函数

### 渐进线 ###

*  水平渐进线，最多两条

lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A \\lim\_\{x \\to \\infty \}f(x)=A limx→∞f(x)=A

*  垂直渐近线，无穷多条

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = ∞ \\lim\_\{x \\to x\_0\}f(x)=\\infty limx→x0f(x)=∞

*  斜渐近线

lim ⁡ x → ∞ f ( x ) x = a b = lim ⁡ x → ∞ f ( x ) − a x y = a x + b s 是 y = f ( x ) 的 渐 近 线 \\lim\_\{x \\to \\infty \}\\frac\{f(x)\}\{x\}=a \\\\ b=\\lim\_\{x \\to \\infty\} f(x)-ax\\\\ y=ax+bs是y=f(x)的渐近线 limx→∞xf(x)=ab=limx→∞f(x)−axy=ax\+bs是y=f(x)的渐近线

### 曲率 ###

*  参数方程  
     K ( t ) = ∣ x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ y ′ ( t ) ∣ ( ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 ) 3 2 K(t)=\\frac\{\\mid x^\\prime(t)y^\{\\prime\\prime\} (t)-x^\{\\prime \\prime\}y^\\prime(t)\\mid\}\{\\left((x^\\prime (t))^2+(y^\\prime(t))^2 \\right)^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\} K(t)=((x′(t))2\+(y′(t))2)23∣x′(t)y′′(t)−x′′y′(t)∣
 *  直角坐标系  
     K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 K=\\frac\{\\mid y^\{\\prime \\prime\}\\mid \}\{(1+y^\{\\prime 2\})^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\} K=(1\+y′2)23∣y′′∣
 *  空间参数曲线 \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6UzfCqWt-1630029175260)(https://gitee.com/fakerlove/picture\_1/raw/master/1.svg)\] 的曲率
    
    \[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-FH8H39NB-1630029175261)(https://gitee.com/fakerlove/picture\_1/raw/master/2sdasdadqwd21dsadad.svg)\]
    
    ## 3.3 题型 ##
 *  求极限
 *  函数的极值和最值，曲线的凹向和拐点
 *  曲线的渐近线
 *  方程的根
 *  不等式的证明
 *  中值定理的证明题

# 第四章 不定积分 #

## 4.1 不定积分概念 ##

∫ f ( x ) d ( x ) = F ( x ) + C \\int f(x)d(x)=F(x)+C ∫f(x)d(x)=F(x)\+C

*  定理

若 f ( x ) 在 区 间 I 上 连 续 ， 在 则 f ( x ) 在 区 间 I 上 一 定 存 在 原 函 数 若f(x)在区间I 上连续，在则f(x)在区间I 上一定存在原函数 若f(x)在区间I上连续，在则f(x)在区间I上一定存在原函数

若 f ( x ) 在 区 间 I 上 有 第 一 类 间 断 点 ， 在 则 f ( x ) 在 区 间 I 上 一 定 不 存 在 原 函 数 若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数 若f(x)在区间I上有第一类间断点，在则f(x)在区间I上一定不存在原函数

## 4.2 基本公式 ##

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>积分</th> 
 <th>原函数</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 1 c o s x d x \int \frac{1}{cosx}dx ∫cosx1dx</td> 
 <td> ln ⁡ ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \ln\mid secx+tanx\mid+C ln∣secx+tanx∣+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ c o s x d x \int cosxdx ∫cosxdx</td> 
 <td> s i n x + C sinx+C sinx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 1 s i n x d x \int \frac{1}{sinx}dx ∫sinx1dx</td> 
 <td> ln ⁡ ∣ t a n x 2 ∣ + C \ln \mid tan\frac{x}{2} \mid +C ln∣tan2x∣+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ α x α − 1 d x \int \alpha x^{\alpha -1} dx ∫αxα−1dx</td> 
 <td> x α + C x^\alpha +C xα+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ a x l n a d x \int a^x lna dx ∫axlnadx</td> 
 <td> a x + C a^x +C ax+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ e x d x \int e^x dx ∫exdx</td> 
 <td> e x + C e^x +C ex+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 1 x l n a d x \int \frac{1}{xlna} dx ∫xlna1dx</td> 
 <td> log ⁡ a x + C \log_{a}x +C logax+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 1 x d x \int \frac{1}{x} dx ∫x1dx</td> 
 <td> ln ⁡ ∣ x ∣ + C \ln\mid x\mid +C ln∣x∣+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ − s i n x d x \int -sinxdx ∫−sinxdx</td> 
 <td> c o s x + C cosx+C cosx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ s e c 2 x d x \int sec^2x dx ∫sec2xdx</td> 
 <td> t a n x + C tanx+C tanx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ − c s c 2 x d x \int -csc^2x dx ∫−csc2xdx</td> 
 <td> 1 t a n x = c o t x + C \frac{1}{tanx}=cotx+C tanx1=cotx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ s e c x t a n x d x \int secxtanx dx ∫secxtanxdx</td> 
 <td> s e c x = 1 c o s x secx=\frac{1}{cosx} secx=cosx1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ − c s c x c o t x d x \int -cscxcotx dx ∫−cscxcotxdx</td> 
 <td> c s c x + C cscx+C cscx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 1 1 − x 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx ∫1−x2 1dx</td> 
 <td> a r c s i n x + C arcsinx+C arcsinx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ − 1 1 − x 2 d x \int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx ∫−1−x2 1dx</td> 
 <td> a r c c o s x + C arccosx+C arccosx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 1 1 + x 2 d x \int \frac{1}{1+x^2} dx ∫1+x21dx</td> 
 <td> a r c t a n x + C arctanx+C arctanx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ − 1 1 + x 2 d x \int -\frac{1}{1+x^2}dx ∫−1+x21dx</td> 
 <td> a r c c o t x + C arccotx+C arccotx+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ d x a 2 + x 2 \int \frac{dx}{a^2+x^2} ∫a2+x2dx</td> 
 <td> 1 a a r c t a n x a + C \frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C a1arctanax+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ d x x 2 − a 2 \int\frac{dx}{x^2-a^2} ∫x2−a2dx</td> 
 <td> 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ + C \frac{1}{2a}ln\mid \frac{x-a}{x+a}\mid +C 2a1ln∣x+ax−a∣+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>$\int \frac{dx}{a2-x2} $</td> 
 <td> 1 2 a l n ∣ a + x a − x ∣ + C \frac{1}{2a}ln\mid \frac{a+x}{a-x}\mid+C 2a1ln∣a−xa+x∣+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ d x a 2 − x 2 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} ∫a2−x2 dx</td> 
 <td> a r c s i n x a + C arcsin\frac{x}{a}+C arcsinax+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ d x x 2 ± a 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} ∫x2±a2 dx</td> 
 <td> l n ( x + x 2 ± a 2 ) + C ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C ln(x+x2±a2 )+C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ 0 ∞ = x n e − x d x \int_{0}^\infty=x^ne^{-x}dx ∫0∞=xne−xdx</td> 
 <td> n ! n! n!</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx ∫−∞+∞e−x2dx</td> 
 <td> π \sqrt{\pi} π </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 4.3 三种积分方法 ##

### 1. 第一类换元法(凑微分) ###

∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C \\int f(u)du=F(u)+C ∫f(u)du=F(u)\+C

*  例题

∫ 2 − x 3 + 2 x − x 2 d x \\int \\frac\{2-x\}\{\\sqrt\{3+2x-x^2\}\}dx ∫3\+2x−x22−xdx

### 2. 分部积分 ###

∫ u d v = u v − ∫ v d u \\int u dv=uv-\\int vdu ∫udv=uv−∫vdu

适用于两类不同函数相乘，反对幂指三

### 3. 第二类换元法 ###

设 x = ϕ ( x ) 是 单 调 的 ， 可 导 的 函 数 ， 并 且 ϕ ′ ( t ) ≠ 0 , 又 ∫ f \[ ϕ ( t ) \] ϕ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C 则 ∫ f ( x ) d x = ∫ f \[ ϕ ( t ) \] ϕ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C 设x=\\phi(x) 是单调的，可导的函数，并且\\phi^\\prime(t)\\ne 0,又\\int f\[\\phi(t)\]\\phi^\\prime(t)dt=F(t)+C \\\\ 则\\int f(x)dx=\\int f\[\\phi(t)\]\\phi^\\prime(t)dt=F(t)+C 设x=ϕ(x)是单调的，可导的函数，并且ϕ′(t)=0,又∫f\[ϕ(t)\]ϕ′(t)dt=F(t)\+C则∫f(x)dx=∫f\[ϕ(t)\]ϕ′(t)dt=F(t)\+C

*   a 2 − x 2 \\sqrt\{a^2-x^2\} a2−x2  x = a s i n t x=asint x=asint
 *   a 2 + x 2 \\sqrt\{a^2+x^2\} a2\+x2  x = a t a n t x=atant x=atant
 *   x 2 − a 2 \\sqrt\{x^2-a^2\} x2−a2  x = a s e c t x=asect x=asect

## 4.4 三种常见可积函数的积分 ##

### 1. 有理函数的积分 ###

∫ R ( x ) d x \\int R(x)dx ∫R(x)dx ，一定能被积出来

*  一般法，部分分式法

∫ x + 5 x 2 − 6 x + 13 d x \\int \\frac\{x+5\}\{x^2-6x+13\}dx ∫x2−6x\+13x\+5dx

∫ d x x ( x 9 + 1 ) \\int \\frac\{dx\}\{x(x^9+1)\} ∫x(x9\+1)dx

### 2. 三角有理式积分 ###

∫ R ( s i n x , c o s x ) d x \\int R(sinx,cosx) dx ∫R(sinx,cosx)dx

*  一般法，万公式 t a n x 2 = t tan\\frac\{x\}\{2\}=t tan2x=t
 *  特殊法，三角换元，分部

### 3. 简单无理数积分 ###

### 4. 图片解析 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>函数</th> 
 <th>图像</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> s i n 1 x sin\frac{1}{x} sinx1</td> 
 <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/71a7eba24b2849f1b6bec3779d742f8f.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> s i n x x \frac{sinx}{x} xsinx</td> 
 <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/eb1f096b97fe6c91260628c1cc5d676c.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 1 x s i n 1 x \frac{1}{x}sin\frac{1}{x} x1sinx1</td> 
 <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/fc6628ef4e95c8eb488ed07ae7b900a2.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> x 2 + 1 x 2 − 1 渐 近 线 有 垂 直 还 有 其 他 的 \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}渐近线有垂直还有其他的 x2−1 x2+1渐近线有垂直还有其他的</td> 
 <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2cf6c2712bb9b73f3a195b2d29a08f75.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> x s i n x \frac{x}{sinx} sinxx</td> 
 <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2cbb03d5b05348578307c7574cf5d095.png" alt=""></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

# 第五章 定积分和反常积分 #

## 5.1 定积分 ##

### 题型 ###

*  定积分概念，性质和几何意义
 *  变上限定积分
 *  定积分的计算

### 概念性质 ###

*  定积分存在的充分条件

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续 ， 则 f ( x ) 可 积 f(x)在\[a,b\]上连续，则f(x)可积 f(x)在\[a,b\]上连续，则f(x)可积

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 有 界 且 只 有 有 限 个 间 断 点 , 则 f ( x ) 可 积 f(x)在\[a,b\]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积 f(x)在\[a,b\]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积

f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 仅 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ， 则 f ( x ) 可 积 f(x)在\[a,b\]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积 f(x)在\[a,b\]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积

*  不等式

m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a)\\leq \\int\_\{a\}^bf(x)dx \\leq M(b-a) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)

*  中值定理

f ( x ) 函 数 可 积 ， 函 数 一 定 有 定 积 分 , F ( x ) 连 续 有 界 f ( x ) 在 x = x 0 处 连 续 ， 则 ∣ f ( x ) ∣ 在 x = x 0 处 连 续 f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界\\\\ f(x)在x=x\_0 处连续，则\\mid f(x)\\mid 在x=x\_0 处连续 f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界f(x)在x=x0处连续，则∣f(x)∣在x=x0处连续

### 积分上限函数 ###

设 f ( x ) 在 \[ a , b \] 上 连 续 ， 则 ∫ a x f ( t ) d t 在 \[ a , b \] 上 可 导 且 ( ∫ a x f ( t ) d t ) ′ = f ( x ) 设f(x) 在\[a,b\] 上连续，则\\int\_a^xf(t)dt 在\[a,b\]上可导且\\left( \\int\_a^xf(t)dt\\right)^\\prime=f(x) 设f(x)在\[a,b\]上连续，则∫axf(t)dt在\[a,b\]上可导且(∫axf(t)dt)′=f(x)

( ∫ e x x 2 f ( t ) d t ) ′ =   ( ∫ e x 0 f ( t ) d t + ∫ 0 x 2 f ( t ) d t ) ′ \\left(\\int\_\{e^x\}^\{x^2\}f(t)dt\\right)^\\prime=\\\\\\ \\left( \\int\_\{e^x\}^0f(t)dt+\\int\_0^\{x^2\}f(t)dt\\right)^\\prime (∫exx2f(t)dt)′= (∫ex0f(t)dt\+∫0x2f(t)dt)′

总 结 : ( ∫ φ ( x ) ϕ ( x ) f ( t ) d t = f ( ϕ ( x ) ϕ ′ ( x ) − f ( φ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) ) 总结:\\left(\\int\_\{\\varphi(x)\}^\{\\phi(x)\}f(t)dt=f(\\phi(x)\\phi^\\prime(x)-f(\\varphi(x))\\phi^\\prime(x)\\right) 总结:(∫φ(x)ϕ(x)f(t)dt=f(ϕ(x)ϕ′(x)−f(φ(x))ϕ′(x))

例题

∫ 0 x ( x − t ) f ( t ) d t \\int\_0^x(x-t)f(t)dt ∫0x(x−t)f(t)dt

∫ 1 2 f ( x + t ) d t \\int\_1^2f(x+t)dt ∫12f(x\+t)dt

### 定积分的计算 ###

*  牛顿-莱布尼兹公式

∫ a b f ( x ) d x = F ( a ) − F ( b ) \\int\_a^bf(x)dx=F(a)-F(b) ∫abf(x)dx=F(a)−F(b)

* 换元法
 * 分布积分法
 * 利用周期性，奇偶性
 * 利用公式
 
 <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>名称</th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>华莱士公式</td> 
 <td> I n = ∫ 0 π 2 s i n n x d x = ∫ 0 π 2 c o s n x d x = { n − 1 n n − 3 n − 2 … … 1 2 1 2 π    ( n 为 偶 数 ) n − 1 n n − 3 n − 2 … … 4 5 2 3    ( n 为 大 于 1 的 奇 数 ) I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}……\frac{1}{2}\frac{1}{2}\pi \; (n 为偶数) \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ……\frac{4}{5} \frac{2}{3} \;(n 为大于1 的奇数) \end{cases} In=∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={ nn−1n−2n−3……2121π(n为偶数)nn−1n−2n−3……5432(n为大于1的奇数)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>伽马公式</td> 
 <td> Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1)=x \Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x) Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma(n+1)=n! Γ(n+1)=n! Γ ( 1 ) = 1    Γ ( 1 2 = π ) \Gamma(1)=1\;\Gamma(\frac{1}{2}=\sqrt{\pi}) Γ(1)=1Γ(21=π )</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> ∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x \int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>

### 可爱因子 ###

lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + … … … 1 n + n ) = \\lim\_\{n \\to \\infty\}(\\frac\{1\}\{n+1\}+\\frac\{1\}\{n+2\}+………\\frac\{1\}\{n+n\})= limn→∞(n\+11\+n\+21\+………n\+n1)=

*  先提 1 n \\frac\{1\}\{n\} n1
 *  然后看 lim ⁡ n → ∞ 1 n ∑ i ∞ f ( ξ i ) \\lim\_\{n \\to \\infty \}\\frac\{1\}\{n\} \\sum\_i^\\infty f(\\xi\_i) limn→∞n1∑i∞f(ξi)
 *   f ( ξ i ) 就 是 积 分 f(\\xi\_i) 就是积分 f(ξi)就是积分
 *  此题就是 lim ⁡ n → ∞ 1 n \[ 1 1 + 1 n + 1 1 + 2 n + 1 1 + 3 n + … … 1 1 + n n \] \\lim\_\{n \\to \\infty\}\\frac\{1\}\{n\}\\left\[\\frac\{1\}\{1+\\frac\{1\}\{n\}\}+\\frac\{1\}\{1+\\frac\{2\}\{n\}\}+\\frac\{1\}\{1+\\frac\{3\}\{n\}\}+……\\frac\{1\}\{1+\\frac\{n\}\{n\}\}\\right\] limn→∞n1\[1\+n11\+1\+n21\+1\+n31\+……1\+nn1\]

= ∫ 0 1 1 1 + x d x =\\int\_0^1\\frac\{1\}\{1+x\}dx =∫011\+x1dx

看变化部分

n → ∞ 时 ， 变 化 主 体 = 0 就 用 夹 逼 定 理 n\\to \\infty 时，\\frac\{变化\}\{主体\}=0 就用夹逼定理 n→∞时，主体变化=0就用夹逼定理

n → ∞ 时 ， 变 化 主 体 = A ≠ 0 就 用 定 积 分 n\\to \\infty 时，\\frac\{变化\}\{主体\}=A\\ne 0 就用定积分 n→∞时，主体变化=A=0就用定积分

## 5.2 反常积分 ##

### 无穷区间上的积分 ###

∫ a + ∞ = lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x \\int\_a^\{+\\infty\}=\\lim\_\{t \\to +\\infty\}\\int\_a^tf(x)dx ∫a\+∞=limt→\+∞∫atf(x)dx

∫ − ∞ b = lim ⁡ t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x \\int\_\{-\\infty\}^\{b\}=\\lim\_\{t \\to -\\infty\}\\int\_t^bf(x)dx ∫−∞b=limt→−∞∫tbf(x)dx

常用结论  
 ∫ a + ∞ 1 x P d x ; \{ P > 1    收 敛 p ≤ 1    发 散 \\int\_a^\{+\\infty\} \\frac\{1\}\{x^P\}dx;\\begin\{cases\} P>1\\; 收敛 \\\\ p\\leq 1\\; 发散\\end\{cases\} ∫a\+∞xP1dx;\{ P>1收敛p≤1发散

### 无界函数的反常积分 ###

设 a 为 f ( x ) 的 无 界 点 ， ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x 设a为f(x)的无界点，\\int\_a^bf(x)dx=\\lim\_\{t \\to a^+\}\\int\_t^bf(x)dx 设a为f(x)的无界点，∫abf(x)dx=limt→a\+∫tbf(x)dx

常用结论 
 ∫ a b 1 ( x − a ) P d x ; \{ P < 1    收 敛 p ≥ 1    发 散 \\int\_a^\{b\} \\frac\{1\}\{(x-a)^P\}dx;\\begin\{cases\} P<1\\; 收敛 \\\\ p\\ge 1\\; 发散\\end\{cases\} ∫ab(x−a)P1dx;\{ P<1收敛p≥1发散

### 题型 ###

*  反常积分的敛散性
 *  反常积分的计算

# 第六章 定积分应用 #

## 6.1 几何应用 ##

### 平面图形的面积 ###

*  坐标系

∫ a b \[ f ( x ) − g ( x ) \] d x \\int\_a^b\[f(x)-g(x)\]d x ∫ab\[f(x)−g(x)\]dx

*  极坐标

1 2 ∫ α β ρ 2 ( θ ) d θ \\frac\{1\}\{2\} \\int\_\\alpha^\\beta \\rho^2(\\theta)d\\theta 21∫αβρ2(θ)dθ

### 旋转体体积 ###

*  绕x轴转

V x = π ∫ a b f 2 ( x ) d x V\_x=\\pi\\int\_a^bf^2(x)d x Vx=π∫abf2(x)dx

如果是参数方程 直接往里面带

*  绕y轴转

V y = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x V\_y=2\\pi \\int\_a^bx f(x) d x Vy=2π∫abxf(x)dx

*  万能公式

V = 2 π ∬ D r ( x , y ) d σ V=2\\pi\\iint\_D r(x,y)d\\sigma V=2π∬Dr(x,y)dσ

### 曲线弧长 ###

*  坐标系

s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x s=\\int\_a^b \\sqrt\{1+y^\{\\prime 2\}\} d x s=∫ab1\+y′2dx

*  参数方程

s = ∫ α β x ′ 2 + y ′ 2 d t s=\\int\_\\alpha^\\beta \\sqrt\{x^\{\\prime 2\}+y^\{\\prime 2\}\} d t s=∫αβx′2\+y′2dt

*  极坐标

s = ∫ α β ρ 2 + ρ ′ 2 d θ s=\\int\_\\alpha^\\beta \\sqrt\{\\rho^2+\\rho^\{\\prime 2\}\}d \\theta s=∫αβρ2\+ρ′2dθ

### 旋转体侧面积 ###

S = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x S=2\\pi \\int\_a^b f(x)\\sqrt\{1+f^\{\\prime 2\}(x)\}d x S=2π∫abf(x)1\+f′2(x)dx

## 6.2 物理应用 ##

### 压力 ###

### 变力做功 ###

### 引力 ###

# 第七章 微分方程 #

## 7.1 常微分方程的基本概念 ##

*  微分方程
 *  微分方程的阶
 *  微分方程的解
 *  微分方程的通解
 *  微分方程的特解

## 7.2 一阶微分方程 ##

*  可分离变量的方程
    
     y ′ = f ( x ) f ( y ) y^\\prime=f(x)f(y) y′=f(x)f(y)
 *  齐次方程
    
     d y d x = φ ( y x ) \\frac\{dy\}\{dx\}=\\varphi(\\frac\{y\}\{x\}) dxdy=φ(xy)
    
     令 y x = u u + x d u d x = φ ( u ) 令\\frac\{y\}\{x\}=u\\\\ u+x\\frac\{du\}\{dx\}=\\varphi(u) 令xy=uu\+xdxdu=φ(u)
 *  线性方程
    
     y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y^\\prime+P(x)y=Q(x) y′\+P(x)y=Q(x)

通 解 y = e − ∫ p ( x ) d x \[ ∫ Q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + C \] 通解 y=e^\{-\\int p(x)dx\}\\left\[ \\int Q(x)e^\{\\int p(x)dx\}dx+C\\right\] 通解y=e−∫p(x)dx\[∫Q(x)e∫p(x)dxdx\+C\]

*  伯努利方程

y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y α 令 y 1 − α = u y^\\prime +P(x)y=Q(x)y^\\alpha \\\\ 令y^\{1-\\alpha=u\} y′\+P(x)y=Q(x)yα令y1−α=u

*  全微分方程

P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y)dx\+Q(x,y)dy=0

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \\frac\{\\partial P\}\{\\partial y\}=\\frac\{\\partial Q\}\{\\partial x\} ∂y∂P=∂x∂Q

*  偏积分
 *  凑微分
 *  线积分

## 7.3 可降阶的高阶方程 ##

*   y ′ ′ = f ( x ) y^\{\\prime \\prime\}=f(x) y′′=f(x)
 *   y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y^\{\\prime \\prime\}=f(x,y^\\prime) y′′=f(x,y′)
    
     令 y ′ = p y ′ ′ = d p d x 令y^\\prime=p \\\\ y^\{\\prime \\prime\} =\\frac\{d p\}\{d x\} 令y′=py′′=dxdp
 *   y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y^\{\\prime \\prime\}=f(y,y^\\prime) y′′=f(y,y′)
    
     令 y ′ = p , y ′ ′ = P d P d y 令y^\\prime=p,y^\{\\prime \\prime\}=P\\frac\{dP\}\{dy\} 令y′=p,y′′=PdydP

## 7.4 高阶线性微分方程 ##

### 齐次方程 ###

y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 y^\{\\prime \\prime\}+p(x)y^\\prime+q(x)y=0 y′′\+p(x)y′\+q(x)y=0

通解为  
 如 果 y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 是 齐 次 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 , 那 么 Y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 如果y\_1(x)和y\_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C\_1y\_1(x)+C\_2y\_2(x) 如果y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C1y1(x)\+C2y2(x)

### 非齐次方程 ###

y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y^\{\\prime \\prime\}+p(x)y^\\prime+q(x)y=f(x) y′′\+p(x)y′\+q(x)y=f(x)

通解为  
 如 果 y ∗ 为 非 齐 次 方 程 是 一 个 特 解 ， y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 是 齐 次 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 , 那 么 Y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y ∗ ( x ) 如果y^\*为非齐次方程是一个特解，y\_1(x)和y\_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C\_1y\_1(x)+C\_2y\_2(x)+y^\*(x) 如果y∗为非齐次方程是一个特解，y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C1y1(x)\+C2y2(x)\+y∗(x)

### 常系数齐次线性微分方程 ###

y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^\{\\prime \\prime \}+py^\\prime+qy=0 y′′\+py′\+qy=0

特征方程

r 2 + p r + q = 0 r 1 , r 2 为 特 征 方 程 的 两 个 根 r^2+pr+q=0\\\\ r1,r2 为特征方程的两个根 r2\+pr\+q=0r1,r2为特征方程的两个根

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>情况</th> 
 <th></th> 
 <th>解</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>共轭复根</td> 
 <td> r 1 , 2 = α ± i β r_{1,2}=\alpha \pm i\beta r1,2=α±iβ</td> 
 <td> y = e α x ( C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x ) ) y=e^{\alpha x}(C_1cos(\beta x)+C_2sin(\beta x)) y=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>相等根</td> 
 <td> r 1 ≠ r 2 r_1\ne r_2 r1=r2</td> 
 <td> y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>不相等根</td> 
 <td> r 1 = r 2 = r r_1=r_2=r r1=r2=r</td> 
 <td> y = e r x ( C 1 + C 2 x ) y=e^{rx}(C_1+C_2x) y=erx(C1+C2x)</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 常系数非齐次线性微分方程 ###

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y^\{\\prime \\prime \}+py^\\prime+qy=f(x) y′′\+py′\+qy=f(x)

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) f(x)=eλxPm(x)</td> 
 <td> y ∗ = x k Q m ( x ) e λ x y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} y∗=xkQm(x)eλx </td> 
 <td> 特 征 方 程 的 根 和 没 有 λ 相 同    k = 0 特征方程的根和没有\lambda 相同\;k=0 特征方程的根和没有λ相同k=0 特$特征方程的根和没有\lambda 相同，但是只有一个;k= 1 &lt; b r / &gt; 1&lt;br/&gt; 1&lt;br/&gt;特征方程的根和 有\lambda 相同,且有两个;k=2$ </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> f ( x ) = e α x [ P l ( 1 ) ( x ) c o s β x + P n ( 2 ) ( x ) s i n β x ] f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)cos\beta x+P_n^{(2)}(x)sin\beta x] f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]</td> 
 <td> y ∗ = x k e α x [ R m ( 1 ) ( x ) c o s β x + R m ( 2 ) ( x ) s i n β x ] y^*= x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)cos\beta x+R_m^{(2)}(x)sin \beta x] y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx]</td> 
 <td> m = m a x l , n , k 看 共 轭 复 根 重 复 个 数 m=max{l,n},k看共轭复根重复个数 m=maxl,n,k看共轭复根重复个数</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 7.5 题型 ##

*  微分方程求解
 *  应用题
 *  综合题

# 第八章 多元函数微分学 #

## 8.1 重极限，连续，偏导数，全微分 ##

### 二元函数 ###

### 二元函数的极限 ###

*  取绝对值，然后夹逼准则

### 多元函数的连续性 ###

*  概念

lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \\lim\_\{(x,y) \\to (x\_0,y\_0)\}f(x,y)=f(x\_0,y\_0) lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)

*  性质
    
    多元连续函数 和，差，积，商依旧是连续函数
    
    复合函数依旧为连续函数
    
    多元初等函数再其定义域内连续
 *  计算二重极限
    
     *  极限性质

### 偏导数(不会) ###

*  定义

f x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x = d d x f ( x , y 0 ) ∣ x = x 0 f\_x(x\_0,y\_0)=\\lim\_\{\\Delta x \\to 0\}\\frac\{f(x\_0+\\Delta x,y\_0)-f(x\_0,y\_0)\}\{\\Delta x\}=\\frac\{d\}\{dx\}f(x,y\_0)|\_\{x=x\_0\} fx(x0,y0)=limΔx→0Δxf(x0\+Δx,y0)−f(x0,y0)=dxdf(x,y0)∣x=x0

f y ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y = d d y f ( x 0 , y ) ∣ y = y 0 f\_y(x\_0,y\_0)=\\lim\_\{\\Delta x \\to 0\}\\frac\{f(x\_0,y\_0+\\Delta y)-f(x\_0,y\_0)\}\{\\Delta y\}=\\frac\{d\}\{dy\}f(x\_0,y)|\_\{y=y\_0\} fy(x0,y0)=limΔx→0Δyf(x0,y0\+Δy)−f(x0,y0)=dydf(x0,y)∣y=y0

求导数，先带后求。求x在某处偏导数是否存在

先 带 后 求 ， f x ′ ( x , 0 ) , 在 带 x = 0 直 接 先 求 导 数 f x ′ , 然 后 再 带 x = 0 , y = 0 , 如 果 两 个 相 等 ， 说 明 偏 导 数 ∂ f ∂ x 在 ( x 0 , y ) 处 连 续 先带后求，f^\\prime \_x(x,0),在带x=0 \\\\ 直接先求导数 f^\\prime\_x ,然后再带x=0,y=0 ,如果两个相等，说明偏导数\\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\}在(x\_0,y)处连续 先带后求，fx′(x,0),在带x=0直接先求导数fx′,然后再带x=0,y=0,如果两个相等，说明偏导数∂x∂f在(x0,y)处连续

### 全微分 ###

若 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) 若\\Delta z=f(x\_0+\\Delta x,y\_0+\\Delta y)-f(x\_0,y\_0)=A\\Delta x+B\\Delta y+o(\\rho) 若Δz=f(x0\+Δx,y0\+Δy)−f(x0,y0)=AΔx\+BΔy\+o(ρ)

可微存在的必要条件  
 如 果 z = f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 ， 则 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y 必 定 存 在 ， 且 d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y 如果z=f(x,y)在点(x\_0,y\_0)处可微，则在点(x\_0,y\_0)处 \\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\},\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}必定存在 ，且\\\\ dz=\\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\}dx+\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}dy 如果z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则在点(x0,y0)处∂x∂z,∂y∂z必定存在，且dz=∂x∂zdx\+∂y∂zdy  
可导可以推出两个偏导数都存在，  
 在 f ( x , y ) 在 x 0 , y 0 处 可 微 ， ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x = 0 , ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y = 0 在f(x,y)在x\_0,y\_0 处可微，\\frac\{\\partial f(x\_0,y\_0)\}\{\\partial x\}=0,\\frac\{\\partial f(x\_0,y\_0)\}\{\\partial y\}=0 在f(x,y)在x0,y0处可微，∂x∂f(x0,y0)=0,∂y∂f(x0,y0)=0

*  用定义判定可微性

f x ( x 0 , y 0 ) 与 f y ( x 0 , y 0 ) 是 否 都 存 在 f\_x(x\_0,y\_0)与f\_y(x\_0,y\_0)是否都存在 fx(x0,y0)与fy(x0,y0)是否都存在

lim ⁡ ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) Δ z − ∣ f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y ∣ ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 是 否 为 零 \\lim\_\{(\\Delta x,\\Delta y )\\to(0,0)\} \\frac\{\\Delta z-|f\_x(x\_0,y\_0)\\Delta x+f\_y(x\_0,y\_0)\\Delta y|\}\{\\sqrt\{(\\Delta x)^2+(\\Delta y)^2\}\} 是否为零 lim(Δx,Δy)→(0,0)(Δx)2\+(Δy)2Δz−∣fx(x0,y0)Δx\+fy(x0,y0)Δy∣是否为零

### 连续，可导，可微的关系 ###

如 果 z = f ( x , y ) 的 偏 导 数 , ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 连 续 ， 则 函 数 z = f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 如果z=f(x,y)的偏导数,\\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\},\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}在点(x\_0,y\_0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x\_0,y\_0)处可微 如果z=f(x,y)的偏导数,∂x∂z,∂y∂z在点(x0,y0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微

连续 推不出 偏导

偏导 推不出 连续

连续 推不出 可微

可 微 ⇒ 偏 导 可微 \\Rightarrow 偏导 可微⇒偏导

可 微 ⇒ 连 续 可微 \\Rightarrow 连续 可微⇒连续

### 题型 ###

连续性，可导性，可微性

## 8.2 多元函数微分法 ##

### 复合函数微分法 ###

设 u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) 在 点 （ x , y ） 处 有 对 x 及 对 y 的 偏 导 数 ， 函 数 z = f ( u , v ) 在 对 应 点 ( u , v ) 处 连 续 偏 导 数 ， 则 z = f \[ u ( x , y ) , z ( x , y ) \] 在 点 ( x , y ) 处 的 两 个 偏 导 数 存 在 ， 且 有 ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x ， ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y 设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，\\\\函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，\\\\则z=f\[u(x,y),z(x,y)\]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有\\\\ \\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\}=\\frac\{\\partial z\}\{\\partial u\}\\frac\{\\partial u\}\{\\partial x\}+\\frac\{\\partial z\}\{\\partial v\}\\frac\{\\partial v\}\{\\partial x\}，\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}=\\frac\{\\partial z\}\{\\partial u\}\\frac\{\\partial u\}\{\\partial y\}+\\frac\{\\partial z\}\{\\partial v\}\\frac\{\\partial v\}\{\\partial y\} 设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，则z=f\[u(x,y),z(x,y)\]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有∂x∂z=∂u∂z∂x∂u\+∂v∂z∂x∂v，∂y∂z=∂u∂z∂y∂u\+∂v∂z∂y∂v

全微分不变性

d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y = ∂ z ∂ u d u + ∂ z ∂ v d v dz=\\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\}dx+\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}dy=\\frac\{\\partial z\}\{\\partial u\}du+\\frac\{\\partial z\}\{\\partial v\}dv dz=∂x∂zdx\+∂y∂zdy=∂u∂zdu\+∂v∂zdv

### 隐函数微分法 ###

由 方 程 F ( x , y , z ) = 0 ， 确 定 的 隐 函 数 z = z ( x , y ) , 由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y), 由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),

∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ \\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\}=-\\frac\{F\_x^\\prime\}\{F\_z^\\prime\} ∂x∂z=−Fz′Fx′

∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}=-\\frac\{F\_y^\\prime\}\{F\_z^\\prime\} ∂y∂z=−Fz′Fy′

## 8.3 多元函数的极限和最值 ##

### 无约束极值 ###

设 z = f ( x , y ) 在 点 （ x 0 , y 0 ) 存 在 偏 导 数 ， 且 ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x , y ) 极 值 点 ， 则 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , 设z=f(x,y)在点（x\_0,y\_0)存在偏导数，且(x\_0,y\_0)为f(x,y)极值点，则\\\\ f\_x^\\prime(x\_0,y\_0)=0,f\_y^\\prime(x\_0,y\_0)=0, 设z=f(x,y)在点（x0,y0)存在偏导数，且(x0,y0)为f(x,y)极值点，则fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0,

f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , 这 样 子 的 点 叫 做 驻 点 ， 极 值 点 ⇒ 驻 点 ， 在 某 一 段 有 界 连 续 区 间 内 ， 函 数 只 有 唯 一 的 极 值 点 ， 取 得 极 值 点 的 地 方 不 一 定 是 最 大 值 或 者 是 最 小 值 。 但 是 在 一 元 函 数 上 是 成 立 的 f\_x^\\prime(x\_0,y\_0)=0,f\_y^\\prime(x\_0,y\_0)=0, 这样子的点叫做驻点，极值点 \\Rightarrow 驻点 ，\\\\ 在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的 fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0,这样子的点叫做驻点，极值点⇒驻点，在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的

求极值 
 令 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , 求 出 x , y 的 值 然 后 求 A = f x x ′ , B = f x y ′ , C = f y y ′ , A C − B 2 > 0 , 有 极 值 ， A > 0 有 极 小 值 ， A < 0 有 极 大 值 A C − B 2 < 0 , 表 示 没 有 极 值 ， A C − B 2 = 0 ， 有 待 进 一 步 商 讨 令f\_x^\\prime(x\_0,y\_0)=0,f\_y^\\prime(x\_0,y\_0)=0,\\\\ 求出x,y 的值 \\\\ 然后求A=f^\\prime\_\{xx\},B=f^\\prime\_\{xy\},C=f^\\prime\_\{yy\},\\\\ AC-B^2>0,有极值，A>0 有极小值，A<0有极大值\\\\ AC-B^2<0,表示没有极值，\\\\ AC-B^2=0，有待进一步商讨 令fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0,求出x,y的值然后求A=fxx′,B=fxy′,C=fyy′,AC−B2>0,有极值，A>0有极小值，A<0有极大值AC−B2<0,表示没有极值，AC−B2=0，有待进一步商讨

### 条件极值与拉格朗日乘法 ###

函 数 f ( x , y ) 在 条 件 φ ( x , y ) = 0 条 件 下 的 极 值 函数f(x,y)在条件 \\varphi(x,y)=0条件下的极值 函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0条件下的极值

拉格朗日函数  
 令 F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) \{ F x = f x ′ ( x , y ) + λ φ x ′ ( x , y ) = 0 F y = f y ′ ( x , y ) + λ φ y ′ ( x , y ) = 0 F λ = φ ( x , y ) = 0 令F(x,y,\\lambda)=f(x,y)+\\lambda \\varphi(x,y) \\\\ \\begin\{cases\} F\_x=f\_x^\\prime(x,y)+\\lambda \\varphi\_x^\\prime(x,y)=0\\\\ F\_y=f\_y^\\prime(x,y)+\\lambda \\varphi\_y^\\prime(x,y)=0\\\\ F\_\\lambda=\\varphi(x,y)=0 \\end\{cases\} 令F(x,y,λ)=f(x,y)\+λφ(x,y)⎩⎪⎨⎪⎧Fx=fx′(x,y)\+λφx′(x,y)=0Fy=fy′(x,y)\+λφy′(x,y)=0Fλ=φ(x,y)=0  
 函 数 f ( x , y ) 在 条 件 φ ( x , y ) = 0 , ϕ ( x , y , z ) = 0 条 件 下 的 极 值 函数f(x,y)在条件 \\varphi(x,y)=0,\\phi(x,y,z)=0条件下的极值 函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0,ϕ(x,y,z)=0条件下的极值

令 F ( x , y , λ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ ϕ ( x , y , z ) 令F(x,y,\\lambda)=f(x,y,z)+\\lambda \\varphi(x,y,z)+\\mu \\phi(x,y,z) 令F(x,y,λ)=f(x,y,z)\+λφ(x,y,z)\+μϕ(x,y,z)

### 最大最小值 ###

### 题型 ###

*  求极值
 *  求最大最小值
 *  最大值和最小值应用题

## 8.4 伯努利方程 ##

y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n y − n y ′ + p ( x ) y 1 − n = Q ( x ) 令 u = y 1 − n , 方 程 就 变 成 了 1 1 − n d u d x + p ( x ) u = Q ( x ) , 就 可 以 进 行 微 分 方 程 的 求 解 y^\\prime+P(x)y=Q(x)y^n \\\\ y^\{-n\}y^\\prime +p(x)y^\{1-n\}=Q(x) \\\\ 令u=y^\{1-n\},方程就变成了\\\\ \\frac\{1\}\{1-n\}\\frac\{du\}\{dx\}+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解 y′\+P(x)y=Q(x)yny−ny′\+p(x)y1−n=Q(x)令u=y1−n,方程就变成了1−n1dxdu\+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解

## 8.5 欧拉方程 ##

x n y ( n ) + p 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + + p n − 1 x y ′ + p n = f ( x ) 令 x = e t , t = l n x , d t d x = 1 x x^ny^\{(n)\}+p\_1x^\{n-1\}y^\{(n-1)\}++p\_\{n-1\}xy^\\prime+p\_n=f(x)\\\\ 令x=e^t,t=lnx,\\frac\{dt\}\{dx\}=\\frac\{1\}\{x\} xny(n)\+p1xn−1y(n−1)\+\+pn−1xy′\+pn=f(x)令x=et,t=lnx,dxdt=x1

# 第九章 二重积分 #

## 9.1 二重概念的概念与性质 ##

∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i \\iint\_Df(x,y)d\\sigma =\\lim\_\{\\lambda \\to 0\}\\sum\_\{i=1\}^n f(x\_i,y\_i)\\Delta \\sigma\_i ∬Df(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(xi,yi)Δσi

## 9.2 二重积分计算 ##

*  利用直角坐标系
    
    先y后x
    
    先x后y
 *  利用极坐标

先 ρ 后 θ ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ φ 1 ( θ ) φ 2 ( θ ) f ( ρ c o s θ , ρ s i n θ ) ρ d ρ 先\\rho 后\\theta \\iint\_D f(x,y)d\\sigma =\\int\_\\alpha^\\beta d\\theta\\int\_\{\\varphi\_1(\\theta)\}^\{\\varphi\_2(\\theta)\}f(\\rho cos\\theta,\\rho sin\\theta)\\rho d\\rho 先ρ后θ∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

*  利用极坐标计算的被积函数

f ( x 2 + y 2 , f ( y x ) , f ( x y ) f(\\sqrt\{x^2+y^2\},f(\\frac\{y\}\{x\}),f(\\frac\{x\}\{y\}) f(x2\+y2,f(xy),f(yx)

适合用极坐标的积分域，

x 2 + y 2 ≤ R 2 x^2+y^2 \\leq R^2 x2\+y2≤R2

r 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 r^2\\leq x^2+y^2\\leq R^2 r2≤x2\+y2≤R2

x 2 + y 2 ≤ 2 a x x^2+y^2 \\leq 2ax x2\+y2≤2ax

*  利用对称性和奇偶性计算若积分域D关于y 轴对称，则  
     ∬ D f ( x , y ) d σ = \{ 2 ∬ D x ≥ 0 f ( x , y ) d σ ; f ( − x , y ) = f ( x , y ) 0 ; f ( − x , y ) = − f ( x , y ) \\iint\_Df(x,y)d\\sigma=\\begin\{cases\} 2\\iint\_\{D\_x\\ge0\}f(x,y)d\\sigma ;f(-x,y)=f(x,y)\\\\ 0;f(-x,y)=-f(x,y) \\end\{cases\} ∬Df(x,y)dσ=\{ 2∬Dx≥0f(x,y)dσ;f(−x,y)=f(x,y)0;f(−x,y)=−f(x,y)
 *  利用变量对称性计算
    
    若D 关于y=x 对称,则

∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( y , x ) d σ \\iint\_\{D\} f(x,y)d\\sigma=\\iint\_D f(y,x)d\\sigma ∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ

## 9.3 题型 ##

*  累次积分交换次序及计算
 *  二重积分的计算

# 第十章 无穷级数 #

## 10.1 常数项级数 ##

### 级数的概念与性质 ###

*  概念

∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + u 3 + … … + u n + … … \\sum\_\{n=1\}^\\infty u\_n=u\_1+u\_2+u\_3+……+u\_n+…… ∑n=1∞un=u1\+u2\+u3\+……\+un\+……

S n = ∑ i = 1 n u i = lim ⁡ n → ∞ s n S\_n=\\sum\_\{i=1\}^n u\_i=\\lim\_\{n \\to \\infty\}s\_n Sn=∑i=1nui=limn→∞sn

极限存在，就收敛

极限不存在，就发散

*  性质

若 ∑ n = 1 ∞ u n 收 敛 于 s , 则 ∑ n = 1 ∞ k u n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 k s 若\\sum\_\{n=1\}^\\infty u\_n 收敛于s,则\\sum\_\{n=1\}^\\infty ku\_n 也收敛，且其和为ks 若∑n=1∞un收敛于s,则∑n=1∞kun也收敛，且其和为ks

收 敛 ± 发 散 = 发 散 收敛 \\pm 发散=发散 收敛±发散=发散

发 散 ± 发 散 = 不 确 定 发散\\pm 发散=不确定 发散±发散=不确定

在级数中去掉，加上或改变有限项不影响级数的敛散性

收敛级数加括号仍收敛且和不变

### 级数的审敛准则 ###

*  正项级数

∑ n = 1 ∞ u n 收 敛 ⇔ s n 上 有 界 \\sum\_\{n=1\}^\\infty u\_n收敛 \\Leftrightarrow s\_n 上有界 ∑n=1∞un收敛⇔sn上有界

判别方法

*  比较判别法

u n ≤ v n u\_n\\le v\_n un≤vn

∑ n = 1 ∞ v n 收 敛 ⇒ ∑ n = 1 ∞ u n 收 敛 \\sum\_\{n=1\}^\\infty v\_n 收敛 \\Rightarrow \\sum\_\{n=1\}^\\infty u\_n 收敛 ∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛

*  比较法极限形式

lim ⁡ n → ∞ u n v n = l \\lim\_\{n \\to \\infty \}\\frac\{u\_n\}\{v\_n\}=l limn→∞vnun=l

\{ 0 < l < ∞ , 则 ∑ n = 1 ∞ u n 与 ∑ n = 1 ∞ v n 同 敛 散 l = 0 ， 则 ∑ n = 1 ∞ v n 收 敛 ⇒ u n 收 敛 ， ∑ n = 1 ∞ u n 发 散 ⇒ ∑ n = 1 ∞ v n 发 散 \\begin\{cases\} 0<l< \\infty ,则\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}u\_n 与\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}v\_n 同敛散 \\\\ l=0 ，则\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}v\_n 收敛\\Rightarrow u\_n收敛，\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\} u\_n 发散\\Rightarrow\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}v\_n 发散\\end\{cases\} \{ 0<l<∞,则∑n=1∞un与∑n=1∞vn同敛散l=0，则∑n=1∞vn收敛⇒un收敛，∑n=1∞un发散⇒∑n=1∞vn发散

*  常用级数

∑ n = 1 ∞ 1 n p , p > 1 时 收 敛 ， p ≤ 时 发 散 \\sum\_\{n=1\}^\\infty \\frac\{1\}\{n^p\},p>1 时收敛，p\\le 时发散 ∑n=1∞np1,p>1时收敛，p≤时发散

∑ n = 1 ∞ a q n ， q < 1 收 敛 ， 当 q ≥ 1 发 散 \\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}a q^n，q<1 收敛，当q \\ge 1 发散 ∑n=1∞aqn，q<1收敛，当q≥1发散

*  比值法

lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ρ \\lim\_\{n \\to \\infty \}\\frac\{u\_\{n+1\}\}\{u\_n\}=\\rho limn→∞unun\+1=ρ

*  根值法

lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ \\lim\_\{n \\to \\infty \}\\sqrt\[n\]\{u\_n\}=\\rho limn→∞nun=ρ

*  交错级数
    
    莱布尼兹准则  
     ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n , u n > 0 ( 1 ) u n 单 调 递 减 ( 2 ) lim ⁡ n → ∞ u n = 0 则 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n 收 敛 \\sum\_\{n=1\}^\\infty(-1)^\{n-1\}u\_n,u\_n>0 \\\\(1) u\_n单调递减 \\\\(2)\\lim\_\{n \\to \\infty \}u\_n=0 \\\\ 则\\sum\_\{n=1\}^\\infty(-1)^\{n-1\}u\_n 收敛 n=1∑∞(−1)n−1un,un>0(1)un单调递减(2)n→∞limun=0则n=1∑∞(−1)n−1un收敛
 *  任意项级数
    
    绝对收敛和条件收敛

∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 收 敛 ⇒ ∑ n = 1 ∞ u n 收 敛 ， 此 时 ∑ n = 1 ∞ u n 绝 对 收 敛 \\sum\_\{n=1\}^\\infty|u\_n|收敛\\Rightarrow \\sum\_\{n=1\}^\\infty u\_n 收敛，此时\\sum\_\{n=1\}^\\infty u\_n 绝对收敛 ∑n=1∞∣un∣收敛⇒∑n=1∞un收敛，此时∑n=1∞un绝对收敛

若 ∑ n = 1 ∞ a n 收 敛 ， ∑ n = 1 ∞ ∣ a n ∣ 发 散 ， 则 称 ∑ n = 1 ∞ a n 条 件 收 敛 若\\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_n 收敛， \\sum\_\{n=1\}^\\infty |a\_n|发散，则称\\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_n 条件收敛 若∑n=1∞an收敛，∑n=1∞∣an∣发散，则称∑n=1∞an条件收敛

### 题型 ###

*  常数项级数敛散性的判定

## 10.2 幂级数 ##

### 收敛半径 收敛区域 收敛域 ###

∑ n = 1 ∞ a n x 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … … + a n x n \\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_nx^2=a\_0+a\_1x+a\_2x^2+……+a\_nx^n ∑n=1∞anx2=a0\+a1x\+a2x2\+……\+anxn

*  阿贝尔定理

若 ∑ n = 1 ∞ a n x n 当 x = x 0 ( x ≠ 0 ) 时 收 敛 ， 则 当 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ 时 ， ∑ n = 1 ∞ a n x n 绝 对 收 敛 若 ∑ n = 1 ∞ a n x n 当 x = x 0 ( x ≠ 0 ) 时 发 散 ， 则 当 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ 时 ， ∑ n = 1 ∞ a n x n 发 散 若\\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_nx^n 当x=x\_0(x\\ne 0)时收敛，则当|x|<|x\_0| 时，\\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_nx^n 绝对收敛\\\\ 若\\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_nx^n 当x=x\_0(x\\ne 0)时发散，则当|x|>|x\_0| 时，\\sum\_\{n=1\}^\\infty a\_nx^n 发散 若n=1∑∞anxn当x=x0(x=0)时收敛，则当∣x∣<∣x0∣时，n=1∑∞anxn绝对收敛若n=1∑∞anxn当x=x0(x=0)时发散，则当∣x∣>∣x0∣时，n=1∑∞anxn发散

\* 对 于 任 何 x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) 都 收 敛 对于任何x\\in (-\\infty,+\\infty)都收敛 对于任何x∈(−∞,\+∞)都收敛

* 仅在x=0处收敛 
 \* 存 在 一 个 正 数 R , 当 ∣ x ∣ < R 时 绝 对 收 敛 ， 当 ∣ x ∣ > R 时 发 散 存在一个正数R,当|x|<R 时绝对收敛，当|x|>R时发散 存在一个正数R,当∣x∣<R时绝对收敛，当∣x∣>R时发散 
 \* 若 幂 级 数 ∑ n = 0 ∞ a n x n 处 条 件 收 敛 ， 则 点 x 0 必 为 该 幂 级 数 收 敛 区 间 ( − R , R ) 的 一 个 端 点 若幂级数\\sum\_\{n=0\}^\\infty a\_nx^n 处条件收敛，则点x\_0 必为该幂级数收敛 区间(-R,R)的一个端点 若幂级数∑n=0∞anxn处条件收敛，则点x0必为该幂级数收敛区间(−R,R)的一个端点

\* lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n = ρ ， 则 R = 1 ρ \\lim\_\{n \\to \\infty \}|\\frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=\\rho ，则R=\\frac\{1\}\{\\rho\} limn→∞∣anan\+1=ρ，则R=ρ1  
\* lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = ρ ， 则 R = 1 ρ \\lim\_\{n \\to \\infty \}\\sqrt\[n\]\{|a\_n|\}=\\rho ，则R=\\frac\{1\}\{\\rho\} limn→∞n∣an∣=ρ，则R=ρ1

### 幂级数的性质 ###

设 ∑ n = 0 ∞ a n x n 的 收 敛 半 径 为 R 1 , ∑ n = 0 ∞ b n x n 收 敛 半 径 为 R 2 , 令 R = m i n R 1 , R 2 , 则 当 x ∈ ( − R , R ) 设\\sum\_\{n=0\}^\\infty a\_nx^n 的收敛半径为R\_1,\\sum\_\{n=0\}^\\infty b\_nx^n 收敛半径为R\_2,令R=min\{R\_1,R\_2\},则当x\\in(-R,R) 设n=0∑∞anxn的收敛半径为R1,n=0∑∞bnxn收敛半径为R2,令R=minR1,R2,则当x∈(−R,R)

*  加减法

∑ n = 0 ∞ a n x n ± ∑ n = 0 ∞ b n x n = ∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n \\sum\_\{n=0\}^\\infty a\_nx^n\\pm\\sum\_\{n=0\}^\\infty b\_nx^n=\\sum\_\{n=0\}^\\infty(a\_n\\pm b\_n)x^n n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(an±bn)xn

*  可积性  
    和函数S(x)在（-R,R)上可积，且可逐项积分，半径不变

### 函数的幂级数展开 ###

如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 ( x 0 − R , x 0 + R ) 上 能 展 开 为 x − x 0 的 幂 级 数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n , 则 其 展 开 式 是 唯 一 的 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) x 0 n ! ( x − x 0 ) n , f ( x ) 在 x = x 0 处 的 泰 勒 级 数 如果函数f(x)在区间(x\_0-R,x\_0+R)上能展开为x-x\_0的幂级数f(x)= \\sum\_\{n=0\}^\\infty a\_n (x-x\_0)^n ,则其展开式是唯一的 \\sum\_\{n=0\}^\\infty \\frac\{f^\{(n)\}x\_0\}\{n!\}(x-x\_0)^n, \\\\f(x)在x=x\_0处的泰勒级数 如果函数f(x)在区间(x0−R,x0\+R)上能展开为x−x0的幂级数f(x)=n=0∑∞an(x−x0)n,则其展开式是唯一的n=0∑∞n!f(n)x0(x−x0)n,f(x)在x=x0处的泰勒级数

**常见的级数展开**

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>原式</th> 
 <th>展开式</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1</td> 
 <td> = 1 + x + x 2 + x 3 + x n + … … = ∑ n = 0 ∞ x n =1+x +x^2+x^3+x^n+…… \\= \sum_{n=0}^{\infty} x^n =1+x+x2+x3+xn+……=∑n=0∞xn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> e x e^x ex</td> 
 <td> = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + = ∑ n = 0 ∞ x n n ! =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =1+x+2!x2+3!x3+=∑n=0∞n!xn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> c o s x cosx cosx</td> 
 <td> = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} =1−2!x2+4!x4−6x6=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> s i n x sinx sinx</td> 
 <td> = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^n} =x−3!x3+5!x5−7!x7=∑n=0∞(−1)n(2n+1)nx2n+1</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x)</td> 
 <td> = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x n n =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\\=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n} =x−2x2+3x3−4x4=∑n=1∞(−1)nnxn</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> t a n x tanx tanx</td> 
 <td> x + x 3 3 + o ( x 3 ) x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) x+3x3+o(x3)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> a r c t a n x arctanx arctanx</td> 
 <td> x − x 3 3 + x 5 5 + o ( x 5 ) x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5) x−3x3+5x5+o(x5)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha (1+x)α</td> 
 <td> 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + … … + α ( α − 1 ) ( α − n + 1 ) n ! x n 1+\alpha x+\frac{ \alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+……+ \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-n+1)}{n!}x^n 1+αx+2!α(α−1)x2+……+n!α(α−1)(α−n+1)xn</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

展开方法

*  直接展法
 *  间接展开法
    
    根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导）及变量代换等方法，求的所给函数的展开式

### 题型 ###

*  求收敛半径 收敛区间及收敛域
 *  将函数展开为幂级数
 *  级数求和

## 10.3 傅里叶级数 ##

### 傅里叶系数与傅里叶级数 ###

a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x ) d x , n = 0 , 1 , 2 , 3 , … … b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x ) d x , n = 1 , 2 , 3 , … … f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) a\_n=\\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\\\ b\_n=\\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\\\ f(x)=\\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}(a\_n cosnx+b\_n sinnx) an=π1∫−ππf(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn=π1∫−ππf(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……f(x)=2a0\+n=1∑∞(ancosnx\+bnsinnx)

### 收敛定理 ###

设 f ( x ) 在 \[ − π , π \] 上 连 续 或 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ， 且 只 有 有 限 个 极 值 点 ， 则 f ( x ) 的 傅 里 叶 级 数 在 \[ − π , π \] 上 处 处 收 敛 ， 且 收 敛 于 S ( x ) = f ( x ) ， 当 x = 为 f ( x ) 的 连 续 点 S ( x ) = f ( x − ) + f ( x + ) 2 ， 当 x 为 f ( x ) 的 间 断 点 S ( x ) = f ( ( − π ) + ) + f ( ( π ) − ) 2 , 当 x = ± π 设f(x)在\[-\\pi,\\pi\]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在\[-\\pi,\\pi\]上处处收敛，且收敛于\\\\ S(x)=f(x)， 当x=为f(x)的连续点\\\\ S(x)=\\frac\{f(x^-)+f(x^+)\}\{2\} ，当x为f(x)的间断点\\\\ S(x)=\\frac\{f((-\\pi)^+)+f((\\pi)^-)\}\{2\},当x=\\pm \\pi 设f(x)在\[−π,π\]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在\[−π,π\]上处处收敛，且收敛于S(x)=f(x)，当x=为f(x)的连续点S(x)=2f(x−)\+f(x\+)，当x为f(x)的间断点S(x)=2f((−π)\+)\+f((π)−),当x=±π

### 函数展开为傅里叶级数 ###

*   \[ − π , π \] 上 展 开 \[-\\pi,\\pi\]上展开 \[−π,π\]上展开
    
     a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s ( n x ) d x , n = 0 , 1 , 2 , 3 , … … b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n ( n x ) d x , n = 1 , 2 , 3 , … … a\_n=\\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\\\ b\_n=\\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\\\ an=π1∫−ππf(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn=π1∫−ππf(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……
 *   \[ − π , π \] 上 就 奇 偶 函 数 的 展 开 \[-\\pi,\\pi\]上就奇偶函数的展开 \[−π,π\]上就奇偶函数的展开
 *   f ( x ) 为 奇 函 数 f(x)为奇函数 f(x)为奇函数
    
     a n = 0 b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) s i n ( n x ) d x , n = 1 , 2 , 3 , … … a\_n=0\\\\ b\_n=\\frac\{2\}\{\\pi\}\\int\_0^\{\\pi\}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,…… an=0bn=π2∫0πf(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……
 *   f ( x ) 为 偶 函 数 f(x)为偶函数 f(x)为偶函数  
     a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) c o s ( n x ) d x , n = 0 , 1 , 2 , 3 , … … b n = 0 ， n = 1 , a\_n=\\frac\{2\}\{\\pi\}\\int\_0^\{\\pi\}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\\\ b\_n=0 ，n=1, an=π2∫0πf(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn=0，n=1,
 *   \[ 0 , π \] 上 展 开 为 正 弦 函 数 \[0,\\pi\]上展开为正弦函数 \[0,π\]上展开为正弦函数
 *   \[ − l , l \] 上 展 开 \[-l,l\]上展开 \[−l,l\]上展开

a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) c o s ( n π x l ) d x , n = 0 , 1 , 2 , 3 , … … b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) s i n ( n π x l ) d x , n = 1 , 2 , 3 , … … a\_n=\\frac\{1\}\{l\}\\int\_\{-l\}^\{l\}f(x)cos(\\frac\{n\\pi x\}\{l\})dx,n=0,1,2,3,……\\\\ b\_n=\\frac\{1\}\{l\}\\int\_\{-l\}^\{l\}f(x)sin(\\frac\{n\\pi x\}\{l\})dx,n=1,2,3,…… an=l1∫−llf(x)cos(lnπx)dx,n=0,1,2,3,……bn=l1∫−llf(x)sin(lnπx)dx,n=1,2,3,……

*   \[ − l , l \] 上 奇 偶 函 数 展 开 \[-l,l\]上奇偶函数展开 \[−l,l\]上奇偶函数展开
 *   \[ 0 , l \] 上 展 开 为 正 弦 函 数 \[0,l\]上展开为正弦函数 \[0,l\]上展开为正弦函数

## 题型 ##

*  有关收敛定理的问题
 *  讲函数展开为傅里叶级数

# 第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用 #

## 11.1 向量代数 ##

### 数量积 ###

a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ c o s α a ⃗ ⋅ b ⃗ = a ⃗ x b ⃗ x + a ⃗ y b ⃗ y + a ⃗ z b ⃗ z \\vec a\\cdot \\vec b=|\\vec a||\\vec b| cos\\alpha \\\\ \\vec a\\cdot \\vec b=\\vec a\_x\\vec b\_x+\\vec a\_y\\vec b\_y+\\vec a\_z\\vec b\_z\\\\ a⋅b=∣a∣∣b∣cosαa⋅b=axbx\+ayby\+azbz

*  交换律
 *  分配律
 *  求模
 *  求夹角
 *  判断两个向量垂直

### 向量积 ###

几 何 表 示 a ⃗ × b ⃗ 是 一 个 向 量 ， 模 ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ s i n α 几何表示 \\vec a\\times \\vec b 是一个向量，模|\\vec a\\times \\vec b|=|\\vec a||\\vec b|sin \\alpha 几何表示a×b是一个向量，模∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinα

\* a ⃗ × b ⃗ = − ( b ⃗ × a ⃗ ) \\vec a\\times \\vec b =-(\\vec b \\times \\vec a) a×b=−(b×a)

*  分配律 a ⃗ × ( b ⃗ + c ⃗ ) = a ⃗ × b ⃗ + a ⃗ × c ⃗ \\vec a\\times(\\vec b+\\vec c)=\\vec a\\times \\vec b+\\vec a \\times \\vec c a×(b\+c)=a×b\+a×c
 *  判断两向量平行 a ⃗ / / b ⃗ ⇔ a ⃗ × b ⃗ = 0 \\vec a//\\vec b \\Leftrightarrow \\vec a \\times \\vec b=0 a//b⇔a×b=0
 *  求四边形面积
 *  求同时垂直于a和b 的向量

### 混合积 ###

( a ⃗ b ⃗ c ⃗ ) = ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ (\\vec a \\vec b\\vec c)=(\\vec a\\times \\vec b)\\cdot \\vec c (abc)=(a×b)⋅c

*  运算规律
    
    轮换对称
    
    交换变号
 *  几何应用

V 平 行 六 面 体 = ∣ ( a ⃗ b ⃗ c ⃗ ) ∣ V\_\{平行六面体\}=|(\\vec a\\vec b\\vec c)| V平行六面体=∣(abc)∣

判断三个向量共面

### 题型 ###

*  向量的计算

## 11.2 空间平面 与直线 ##

### 平面方程 ###

*  一般式

A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax\+By\+Cz\+D=0

*  点法式

A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x\_0)+B(y-y\_0)+C(z-z\_0)=0 A(x−x0)\+B(y−y0)\+C(z−z0)=0

*  截距式

x a + y b + z c = 1 \\frac\{x\}\{a\}+\\frac\{y\}\{b\}+\\frac\{z\}\{c\}=1 ax\+by\+cz=1

### 直线方程 ###

*  一般式
 *  对称式

x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n \\frac\{x-x\_0\}\{l\}=\\frac\{y-y\_0\}\{m\}=\\frac\{z-z\_0\}\{n\} lx−x0=my−y0=nz−z0

*  参数式

x = x 0 + l t , y = y 0 + m t , z = z 0 + n t x=x\_0+lt,y=y\_0+mt,z=z\_0+nt x=x0\+lt,y=y0\+mt,z=z0\+nt

### 平面与直线的关系 ###

### 点到面的距离 ###

点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到 A x + B y + C y + D = 0 的 距 离 点(x\_0,y\_0,z\_0)到Ax+By+Cy+D=0的距离 点(x0,y0,z0)到Ax\+By\+Cy\+D=0的距离

d = ∣ A x 0 + B y + 0 + C z 0 + D A 2 + B 2 + C 2 d=\\frac\{|Ax\_0+By+0+Cz\_0+D\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\} d=A2\+B2\+C2∣Ax0\+By\+0\+Cz0\+D

### 点到直线的距离 ###

点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到 直 线 x − x 1 l = y − y 1 m = z − z 1 n d = ∣ \{ x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ∣ \} × \{ l , m , n \} l 2 + m 2 + n 2 点(x\_0,y\_0,z\_0)到直线\\frac\{x-x\_1\}\{l\}=\\frac\{y-y\_1\}\{m\}=\\frac\{z-z\_1\}\{n\}\\\\ d=\\frac\{|\\\{x\_1-x\_0,y\_1-y\_0,z\_1-z\_0|\\\}\\times\\\{l,m,n\\\}\}\{\\sqrt\{l^2+m^2+n^2\}\} 点(x0,y0,z0)到直线lx−x1=my−y1=nz−z1d=l2\+m2\+n2∣\{ x1−x0,y1−y0,z1−z0∣\}×\{ l,m,n\}

## 11.3 曲面与空间曲线 ##

### 曲面方程 ###

一般式 F(x,y,z)=0 或者z=f(x,y)

### 空间曲线 ###

*  参数方程

\{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \\begin\{cases\}x=x(t)\\\\ y=y(t)\\\\ z=z(t)\\end\{cases\} ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)

*  一般式

\{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \\begin\{cases\}F(x,y,z)=0\\\\ G(x,y,z)=0\\end\{cases\} \{ F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

### 常见曲面 ###

*  旋转面
    
    一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
    
     L 是 y o z 平 面 上 一 条 曲 线 ， 其 方 程 是 \{ f ( y , z ) = 0 x = 0 ， 则 L 绕 Y 轴 旋 转 所 成 的 旋 转 面 方 程 为 f ( y , ± x 2 + z 2 ) L是yoz平面上一条曲线，其方程是\\begin\{cases\}f(y,z)=0\\\\ x=0\\end\{cases\}，则\\\\ L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,\\pm \\sqrt\{x^2+z^2\}) L是yoz平面上一条曲线，其方程是\{ f(y,z)=0x=0，则L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,±x2\+z2)
 *  柱面 平行定直线并沿定曲线移动的直线L,形成
 *  二次曲面
    
     *  椭圆锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}=z^2 a2x2\+b2y2=z2，圆锥面 x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2\+y2=z2
     *  椭球面
     *  单页双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}-\\frac\{z^2\}\{c^2\}=1 a2x2\+b2y2−c2z2=1
     *  双叶双曲面
        
         x 2 a 2 − y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \\frac\{x^2\}\{a^2\}-\\frac\{y^2\}\{b^2\}-\\frac\{z^2\}\{c^2\}=1 a2x2−b2y2−c2z2=1
     *  椭圆抛物面
        
         x 2 a 2 + y 2 b 2 = z \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}=z a2x2\+b2y2=z
     *  旋转抛物面
        
         z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2\+y2
     *  双曲抛物面
    
    ### 空间曲线投影 ###

曲 线 Γ : \{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 在 x o y 面 上 投 影 曲 线 方 程 为 \{ H ( x , y ) = 0 z = 0 消 除 z 即 可 曲线 \\Gamma :\\begin\{cases\} F(x,y,z)=0 \\\\ G(x,y,z)=0\\end\{cases\}在xoy面上投影曲线方程为\\\\ \\begin\{cases\} H(x,y)=0 \\\\ z=0\\end\{cases\} 消除z即可 曲线Γ:\{ F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在xoy面上投影曲线方程为\{ H(x,y)=0z=0消除z即可

## 11.4 多元微分在几何应用 ##

### 曲面的切平面与法线 ###

曲 线 F ( x , y , z ) = 0 ， 法 向 量 ： n = \{ F x , F y , F z \} 曲线F(x,y,z)=0，法向量：n=\\\{F\_x,F\_y,F\_z\\\} 曲线F(x,y,z)=0，法向量：n=\{ Fx,Fy,Fz\}

曲 线 z = f ( x , y ) ， 法 向 量 ： n = \{ f x , f ) y , − 1 \} 曲线z=f(x,y)，法向量：n=\\\{f\_x,f)y,-1\\\} 曲线z=f(x,y)，法向量：n=\{ fx,f)y,−1\}

### 曲线的切线与法平面 ###

曲 线 \{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) , 切 向 量 = \{ x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) \} 曲线\\begin\{cases\}x=x(t)\\\\ y=y(t)\\\\ z=z(t)\\end\{cases\},切向量=\\\{x^\\prime(t\_0),y^\\prime(t\_0),z^\\prime(t\_0)\\\} 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t),切向量=\{ x′(t0),y′(t0),z′(t0)\}

曲 线 \{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 , 切 向 量 n 1 ⃗ ⋅ n 2 ⃗ 曲线\\begin\{cases\}F(x,y,z)=0\\\\ G(x,y,z)=0\\end\{cases\},切向量\\vec \{n\_1\}\\cdot \\vec\{n\_2\} 曲线\{ F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0,切向量n1⋅n2

# 第十二章 多元积分学及其应用 #

## 12. 1 三重积分 ##

### 定义 ###

∭ Ω f ( x , y , z ) d v = lim ⁡ λ → 0 ∑ k = 1 n f ( δ k , η k , ξ k ) Δ v k \\iiint\_\\Omega f(x,y,z)dv=\\lim\_\{\\lambda \\to 0\}\\sum\_\{k=1\}^n f(\\delta\_k,\\eta\_k,\\xi\_k)\\Delta v\_k ∭Ωf(x,y,z)dv=λ→0limk=1∑nf(δk,ηk,ξk)Δvk

### 性质 ###

### 计算 ###

*  直角坐标
    
     *  先一后二
     *  先二后一
 *  柱坐标
    
    被积函数 ϕ ( z ) g ( x 2 + y 2 ) \\phi(z)g(\\sqrt\{x^2+y^2\}) ϕ(z)g(x2\+y2)
    
    被积域 为域

\{ x = ρ c o s θ , 0 ≤ ρ < + ∞ y = ρ s i n θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π z = z , − ∞ < z < + ∞ \\begin\{cases\}x=\\rho cos\\theta,0\\le\\rho<+\\infty \\\\ y=\\rho sin\\theta ,0\\le \\theta\\le 2\\pi \\\\ z=z ,-\\infty <z<+\\infty\\end\{cases\} ⎩⎪⎨⎪⎧x=ρcosθ,0≤ρ<\+∞y=ρsinθ,0≤θ≤2πz=z,−∞<z<\+∞

*  球坐标
    
    被积区域为球
    
    被积函数为 f ( x 2 + y 2 + z 2 ) f(\\sqrt\{x^2+y^2+z^2\}) f(x2\+y2\+z2)
 *  奇偶性
 *  对称性

## 12.2 曲线积分 ##

### 对弧长的线积分(第一类线积分) ###

函数值乘以弧长

*  定义  
     ∫ L f ( x , y ) d s = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( η i , ξ i ) Δ s \\int\_Lf(x,y)ds=\\lim\_\{\\lambda \\to 0\}\\sum\_\{i=1\}^n f(\\eta\_i,\\xi\_i)\\Delta s ∫Lf(x,y)ds=λ→0limi=1∑nf(ηi,ξi)Δs
 *  性质
    
    和路径无关
 *  计算方法
    
     *  直接法
    
     ∫ C f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( x ( t ) , t ( t ) ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t \\int\_C f(x,y)ds=\\int\_\\alpha^\\beta f(x(t),t(t))\\sqrt\{x^\{\\prime2\}(t)+y^\{\\prime2\}(t)\}dt ∫Cf(x,y)ds=∫αβf(x(t),t(t))x′2(t)\+y′2(t)dt
    
     ∫ C f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) + y ′ 2 ( x ) d x \\int\_C f(x,y)ds=\\int\_a^b f(x,y(x))\\sqrt\{+y^\{\\prime2\}(x)\}dx ∫Cf(x,y)ds=∫abf(x,y(x))\+y′2(x)dx
    
     若 C : ρ = ρ ( θ ) , α ≤ θ ≤ β ∫ C f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( ρ ( θ ) c o s θ , ρ ( θ ) s i n θ ) ρ 2 ( θ ) + ρ ′ 2 ( θ ) d θ 若C:\\rho=\\rho(\\theta) ,\\alpha\\le\\theta\\le\\beta \\\\ \\int\_C f(x,y)ds=\\int\_\\alpha^\\beta f(\\rho(\\theta)cos\\theta,\\rho(\\theta)sin\\theta)\\sqrt\{\\rho^2(\\theta)+\\rho^\{\\prime 2\}(\\theta)d\\theta\} 若C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β∫Cf(x,y)ds=∫αβf(ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ)ρ2(θ)\+ρ′2(θ)dθ
    
     *  利用奇偶性
     *  利用对称性
     *  空间曲线L的方程
    
     ∫ L f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ′ 2 ( t ) , y ′ 2 ( t ) + z ′ 2 ( t ) d t \\int\_L f(x,y,z)ds=\\int\_\\alpha^\\beta f(x(t),y(t),z(t))\\sqrt\{x^\{\\prime2 \}(t),y^\{\\prime2\}(t)+z^\{\\prime 2\}(t)\}dt ∫Lf(x,y,z)ds=∫αβf(x(t),y(t),z(t))x′2(t),y′2(t)\+z′2(t)dt

### 对坐标的线积分(第二类线积分) ###

函数值乘以x上投影，y上的投影

*  定义

∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n P ( φ i , ξ i ) Δ x i + Q ( φ i , ξ i ) Δ y i \\int\_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\\lim\_\{\\lambda \\to 0\}\\sum\_\{i=1\}^n P(\\varphi\_i,\\xi\_i)\\Delta x\_i +Q(\\varphi\_i,\\xi\_i)\\Delta y\_i ∫LP(x,y)dx\+Q(x,y)dy=limλ→0∑i=1nP(φi,ξi)Δxi\+Q(φi,ξi)Δyi

*  性质
    
    和方向有关
 *  计算方法（平面）
    
     *  直接法
    
     L = \{ x = x ( t ) y = y ( t ) , t ∈ \[ α , β \] ， 则 L=\\begin\{cases\}x=x(t)\\\\ y=y(t)\\end\{cases\},t\\in\[\\alpha,\\beta\]，则 L=\{ x=x(t)y=y(t),t∈\[α,β\]，则
    
     ∫ L P d x + Q d y = ∫ α β \[ P ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ ( t ) , Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y ′ ( t ) \] d t \\int\_L Pdx+Qdy=\\int\_\\alpha^\\beta \[P(x(t),y(t))x^\{\\prime\}(t),Q(x(t),y(t))y^\{\\prime\}(t)\]dt ∫LPdx\+Qdy=∫αβ\[P(x(t),y(t))x′(t),Q(x(t),y(t))y′(t)\]dt
    
     *  格林公式
        
        使用条件为封闭空间
    
     ∫ L P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) \\int\_L Pdx+Qdy=\\iint\_D (\\frac\{\\partial Q\}\{\\partial x\}-\\frac\{\\partial P\}\{\\partial y\}) ∫LPdx\+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)
    
     *  利用线积分与路径无关
    
     ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y 区 域 单 连 通 \\frac\{\\partial Q\}\{\\partial x\}=\\frac\{\\partial P\}\{\\partial y\}区域单连通 ∂x∂Q=∂y∂P区域单连通
    
    改变路径
 *  计算方法(空间)
    
     *  直接法
     *  斯托克斯公式（空间曲线)

## 12.3 曲面积分 ##

### 对面积的面积分(第一类面积分) ###

*  定义

∬ ∑ f ( x , y , z ) d S = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( η i , ξ i , φ i ) Δ S i \\iint\_\{\\sum\}f(x,y,z)dS=\\lim\_\{\\lambda \\to 0\}\\sum\_\{i=1\}^nf(\\eta\_i,\\xi\_i,\\varphi\_i)\\Delta S\_i ∬∑f(x,y,z)dS=limλ→0∑i=1nf(ηi,ξi,φi)ΔSi

*  性质
 *  计算方法
    
     *  直接法
    
     ∑ : z = z ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D \\sum:z=z(x,y),(x,y)\\in D ∑:z=z(x,y),(x,y)∈D
    
     ∬ ∑ f ( x , y , z ) d S = ∬ D f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 + z x 2 + z y 2 d σ \\iint\_\{\\sum\}f(x,y,z)dS=\\iint\_D f(x,y,z(x,y))\\sqrt\{1+z\_x^2+z\_y^2\}d\\sigma ∬∑f(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1\+zx2\+zy2dσ
    
     *  利用奇偶性
     *  利用对称性

### 对坐标的面积分(第二类面积分) ###

*  定义
 *  性质
    
    有正负号有区分
 *  计算方法
    
     *  直接法
    
     z = z ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D z=z(x,y),(x,y)\\in D z=z(x,y),(x,y)∈D
    
    KaTeX parse error: Got function '\\sum' with no arguments as subscript at position 7: \\iint\_\\̲s̲u̲m̲ ̲R(x,y,z)dxdy=\\p…
    
     *  高斯公式
    
     ∯ ∑ 外 P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V \\oiint\_\{\\sum\_外\}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\\iiint(\\frac\{\\partial P\}\{\\partial x\}+\\frac\{\\partial Q\}\{\\partial y\}+\\frac\{\\partial R\}\{\\partial z\})dV ∬∑外Pdydz\+Qdzdx\+Rdxdy=∭(∂x∂P\+∂y∂Q\+∂z∂R)dV
    
     *  补面用高斯公式
 *  两类面积分的连续

## 12.4 多元积分应用 ##

*  变力做功
 *  通量

## 12.5 场论初步 ##

### 方向导数 ###

若 z = f ( x , y ) 可 微 ， 则 ∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x c o s α + ∂ f ∂ y c o s β 若z=f(x,y)可微，则\\\\ \\frac\{\\partial f\}\{\\partial l\}=\\frac\{\\partial f\}\{\\partial x\}cos\\alpha+\\frac\{\\partial f\}\{\\partial y\}cos\\beta 若z=f(x,y)可微，则∂l∂f=∂x∂fcosα\+∂y∂fcosβ

### 梯度 ###

梯度是一个向量，方向为最大的值  
 g r a d u = ∂ u ∂ x i + ∂ u ∂ y j + ∂ u ∂ z k gradu=\\frac\{\\partial u\}\{\\partial x\} i+\\frac\{\\partial u\}\{\\partial y\}j+\\frac\{\\partial u\}\{\\partial z\}k gradu=∂x∂ui\+∂y∂uj\+∂z∂uk

### 散度 ###

是一个数  
 设 有 向 量 场 A ( x , y , z ) = \{ P , Q , R \} d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z 设有向量场A(x,y,z)=\\\{P,Q,R\\\} \\\\ divA=\\frac\{\\partial P\}\{\\partial x\}+\\frac\{\\partial Q\}\{\\partial y\}+\\frac\{\\partial R\}\{\\partial z\} 设有向量场A(x,y,z)=\{ P,Q,R\}divA=∂x∂P\+∂y∂Q\+∂z∂R

### 旋度 ###

设 有 向 量 场 A ( x , y , z ) = \{ P , Q , R \} r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ 设有向量场A(x,y,z)=\\\{P,Q,R\\\} \\\\ rotA=\\begin\{vmatrix\} i &j&k \\\\ \\frac\{\\partial \}\{\\partial x\}&\\frac\{\\partial \}\{\\partial y\}&\\frac\{\\partial \}\{\\partial z\}\\\\ P&Q&R \\end\{vmatrix\} 设有向量场A(x,y,z)=\{ P,Q,R\}rotA=∣∣∣∣∣∣i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R∣∣∣∣∣∣

# 错题集锦 #

## 高数部分 ##

* <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 下 列 函 数 f ( x ) 中 ， 导 函 数 f ′ 在 x = 0 处 不 连 续 的 是 A . f ( x ) = { x 4 3 s i n 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0        B . f ( x ) = { s i n x x , x ≠ 0 1 , x = 0 下列函数f(x)中，导函数f^\prime在x=0 处不连续的是\\ A.f(x)=\begin{cases}x^{\frac{4}{3}}sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{cases} \;\;\; B.f(x)=\begin{cases}\frac{sinx}{x},x\ne 0\\ 1,x=0\end{cases} 下列函数f(x)中，导函数f′在x=0处不连续的是A.f(x)={ x34sinx1,x=00,x=0B.f(x)={ xsinx,x=01,x=0</td> 
 <td> 设 f ( x ) = { ∣ x ∣ α s i n 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 , 则 f ( x ) 在 x = 0 处 连 续 ， a &gt; 0 在 f ( x ) 在 x = 0 处 可 导 ， a &gt; 1 ， 在 x = 0 处 f ′ ( x ) 连 续 ， a &gt; 2 设f(x)=\begin{cases}\mid x\mid^\alpha sin\frac{1}{x},x\ne0\\ 0,x=0\end{cases},\\ 则f(x)在x=0 处连续，a&gt;0 \\在f(x)在x=0处可导，a&gt;1 ，\\ 在x=0 处f^\prime(x)连续，a&gt;2 设f(x)={ ∣x∣αsinx1,x=00,x=0,则f(x)在x=0处连续，a&gt;0在f(x)在x=0处可导，a&gt;1，在x=0处f′(x)连续，a&gt;2</td> 
 <td>A</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 以 下 四 个 问 题 ， 正 确 的 是 A . 若 f ′ 在 ( a , b ) 内 连 续 ， 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 有 界 B . 若 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 连 续 ， 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 有 界 C . 若 f ′ ( x ) 在 ( a , b ) 内 有 界 ， 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 内 有 界 以下四个问题，正确的是\\ A.若f^\prime 在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界\\ B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界\\ C. 若f^\prime(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界 以下四个问题，正确的是A.若f′在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界C.若f′(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界</td> 
 <td></td> 
 <td>C</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>
 * <table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>题目</th> 
 <th>解析</th> 
 <th>答案</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
 </table>