410-B-,B+,B*树

雨点打透心脏的1/2处 2022-09-04 14:57 205阅读 0赞

## B-树 ##

**我们一般叫“B树”，B是Binary平衡的意思。平衡树。**  
**m阶-平衡树** （一个节点有m个地址域，m-1个数据域）  
应用场景：**文件索引系统的实现。**

**AVL树**：二阶平衡树。一个节点有2个地址域，1个数据域。（左右孩子的高度差是1,0，-1）

**B-树，所有叶子节点都在同一层，是非常平衡的一棵树！**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**m阶B-树：**  
最多有m个地址域（即m个孩子），m-1个数据域。  
除根节点和叶子节点外，其他节点的孩子至少有一半个数的孩子（比如说有5个孩子，5/2=3，至少有3个孩子）。  
除根节点之外的节点的关键字的个数：比如说是5阶的话。  
5/2-1=3-1=2<=n<=4，不能到达5，到达5的话节点就要分裂。

## B-树的插入操作 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
**插入的元素数据都是带有顺序排的！**  
我们插入C,N,G,A，刚开始，只有这1个节点，也称根节点  
![在这里插入图片描述][4fe756172af54c36b8ae0aeef7ccae5a.png]  
我们现在要插入H，位置如下图所示  
![在这里插入图片描述][decc82beee624095b0332bd65b295600.png]  
满了，此时中间元素是G，要把这个G提到父节点，产生一个父节点  
![在这里插入图片描述][a5b6ce74b5f948e59688ca54b6b095d5.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
**为什么说每个节点至少有一半的孩子？**  
因为满了就要分裂，把中间的元素提到父节点，然后把左右两边分别形成父节点的左孩子，右孩子，此时左右孩子就都有一半。

**现在我们要插入的是E，K，Q**  
![在这里插入图片描述][427713c457fa4000a6f34d6b4f17ff5c.png]  
**现在我们要插入M**，如下图所示，现在已经满了，我们要进行分裂。M应该插在K和N的中间。  
所以我们把M这个中间节点提升到父节点当中。  
![在这里插入图片描述][fd103f0542de477eb2625853ed1aa5e5.png]  
现在父节点有3个孩子，2个数据域  
![在这里插入图片描述][578bdadf1a424dde98f3a433885c5c2b.png]  
叶子节点是绝对在同一层的，是相当绝对平衡的。  
**现在我们要插入F节点**  
F比G小，插在ACEF这里。  
**再插入W，L，T**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
**现在要插入Z**  
Z大于M，应该插在M的右孩子。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
右孩子已经满了。分裂。中间元素是T，所以把T提到父节点当中。  
N,Q成为T的左孩子，W，Z成为T的右孩子

![在这里插入图片描述][acd44a3441d14f6ab8d5e241ac081f32.png]  
一个节点的元素都是排序插入的，而且左孩子的值都小于父节点的值，父节点的值小于其右孩子的值。  
**现在我们要插入D**  
D比G小，插在最左孩子中。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_16_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

满了。D是中间元素，提到父节点当中。  
**AC是D的左孩子，EF是D的右孩子，即G的左孩子**  
**现在插入P,R,X,Y**

![在这里插入图片描述][bc212c1fc9a445fa86dbfa1a8058ca99.png]  
**现在我们要插入S**  
S大于M，小于T  
所以插在M的右孩子中，  
![在这里插入图片描述][bd557a68ead64b0dad04a8cb82f2f46c.png]

满了，中间元素Q提到父节点当中，但是父节点也满了，  
![在这里插入图片描述][13ab5ef2f0544a089cc2a332d526ca4d.png]  
**DGMQT**。  
**中间是M，把M提出去，当父节点。**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
**分裂都是向上分裂的哦。**  
**是非常平衡的。**

**2-3-4树：（有2节点的，3节点的，4节点的）  
4阶平衡树，每一个节点最多有3个数据，4个孩子。**  
![在这里插入图片描述][44ba14bddce24fcfb4ad4e73cd385bc9.png]  
插入1,2，3  
![在这里插入图片描述][edf5c562b429436ba814f517c7f72f3a.png]  
满了

![在这里插入图片描述][e329e3ed4bef4988a2f58d100ab01100.png]  
插入4,5，  
![在这里插入图片描述][9137cc846bd94da69921d4fd51494e46.png]  
满了  
![在这里插入图片描述][5fed8c9266264d1d99efde75b671b4aa.png]  
3的2的右孩子，4的左孩子  
现在插入6,7，  
![在这里插入图片描述][74ff6ca3d6b54c98a682f52668c83ef3.png]  
满了  
![在这里插入图片描述][2cfa7466351444dba6f0a4220e5a1bb8.png]  
父节点满了![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_11_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_11_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]

## B-树的删除操作 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
**依次删除H,T,R,E**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]**我们删除H，因为H无左右孩子，所以直接删除就可以了**  
**删除后，要看这个节点是否满足B树的特征呢**：  
叶子节点的元素数量 2<=n<=4  
因为是5阶B树，满5个节点就要分裂，左右孩子各2个节点  
删除H后，还有K,L，所以满足B树的特征  
2个是节点的最基本的该有的数量  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
**我们删除T，这个T有左右孩子的。**  
所以我们要上移孩子节点中的相近元素。（左孩子最右边或者右孩子最左边的节点）到父节点中去。  
**我们要把W提到父节点中。**  
![在这里插入图片描述][2134ecb062e24cba91d6548b9cfd9415.png]  
**我们要删除R节点。**  
**R没有孩子。我们直接删除。**  
但是这个孩子现在就只有1个节点。所以不满足B树的性质了。  
**我们要看相邻的兄弟是否丰满（丰满就是个数要大于2个）**  
意思是从兄弟借一个。  
**如果兄弟丰满，则从父亲借一个元素来。把父节点的W借过来。然后把兄弟的X放上去父节点里面。**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
**这样做才符合排序树的性质！**![在这里插入图片描述][695ca4e8b23043cf9d08c4842b465ded.png]  
就是要1半的数量  
现在我们看下面：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]**我们要删除E**直接删除E。然后看相邻兄弟借。**但是其相邻兄弟都刚脱贫（就是只有2个元素）**  
并不丰满。  
谁也借不了。  
**则该节点与其相邻的一个兄弟节点进行合并成1个节点，以此来满足条件。**（跟左边，或者右边都可以）  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_16_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
父节点D也放下来和ACE合并了  
现在父节点不丰满了，兄弟是刚刚脱贫，也借不了，只能合并

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
连接父节点，合并成1个节点  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

## B-树的磁盘I/O优势和搜索效率 ##

Windows和linux的文件搜索，以及数据库的索引。  
都用到了B+树结构。  
我们先看看B-树。  
**系统中的数据搜索：**  
数据量非常大，所以这些数据都是存储在磁盘上。  
**为了增加系统的搜索速度，我们一般会给数据创建索引。**  
创建索引，就是给数据进行排序，然后进行数据搜索就更加快速。  
如果想对磁盘上存储的数据进行快速搜索查找**需要解决的问题**：  
**更少的磁盘I/O，以及更快的搜索速度、算法。**  
**我们在这里采用m阶平衡树。**  
**红黑树不是平衡树。AVL树是平衡树。**

**假如说，我们有AVL树和300阶的B-树。**  
在我们操作系统中，管理内存都是按**页面page（4K)分配  
管理磁盘（电脑的C盘E盘F盘）是按块block（16K）分配  
我们的文件在磁盘**存储的，从磁盘读1个文件，读4个字节，实际上，操作系统从磁盘是按块来读取的。  
内存的单位是**字节**，管理的页面单位是**页面4096字节。**  
磁盘的最小单位是**扇区**，一个扇区大小为**512字节**，16K除以512就是扇区的个数。

**假如现在有1千万个索引需要从磁盘中进行读取和搜索，分别采用AVL树和B-树，看看花费是怎么样。**  
两者都是平衡树。搜索的过程是一样的。但是：  
AVL树的高度：logn（log以2为底的n)  
B-树的高度：log300n(log以300为底的n）（一个节点存300个数据）  
![在这里插入图片描述][29fe5fe935264f07865003770e73f758.png]  
![在这里插入图片描述][e09c56566f8b4f299e6caf653ef4486c.png]

**如果用AVL树构建平衡二叉树来存储1千万个索引，需要24层节点。一个节点就是存储着一个索引数据，最差情况就是一个节点对应一个磁盘I/O，需要24次磁盘I/O，才找到**

**如果是用B-树，一般是取300-500阶，节点的大小刚好存储一块磁盘的数据。**  
操作系统发起一次磁盘I/O，会把这次磁盘I/O的所有数据都记录在块。  
300阶，放299个数据。 log以300为底的N，来计算  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]  
**也就是3层。  
1千万的索引数据，对于一张数据库表来说，是上限了，再大就要分表了，B-树就是3层，最多花费3次磁盘I/O**

**搜索算法的时间复杂度都是：logn（log以2为底的n)**  
**（进行的就是二分查找）**  
因为B-树中在每个元素节点里面采用的也是二分搜索算法，在每一层节点都进行二分查找

## B+树的理论 ##

**数据库在存索引数据的过程：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
读磁盘，磁盘上读数据，是按照块读取的。  
图中是3阶的，2个数据域，3个地址域，图中的**数字**代表**索引项**（例如学号作为索引）。  
**关键是数据都在磁盘上**，花费更少的磁盘I/O才是最重要的。  
**我们看B-树的每个节点存储的不仅仅是关键字，就是索引项，还存储着红色的点，这个红色的点代表索引项对应的记录，就是一行的数据。**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
**每一个节点存储着不同的索引项，离根节点越近，命中更快，搜索最快，但是B-树总共就是3层，搜索是都挺快的。**

**B+树是B-树的变形树**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
**同样的关键字都在叶子节点又出现了1次。**  
**B+树的非叶子节点存放的都是关键字。  
如何找到索引项对应的数据，数据都是在叶子节点上放的。  
而且红点都在叶子节点（图中未显示）。  
非叶子节点是叶子节点的索引，只存索引项，不存数据地址，没有红点。**  
**索引项和数据都出现在叶子节点中。搜索每一个数据所花费的磁盘I/O都是一样的。  
叶子节点，全部的数据都串在一条有序的链表当中，**  
**当我们在进行区间查找的时候，我们不用遍历复杂的B+树，我们直接遍历叶子节点就可以了。**

**B+树非叶子节点只存索引项，所以存的就多，找的就快，花费的磁盘I/O就少，查询花费的时间都是一样的（而且树的层数低）！**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4]  
**因为B+树不存储数据地址**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]

## B\*树的理论 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
**B\*树是基于B+树的变种**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]  
**叶子节点在一个链表上串着。  
非叶子节点只存储关键字。**  
**所有的数据和索引项都是在叶子节点上存储着。**  
**它是在非根和非叶节点增加了指向兄弟节点的指针。**  
分裂：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5]  
左孩子满了，如果兄弟节点有位置，就把元素通过移到兄弟节点那里，节点值和父节点值交换一下。  
然后左孩子就有空闲位置了，就可以插入新元素了。  
还是搜索树的性质。

**B\*树分配节点的概率比B+树低。**  
节点更少，磁盘I/O次数更少。

左孩子满了，如果兄弟也满了  
此时，增加1个新节点，从两边节点各拷贝1/3的数据。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBALeael-azveWuhw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6]  
![在这里插入图片描述][e0a61387c1594dc7a64ab4bd9605aa2a.png]  
如果索引的底层采用B\*树就更好了

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220829/e83d837f0cf24bedbbb923a026f044d7.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xJTlpFWVU2NjY_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220829/ff16cd494f0948779225465b30dc0a06.png
[4fe756172af54c36b8ae0aeef7ccae5a.png]: /images/20220829/81756b6691a54603b9c9547802bba54e.png
[decc82beee624095b0332bd65b295600.png]: /images/20220829/0b10a51ba1ca46289e87fec3d59a8425.png
[a5b6ce74b5f948e59688ca54b6b095d5.png]: /images/20220829/aaaa51895b604aa0936ca1e284a37692.png
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[acd44a3441d14f6ab8d5e241ac081f32.png]: /images/20220829/f8991c8ab7eb4268bd256ffc3362b8d2.png
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[44ba14bddce24fcfb4ad4e73cd385bc9.png]: /images/20220829/16b8f68281ad4025a756af68e9917f60.png
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