概率论基础 —— 9. 协方差

小咪咪 2022-08-31 11:29 135阅读 0赞

> 这是一个非常重要的知识，我这倒不是说考试会如何关照这个知识点。而是说如果你想进一步深入数据科学的领域，就会在很多论文、模型里发现大量用于评判模型和分析样本关联度特征时，会经常用到协方差的概念。这也是为什么我在上一章节里提到协方差后，在这一章里还会做一点补充说明的原因。

### 文章目录 ###

*  关于协方差的一个实际生活例子
 *  一些协方差用到的推广公式
 *  做点题吧

# 关于协方差的一个实际生活例子 #

首先回顾一下协方差的公式

C o v ( X , Y ) = ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) Cov(X, Y) = (X - E(X))(Y - E(Y)) Cov(X,Y)=(X−E(X))(Y−E(Y))

及其相关系数

ρ = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \\rho = \\frac\{Cov(X, Y)\}\{ \\sqrt\{D(X)\} \\sqrt\{D(Y)\}\} ρ=D(X)D(Y)Cov(X,Y)

以及数据关联特征

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

我们这里举个例子，说明协方差到底是来做什么的。

比方说，在银行风控系统中，抵押人可能有这么一些数据指标，比如说年龄、性别、学历、抵押资产（固定资产、现金、证券期票、跟其他债务人的借据等），你作为一个银行的工作人员，在确保抵押人的资料真实可信的前提下，你如何确定放贷给某个人的资金是安全的，或者大概率是安全的？

你可能需要一些资料帮助你做出这个判断。比如说银行历史上违约情况进行分析。那么从历史上，贷款人的学历，有博士、硕士、本科、高中以及其他，月收入有>50000，20000 < X < 50000, 10000 < X < 20000等多个不同档的数据。

比方说，你 令  X = 学 历 X = 学历 X=学历, 令 Y = 违 约 率 Y = 违约率 Y=违约率。那么我们可以通过协方差计算每一个样本的情况：

C o v ( X , Y ) = \[ X − X ˉ \] \[ Y − Y ˉ \] Cov(X, Y) = \[X - \\bar\{X\}\] \[Y - \\bar\{Y\}\] Cov(X,Y)=\[X−Xˉ\]\[Y−Yˉ\]

然后把样本计算的结果加起来， C o v 1 + C o v 2 + ⋯ + C o v n Cov\_1 + Cov\_2 + \\cdots + Cov\_n Cov1\+Cov2\+⋯\+Covn 这样可以得到一个值，比如K。

如果  K > 0 K > 0 K>0， 说明样本之间成正相关；  
如果 K < 0 K < 0 K<0，说明样本之间成负相关；  
如果 K ≈ 0 K \\approx 0 K≈0，说明样本之间不相关。

这样，对历史样本进行统计后，你可能就会得到这样一个知识：

> 如果贷款人，有高学历、高收入，高的抵押资产，那么他的违约概率是极低的，而低收入、低学历、低资产的贷款人，违约风险极高。这样，在你审批的时候，就能通过这些条件快速的筛选合适的贷款人，尽最大可能性避免贷款出现违约风险。

# 一些协方差用到的推广公式 #

C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) Cov(X, Y) = Cov(Y, X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

C o v ( X , X ) = D ( X ) Cov(X, X) = D(X) Cov(X,X)=D(X)

C o v ( X , C ) = 0 Cov(X, C) = 0 Cov(X,C)=0

C o v ( a X , b Y ) = a b ⋅ C o v ( X , Y ) Cov(aX, bY) = ab \\cdot Cov(X, Y) Cov(aX,bY)=ab⋅Cov(X,Y)

C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) Cov(X\_1 + X\_2, Y) = Cov(X\_1, Y) + Cov(X\_2 , Y) Cov(X1\+X2,Y)=Cov(X1,Y)\+Cov(X2,Y)

C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)

# 做点题吧 #

> 设X， Y为随机变量，D(X) = 25, D(Y) = 16，Cov(X, Y) = 8，则  ρ = ？ \\rho = ？ ρ=？

**解：**

ρ = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) = 8 25 16 = 2 5 \\rho = \\frac\{Cov(X, Y)\}\{\\sqrt\{D(X) \\sqrt\{D(Y)\}\}\} = \\frac\{8\}\{\\sqrt\{25\} \\sqrt\{16\}\} = \\frac\{2\}\{5\} ρ=D(X)D(Y)Cov(X,Y)=25168=52

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> 已知二元离散型随机变量  ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的联合分布如下：

> (1) X和Y的边缘分布律  
> (2) X和Y的相关系数

**解（1）** 根据我们之前对于离散型二维随机变量的知识点，可以知道

**解（2）** X和Y的相关系数，最重要的就是求解出D和E分别是多少。解题方式有两种，第一种是一个一个的算，但这样比较耗费时间，第二种就是直接带入公式求解，我们选择第二种。

相关系数方程是  ρ = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \\rho = \\frac\{Cov(X, Y)\}\{ \\sqrt\{D(X)\} \\sqrt\{D(Y)\}\} ρ=D(X)D(Y)Cov(X,Y)

从上表，我们可以直接得到：

E ( X ) = − 1 × 0.6 + 2 × 0.4 = 0.2 E(X) = -1 \\times 0.6 + 2 \\times 0.4 = 0.2 E(X)=−1×0.6\+2×0.4=0.2  
 E ( X 2 ) = ( − 1 ) 2 × 0.6 + 2 2 × 0.4 = 2.2 E(X^2) = (-1)^2 \\times 0.6 + 2^2 \\times 0.4 = 2.2 E(X2)=(−1)2×0.6\+22×0.4=2.2  
 D ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 2.2 − 0.04 = 2.16 D(X) = E(X^2) - E^2(X) = 2.2 - 0.04 = 2.16 D(X)=E(X2)−E2(X)=2.2−0.04=2.16

然后对于Y来说，同样可以：

E ( Y ) = − 1 × 0.3 + 1 × 0.3 + 2 × 0.4 = 0.8 E(Y) = -1 \\times 0.3 + 1 \\times 0.3 + 2 \\times 0.4 = 0.8 E(Y)=−1×0.3\+1×0.3\+2×0.4=0.8  
 E ( Y 2 ) = ( − 1 ) 2 × 0.3 + 1 2 × 0.3 + 2 2 × 0.4 = 2.2 E(Y^2) = (-1)^2 \\times 0.3 + 1^2 \\times 0.3 + 2^2 \\times 0.4 = 2.2 E(Y2)=(−1)2×0.3\+12×0.3\+22×0.4=2.2  
 D ( Y ) = E ( Y 2 ) − E 2 ( Y ) = 2.2 − 0.64 = 1.56 D(Y) = E(Y^2) - E^2(Y) = 2.2 - 0.64 = 1.56 D(Y)=E(Y2)−E2(Y)=2.2−0.64=1.56

此外：

C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) 而对于E(XY)来说，你可以令XY = Z，所以对于表来说，就可以变成

由于Z = X Y，所以

E(Z) = -0.5

那么

ρ = − 05 − 0.2 × 0.8 2.16 1.56 \\rho = \\frac\{-05 - 0.2 \\times 0.8\}\{\\sqrt\{2.16\} \\sqrt\{1.56\} \} ρ=2.161.56−05−0.2×0.8

用计算器算一算，就可以得到：-0.3595

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