数学里的 e 为什么叫做自然底数？

超、凢脫俗 2022-08-29 10:21 147阅读 0赞

这个数字的存在其实是很「自然」的一件事情……

## 1 / 多少妃子得不到皇帝的宠幸？ ##

首先，不扯任何公式，更不扯极限的概念，让我们穿越回古代，看一个在当时应该是很「自然」的事情：**皇帝宠幸妃子**。

问题很简单：

> 假设皇帝在宫中一共有1000位妃子，每天 **完全随机地**抽选一位妃子来宠幸，之后妃子安然无恙地回去，如此以往重复大概3年（1000天），那么，最终有多少位妃子能够得到宠幸、又有多少得不到宠幸呢？

![e64fc44bf7231410304b866427ebbd4d.png][]

答案是：如果每一天确实都**完全随机地**选妃子，那么1000位妃子里面，最终将会有大约632位被选中过，而剩下的**368**位妃子则一次都没有被宠幸过。

![20210802082744215.png][]

## 2 / 为什么是0.368？ ##

上面这个简单的例子看似和 e 没有任何关联，但是请把这个比例倒一下：

![2021080208275672.png][]

好像和 e 很接近啊？是巧合吗？

别急，如果这位皇帝有一万名妃子，以相同方式重复一万天（大概27年），那么理论上会有3679位妃子最终得不到宠幸；如果再多一点，十万，那么就是36788……

![2021080208281279.png][]

换句话说，上面这个**「皇帝宠幸妃子」**的问题，理论上会有 ![20210802082828886.png][] 比例的妃子最终得不到皇帝的宠幸。

## 3 / 原理：统计学中的有放回抽样 & 自助重抽样 ##

一开始我对上面这件事将信将疑：真的会有这么多的妃子没被抽中吗？直到我打开RStudio，在R语言里面写了几行简单的代码来模拟上面这个过程，才发现确实如此：

set.seed(1)
    sample = sample(1:10^6, replace=TRUE)  # replace = 有放回取样
    p = 1 - sum(unique(sample) %in% 1:10^6)/10^6
    1/p

结果发现，p（未被宠幸的妃子比例）是0.367975，而1/p是2.718。

这就是统计学中的**「重抽样」**技术（**Bootstrap Sampling**）：**从数量为N的样本中「有放回地」随机抽取出一个「数量同样为N」的样本**，那么理论上来说，原来的N个个体中大约会有36.8%的个体不会被抽中。

如果一定要写出一个公式：

![20210802082851275.png][]

## 4 / 实际应用 ##

Bootstrap技术本身已经在自然科学、社会科学的很多领域得到了广泛应用。而上述这个特殊的问题，其实也已经应用于机器学习：在**“随机森林（random forest）”**算法中，每一棵决策树在建立的时候，所需要的数据并非原始数据（N），而是通过bootstrap方法**有放回地**抽取的**具有相同样本量N**的样本，其中不重复的个案大约是63.2% \* N，而剩下的36.8% \* N的样本则被称为“出包/袋外数据（out-of-bag data, OOB）”。这样一来，**很自然地，重抽样得到的样本可以作为“训练集”来训练机器学习模型，而36.8%的OOB数据（相当于那些“未被宠幸的妃子”）可以作为“测试集”来验证模型的预测性能。**

实际上，我们还可以用一种**“更自然”的方式**来描述这个问题，而不涉及任何具体数字，这样就回应了评论区关于此问题情境是否足够“自然”的疑问（e.g.,

> **皇帝在宫中有成百上千的妃子，派人每天【完全随机地】抽选一位妃子来宠幸（或者条件允许的话，每个时辰一位也可以喔 \[坏笑.emoji\] ），之后妃子安然无恙地回去。若干年后，皇帝“目测”那么多的妃子应该都【宠幸完一遍】了吧？但愚昧的皇帝并不知道，其实还是有很多妃子没有得到宠幸呢。问这个比例是多少？**

依然是那个公式：

![20210802082938861.png][]

【思考题】受到评论区

的启发，我们还可以思考一个不太一样的情形：如果仍然是1000位妃子，但是每次随机抽2人、共抽500次呢？

我们使用R语言进行模拟：

set.seed(1)
    sample = c()
    for(day in 1:500) sample = c(sample, sample(1:1000, 2))
    p = 1 - sum(unique(sample) %in% 1:1000)/1000
    p

答案仍然非常接近36.8%。

类似地，每次随机抽4人、共抽250次**（需满足“抽样总和等于总人数”、“每次抽的数量远小于总人数”）**，也会得到十分相近的答案。

链接：https://www.zhihu.com/question/20296247/answer/708727036

[e64fc44bf7231410304b866427ebbd4d.png]: /images/20220829/89f3efb194a14ee083708b105b88b4d5.png
[20210802082744215.png]: /images/20220829/5b692e8134884c80aee561df4ee23d74.png
[2021080208275672.png]: /images/20220829/13da103bd766453ab53a8f42eac263f4.png
[2021080208281279.png]: /images/20220829/7c8fa6a25ce14090b4aed05d4fdca3d0.png
[20210802082828886.png]: /images/20220829/9ed8fc53cc9049c2911919c93dab4e8e.png
[20210802082851275.png]: /images/20220829/fbd9ca2ef17a4698b7d6e64a0d2d700b.png
[20210802082938861.png]: /images/20220829/59f3d314be5b45b0918a32e4cb8baf23.png