数学建模之线性回归的标准型以及例题

本是古典何须时尚 2022-08-29 09:44 78阅读 0赞

**Matlab中线性规划的标准型为**：  
所求的线性规划问题为： m i n c T x min \{ \{c\}^\{T\}\}x mincTx，下列为参数的限制条件  
 s.t. \{ A x ≤ b A e q ⋅ x = b e q l b ≤ x ≤ u b \\text \{ s.t. \}\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\} A x \\leq b \\\\ A e q \\cdot x=b e q \\\\ l b \\leq x \\leq u b \\end\{array\}\\right.  s.t. ⎩⎨⎧Ax≤bAeq⋅x=beqlb≤x≤ub  
**注意：我们的代码对于第一个条件必须是小于等于的形式，如果我们已知的不等式条件不是该形式需要通过添加负号进行转换**  
**Matlab对于线性规划来讲只能求解最小值**，但是很多线性规划问题会要求你求出最大值，此时就需要对该问题转化为最小值来进行Matlab求值。  
Matlab求解此类问题的函数为linprog(c, A, b)，它的返回值是向量 x 的值（其他的函数调用形式可以在Matlab指令窗运行help linprog命令就可以看到所有的函数调用形式），如：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ0NjE0NTI0_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
例1：求解下列线性规划问题：  
 max ⁡ z = 2 x 1 + 3 x 2 − 5 x 3 \\max z=2 x\_\{1\}+3 x\_\{2\}-5 x\_\{3\} maxz=2x1\+3x2−5x3  
条件如下：  
 x 1 + x 2 + x 3 = 7 2 x 1 − 5 x 2 + x 3 ≥ 10 x 1 + 3 x 2 + x 3 ≤ 12 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \\begin\{array\}\{l\} x\_\{1\}+x\_\{2\}+x\_\{3\}=7 \\\\ 2 x\_\{1\}-5 x\_\{2\}+x\_\{3\} \\geq 10 \\\\ x\_\{1\}+3 x\_\{2\}+x\_\{3\} \\leq 12 \\\\ x\_\{1\}, x\_\{2\}, x\_\{3\} \\geq 0 \\end\{array\} x1\+x2\+x3=72x1−5x2\+x3≥10x1\+3x2\+x3≤12x1,x2,x3≥0  
代码为：

c = [-2; -3; 5];            %c就是标准型中需要求解的问题，由于本题是求
                                %最大值，而matlab只能求最小值，因此给变量加负号
    a = [-2, 5, -1;1, 3, 1];    %这里的a就相当于标准型中的A
    b = [-10; 12];              %因为不等式添加负号了，因此右侧的10也要添加负号
    aeq = [1, 1, 1];
    beq = 7;
    x = linprog(-c, a, b, aeq, beq, zeros(3, 1));
    value = c' * x;				%通过矩阵乘法进行所求表达式值的大小

例2：求解下列线性规划问题：  
 min ⁡ z = 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 \\min z=2 x\_\{1\}+3 x\_\{2\}+ x\_\{3\} minz=2x1\+3x2\+x3限定条件如下：

x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 ≥ 8 3 x 1 + 2 x 2 ≥ 6 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \\begin\{array\}\{l\} x\_\{1\}+4x\_\{2\}+2x\_\{3\}\\geq\\ 8 \\\\ 3 x\_\{1\}+2 x\_\{2\} \\geq 6 \\\\ x\_\{1\}, x\_\{2\}, x\_\{3\} \\geq 0 \\end\{array\} x1\+4x2\+2x3≥83x1\+2x2≥6x1,x2,x3≥0  
题解代码如下：

c = [2; 3; 1];
    a = [-1, -4, -2; -3, -2, 0];    %这里的第二维的缺失值必须使用0来进行填充
    b = [-8; -6];
    [x, y] = linprog(c, a, b, [], [], zeros(3, 1));

本示例参考书籍为：司守奎老师的《数学建模算法与程序》

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