CPU 是如何识数的？

Love The Way You Lie 2022-08-28 10:49 124阅读 0赞

先来看一个简单的问题：小孩子都知道数数：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，可为什么要这样数呢？为什么不是1,2,3,4,5,6,10呢？

一种比较流行的解释是因为人类有10个手指：

![01ba69bd9453d213dfe2f1b396d0ff33.png][]

所以人类的数字系统就是10进制的，如果这个解释成立，那么变色龙的数字系统应该是4进制![f4fbc5ea50efa23260807d9270ed59fd.png][]：

![6a6d03a215a37af6ac7e9ae4e97917c4.png][]

而计算机的手是单指，所以是2进制：

![b7dbd26b20983b55a0377eda4496361c.png][]

哈哈，开个玩笑，其实计算机在最最最最底层就是一个个开关，因此计算机系统是2进制，关于CPU的构造你可以参考《[你管这破玩意叫 CPU？][CPU]》：

![38727a496bc36f3e5dc4dd7ba1670aba.png][]

**数字 0 与正整数**

0这个数字其实有非常重要的意义，可能大家都没想过这个问题，没关系，我们来看两个不同的数字系统：阿拉伯数字和罗马数字：

![cf6ff10299cfb644d6f93da892ad2b12.png][]

注意，罗马数字中没有 “0” 这个概念，你可能会想，这有什么大不了的吗？让我们来看一个例子，数字205，分别在两种系统的表示。

**罗马**：CCV

**阿拉伯**：205

0的出现可以让阿拉伯数字系统中205这样写：

![25f9d70073d456f36877bf4414a6bdb0.png][]

可以看到，在阿拉伯系统中**数值和数字所在的位置有直接关系，这就是进位制**，而在罗马数字系统则没有进位制，这使得罗马数字在表示大数值时非常困难。

计算机系统中的二进制同样是进位制，数字5用二进制表示就是101：

![56525d0abb2ae061869a1ead418ee740.png][]

使用 k 个bit，那么可以表示 2^k 个整数，范围从 0 到 2^k - 1，假设 k 有 8 位，那么表示范围就是 0 到 255，当然这里说的是无符号正整数。

现在我们可以表示正整数了，但真正有用的计算不可避免会涉及到**负数**，也就是**带符号整数**，而这也是真正有趣的地方。

#####  #####

**有符号整数**

正整数的表示非常简单，给定 k 个bit，那么我们可以表示 2^k 个数，假设k为4，那么我们可以表示16个数字。

如果要考虑有符号整数呢？

你可能会想这还不简单，一半一半嘛！其中一半用来表示正数，另一半用来表示负数！

假设有4个比特位，如果用来表示无符号正数，就是0 ~ 15，而如果要表示有符号整数，那么其中一半给到+1 ~ +7，另一半给到-1 ~ -7，

一切看最左边的 bit 是 0，如果最左边的 bit 位是 0 则表示正数，否则表示负数。

![634039acacdcc9535a6fbbdb042f5baf.png][]

现在我们已经知道正负数是通过什么来决定的了，接下来的问题就是负数该怎么表示呢？也就是说对于比如-2，现在我们只知道其最左边的 bit 位是1，那么右边的这些 bit 到底该是多少呢？

关于这一问题就三种设计方法。

#####  #####

**方法1：正数加上负号即对应负数**

第一种设计方法很简单，既然**0**010表示+2，那么如果最左边的bit位替换成1就表示对应的负数，即**1**010表示-2，这种设计方法简单直接，这是**最符合人类的思维的设计(不一定最好)**。

如果这样设计的话，4个 bit 位能表示的所有数字就是：

![64ce318b81521f9c1b33732204fb64ec.png][]

你给这种非常符合人类思维的数字表示方法起了个名字，**原码**。

这种设计下会有一个奇怪的表示：0000表示0这没什么问题，1000会表示 -0，这会导致出现-0这样的数字，其实 0 和 -0 不应该有什么区别。

身为设计天才的你显然不满足于此，是不是还有其它设计方法？

#####  #####

**方法2：翻转**

你觉得第一种表示方法也就是原码太原始，可以说基本上没什么设计，你突发奇想，既然**0010**表示+2，那么将其全部翻转，即**1101**来表示-2好了，即：

![aaba22fe3a344982ab591e7419b61000.png][]

你给这种表示方法也起了名字，**反码**。

在反码表示法下，也存在-0，0000表示0，全部翻转也就是1111来表示-0，可以看到这和原码表示方法差别没那么大。

#####  #####

**设计计算机很容易吗？**

到这里有的同学可能会想，计算机设计者其实怎么来表示有符号数其实都是可以的，原码可以，反码也可以，都能表示出来，设计计算机太容易了吧！

你猜的没错，就是这么容易！**如果你是计算机的创造者，怎么设计都可以**！最初的计算机设计者真的可以有很多表示数字的方法，**采用反码表示数字的计算机系统在历史上真的出现过！！！**但这些表示方法不约而同都有一个问题，那就是**两数相加**。

#####  #####

**不简单的两数相加**

我们以2 + ( -2 )为例。

在原码表示法下，2为0010，-2为1010，那么计算机该怎么做2 + ( -2 )加法呢？

![b858948c8fb50ac9e3197ef3e5b33417.png][]

可是1100在原码表示法下是 -4，这与原码表示法本身是矛盾的。

再来看看反码，2为0010，-2为1101，两数相加：

![0dd6402ee63efd23bc43fe0140bf11ef.png][]

1111在反码表示下为-0，**虽然-0不够优雅**，但好歹和反码表示法本身没有矛盾，这大概就是为什么早期会有计算机采用反码表示数字的原因。

在《[**你管这破玩意叫CPU？**][CPU 1]》一文中我们知道，计算机加法是通过加法器组合电路实现的，而这里的不管是原码还是反码，要想计算加法都不可避免的要在前面提到的加法器之上**额外添加组合电路来确保有符号数相加的正确性**，这无疑会增加电路设计的复杂度。

人是懒惰的也是聪明的，我们就没有一种2+-2就是0(0000)的数字表达方法吗？

#####  #####

**新的表示方法**

现在，对于最左边的bit位来说，0表示正数，1表示负数是没有什么异议的，这里的关键在于我们需要一种表示方法，可以让A+(-A) = 0，而且这里0的二进制也是0，如果是4个bit为的话就应该是0000。

假设A=2，那么我们重点研究下2+-2 = 0(0000)的表示方法。

对于2来说，很简单就是0010，对于-2来说，现在我们只能确定最左边的bit位是1，也就是说 ：

![8692623f5583b3e299c1fc79e31e00b9.png][]

**显然 -2 应该用1110来表示，这样2+-2就真的是0了**，由此推断：

![a370a9cdc00331ce59b27dbca44e88aa.png][]

从图中可以看出这种表示方法下就没有-0了。

注意看-1和0，分别是1111和0000，当我们让-1(1111)加上1(0001)时，我们确实得到了0000，不过还有一个进位，实际上我们得到的是10000，但**我们可以放心的忽略掉该进位**。

**这种表示方法最美妙的地方在于《[你管这破玩意叫CPU][CPU]**。

你可以自己试验几个数字相加就能发下这种表示方法的奇妙之处，

你给这种数字表达方法起了名字，**补码，**这现代计算机系统所采用的数字表示方法。

采用补码，如果是4个bit位，那么我们可以表示的范围是-8 ~ 7。

再来仔细看一下反码和补码：

![e9d43b718627be426cff81ff81587f71.png][]

因为补码不需要表示 -0 这个奇葩，你会发现一个很有意思的规律，那就是**负数的反码加上1就是对应的补码**，这是计算机教科书在讲解补码时很重要的一个知识点，现在你应该知道这个知识点是怎么来的了吧！

#####  #####

**CPU真的识数吗？**

就像前面提到的，现代计算机采用补码的根本原因在于**这种表示方法可以简化电路设计**，尽管补码对人类来说不够直观。

到这里我们可以看到，在计算机科学中，**最符合人类思维的设计并不一定对计算机最优**，这也是最迷人的地方，人和机器毕竟不同嘛！

让我们再来看下采用补码时2+-2 的计算过程：

![4641cb8e1a68298924c1d23a113f93d9.png][]

和十进制加法一样，从右到左，如果产生进位，那么进位就要参与左边一列的计算。

注意，在这个过程中加法器关心这个数字是正数还是负数了吗？

答案是没有，**加法器或者更具体是CPU中的ALU根本就不关心是正数还是负数，它只知道我要进行加法计算**，除此之外不 CARE 任何其它信息，至于数字该采用反码还是补码这些是人类需要理解的，确切来说是编译器需要来理解的，程序员都无需关心，但**程序员需要知道数据类型的表示范围**。

现在你能明白补码以及 CPU 是如何识数的了吧。

#####  #####

**总结**

在本文我们详细讲解了CPU是如何识数这一主题，正如本文所言，**CPU其实本质的上是不识数的，也不需要识数**，这正是补码这一数字表示方法的优点。

希望本文能对大家理解计算机系统的数字表示有所帮助。

\------------ **END** ------------

后台回复『**单片机**』『**嵌入式软硬件综合内容**』阅读更多相关文章。

**欢迎关注我的公众号，**回复“**加群**”按规则加入技术交流群，回复“**1024**”查看更多内容。

**欢迎关注我的视频号：**

![bb7f018a43e01f0d4a2314c654855cd2.png][]

点击“**阅读原文**”查看更多分享，欢迎**点分享、收藏、点赞、在看。**

[01ba69bd9453d213dfe2f1b396d0ff33.png]: /images/20220828/a9d3f90dd3174ca286721509c9fa1377.png
[f4fbc5ea50efa23260807d9270ed59fd.png]: /images/20220828/7efa04b536ed452b809277841fb76923.png
[6a6d03a215a37af6ac7e9ae4e97917c4.png]: /images/20220828/5f6686519d144a7387958d427da7ead9.png
[b7dbd26b20983b55a0377eda4496361c.png]: /images/20220828/e0c19b66a7524760ae65969d3473c8ff.png
[CPU]: https://blog.csdn.net/ITGENIUS1/article/details/118901504
[38727a496bc36f3e5dc4dd7ba1670aba.png]: /images/20220828/44b3615342b244b19b31bd5a75238d8a.png
[cf6ff10299cfb644d6f93da892ad2b12.png]: /images/20220828/acad974905cc40b09f9e9a01d071dde7.png
[25f9d70073d456f36877bf4414a6bdb0.png]: /images/20220828/19291698b2be43e69f05a10a9ad68fed.png
[56525d0abb2ae061869a1ead418ee740.png]: /images/20220828/7d3df4146f52457ab2a10dbb7b6feea0.png
[634039acacdcc9535a6fbbdb042f5baf.png]: /images/20220828/7484736444b74d68a5c2886b75f99099.png
[64ce318b81521f9c1b33732204fb64ec.png]: /images/20220828/82f238a8b0be465ea9ccacbe6c1c37df.png
[aaba22fe3a344982ab591e7419b61000.png]: /images/20220828/06e6949c0db24174b81d696580490303.png
[b858948c8fb50ac9e3197ef3e5b33417.png]: /images/20220828/323393ba17ff4940bda4c41956c66440.png
[0dd6402ee63efd23bc43fe0140bf11ef.png]: /images/20220828/503f9d589d5e40aaae338eeb7da02260.png
[CPU 1]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU2NTYyOTQ4OQ==&mid=2247485529&idx=1&sn=4a1154e4acfb4335a44a81260485c7ca&chksm=fcb98f07cbce061138c68333f6c9c73e02321400c66c9835aee956a00bf4e8c54fefee678fd7&scene=21#wechat_redirect
[8692623f5583b3e299c1fc79e31e00b9.png]: /images/20220828/49525b43980849e793d996d346a4bf13.png
[a370a9cdc00331ce59b27dbca44e88aa.png]: /images/20220828/c85d00bb2be042ff924ef4478dfa2243.png
[e9d43b718627be426cff81ff81587f71.png]: /images/20220828/675ed19e63e1447a90a097aedff903fa.png
[4641cb8e1a68298924c1d23a113f93d9.png]: /images/20220828/248a21d8dc6b4d69a1a98b3f794ee1ed.png
[bb7f018a43e01f0d4a2314c654855cd2.png]: /images/20220828/9e12f581435c4c649b427b9d055bc9ca.png