Codeforces Round #746 (Div. 2) C. Bakry and Partitioning

╰+攻爆jí腚メ 2022-08-28 08:49 159阅读 0赞

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前言

题目来源 ：Codeforces Round\#746 (Div. 2)

链接Codeforces :

https://codeforces.com/contest/1592/problem/C

Bakry面临一个问题，但由于他懒得解决，他请求你的帮助。给你一棵有n个节点的树，第i个节点在1到n中的每一个i上都有分配给它的值ai。你想从树上删除至少1条，但最多k-1条边，这样下面的条件就成立了。对于每一个连接的组件，计算其中的节点值的位素XOR。然后，这些值对所有的连接部件都必须是相同的。

有没有可能达到这个条件呢？

输入：

每个测试包含多个测试案例。第一行包含测试用例的数量t（1≤t≤5⋅104）。测试用例的描述如下。

每个测试用例的第一行包含两个整数n和k（2≤k≤n≤105）。

每个测试用例的第二行包含n个整数a1,a2,...,an（1≤ai≤109）。

接下来n-1行的第i行包含两个整数ui和vi（1≤ui,vi≤n, ui≠vi），这意味着节点ui和vi之间有一条边。可以保证给定的图是一棵树。保证所有测试案例的n之和不超过2⋅105。

输出：

对于每个测试用例，你应该输出一个单一的字符串。如果你能根据上面写的条件删除边，则输出 "YES"（不带引号）。否则，输出"NO"（不带引号）。

你可以将 "YES "和 "NO "的每个字母以任何形式（大写或小写）打印出来。

样例

输入：

5 3

1 6 4 1 2

1 2

2 3

1 4

4 5

输出：

YES

问题描述

理解题意：该题题意大概是，能否通过至少1次、最多k-1次的删除操作，将给出的无向连通图G的边每次删除一条，使得删除后所组成的每组节点的异或值相等。（按照样例所示数据进行如下图分析）

**提示**：**第一个图圆上的数字代表的是节点的编号，第二个图圆上的数字代表的是对应编号节点的节点值。**

![6557b2706cde094b31ee6012575eec42.png][]

![e781e2ec9c227534289cb917d1216fcd.png][]

由题意可知若要解决此题必须了解异或操作的性质！

**异或操作的性质：任意两个相等的值，异或操作后其值为零，即记x, y,** **若x = y,** **那么x ^ y = 0; 0****与x****的异或值为x,** **记0 ^ x = x;**

题意是要让分割后的每一部分异或值相等，所以可以根据异或的性质将其划分为两种情况：

1、当满足所有节点值求异或后等于0，那么该情况一定可以划分为2个相等的部分进行异或操作，故满足题意；（如下图，所有节点的异或值为0）

**当异或操作进行的最后一步时，一定是2****剩余两部分异或值相同才能得到最终异或值为0****；删除红叉的那条边，最终两部分的异或值相等。**

![eacb45e46a1fa491681e7b5fcfa15315.png][]

2、当所有节点值求异或后不等于0时，如下图所有节点的异或值为3，如果可以找出能将其划分为至少3部分，且每一部分的异或值都等于3时，那么也是满足题意的。

证明：我们可以这样来想，若最终的异或值最终为w, 那么若要满足题意，一定存在偶数组异或值相同且为w的部分，使得前面所有分割部分的异或值为0，才会使最终异或值为w.

![ffba9c2068c8f66fc5d6a2a65e371708.png][]

最终分割结果

![b94a1065f64038ee1e2bfac785c6aaaa.png][]

解决方案

有了以上问题的分析，可以很快得到解题思路；首先将所有节点的异或值w求出，判断其是否为w = 0，为0输出YES，反之进行上述第二种情况的判断；能否找出满足将其划分为至少3部分，且每一部分的异或值都等于w, 在此处可以采用dfs + 贪心进行判断;

具体操作：在回溯的过程中，会返回当前节点分支的异或值，若当前节点某个分支的异或值等于w时，我们可以贪心的将其边删除，该节点的余下分支(异或值不等于w的分支)再与该节点进行异或操作，每次贪心的删除一条边，我们就记录下来(这样得到的是删除边的最大条数)，最终判断一下所删除的边数是否大于等于2(是否能划分为3部分)，同时判断最后一个部分的值是否等于w或是等于0。

判断删除边是否小于k-1，通过上述操作，dfs + 贪心得到删除边数的最大条数，但还应该满足删除的最小条数小于等于k-1；因为删除后满足每一部分的异或值都相等，所以可以取奇数个相同的部分进行合并，求异或值还是等于自身；

例如：3  3  3 对其合  3 ^ 3 ^ 3 = 3 ；

代码

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>#include &lt;iostream&gt;#include &lt;algorithm&gt;#include &lt;cstring&gt;#include &lt;vector&gt;#include &lt;queue&gt;#include &lt;unordered_map&gt;using namespace std;typedef long long LL;const int N = 200010, INF = &nbsp;0x3f3f3f3f;int a[N], b[N], nums;unordered_map&lt;int, &nbsp;vector&lt;int&gt;&gt; mp;int dfs(int val, int p, int &nbsp;w){ &nbsp;&nbsp;&nbsp; int t = a[val];&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;for(int x: mp[val]){ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; if (x != p) { &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; int k = dfs(x, val, w);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; if (k == w) { &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; nums ++;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; else t = t ^ k;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp; return t;}int main(){ &nbsp;&nbsp;&nbsp; int t;&nbsp;&nbsp;&nbsp; cin &gt;&gt; t;&nbsp;&nbsp;&nbsp; while(t --){ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; int n, k;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; scanf("%d%d", &amp;n, &nbsp;&amp;k);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; int t = 0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; for (int i = 1; i &lt;= n; i ++){ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; scanf("%d", &amp;a[i]);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; t = t ^ a[i];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mp.clear();&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; nums = 0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; for (int i = 0; i &lt; n - 1; i ++){ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; int u, v;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; scanf("%d%d", &amp;u, &nbsp;&amp;v);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mp[u].push_back(v);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mp[v].push_back(u);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; if (t == 0) &nbsp;printf("%s\n","YES");&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; else { &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; int p = dfs(1, -1, t);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; if (k &gt; 2 &amp;&amp; nums &nbsp;&gt;= 2 &amp;&amp; (nums/3 + nums % 3) &lt;= k &amp;&amp; (p == t || p == 0)) &nbsp;printf("%s\n","YES");&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; else printf("%s\n", &nbsp;"NO");&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp; }&nbsp;&nbsp;&nbsp; return 0;}</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

结语

本篇题解为codeforces网站上的Codeforces Round\#746 (Div. 2) C题，解决方法是dfs + 贪心，最后将其限制条件进行判断，得到最终的答案；希望本文对读者有所帮助。

实习编辑：衡辉

稿件来源：深度学习与文旅应用实验室（DLETA）

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