区间dp模型（石子归并，括号匹配，整数划分）

缺乏、安全感 2022-08-26 15:26 170阅读 0赞

区间dp顾名思义就是在一个区间上进行的一系列动态规划。对一些经典的区间dp总结在这里。

**1) 石子归并问题**

题目链接：[http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=737][http_acm.nyist.edu.cn_JudgeOnline_problem.php_pid_737]

描述：有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

分析：要求n个石子归并，我们根据dp的思想划分成子问题，先求出每两个合并的最小代价，然后每三个的最小代价，依次知道n个。

定义状态dp \[ i \] \[ j \]为从第i个石子到第j个石子的合并最小代价。

那么**dp \[ i \] \[ j \] = min(dp \[ i \] \[ k \] + dp \[ k+1 \] \[ j \])**

**那么我们就可以从小到大依次枚举让石子合并，直到所有的石子都合并。**

**这个问题可以用到平行四边形优化，用一个s【i】【j】=k 表示区间 i---j 从k点分开才是最优的，这样的话我们就可以优化掉一层复杂度，变为O（n^2）.**

**代码：**

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define N 210
    int dp[N][N],sum[N];
    int main()
    {
        int n;
        while(~scanf("%d",&n))
        {
            int a[N];sum[0]=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                scanf("%d",&a[i]);
                sum[i]=sum[i-1]+a[i];
            }
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            int i,j,l,k;
    		for(l = 2; l <= n; ++l)
    		{
    			for(i = 1; i <= n - l + 1; ++i)
    			{
    				j = i + l - 1;
    				dp[i][j] = 2100000000;
    				for(k = i; k < j; ++k)
    				{
    					dp[i][j] = std::min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i-1]);
    				}
    			}
    		}
    		printf("%d\n", dp[1][n]);
        }
        return 0;
    }

平行四边形优化代码：

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define N 210
    int dp[N][N],sum[N],s[N][N];
    int main()
    {
        int n;
        while(~scanf("%d",&n))
        {
            int a[N];sum[0]=0;
            memset(s,0,sizeof(s));
            for(int i=1;i<=n;i++){
                scanf("%d",&a[i]);
                s[i][i]=i;
                sum[i]=sum[i-1]+a[i];
            }
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            int i,j,l,k;
    		for(l = 2; l <= n; ++l)
    		{
    			for(i = 1; i <= n - l + 1; ++i)
    			{
    				j = i + l - 1;
    				dp[i][j] = 2100000000;
    				for(k = s[i][j-1]; k <= s[i+1][j]; ++k)
    				{
    				    if(dp[i][j]>dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i-1])
                        {
                            dp[i][j]=dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[j] - sum[i-1];
                            s[i][j]=k;
                        }
    				}
    			}
    		}
    		printf("%d\n", dp[1][n]);
        }
        return 0;
    }

**2)括号匹配**

题目链接：

poj2955,[http://poj.org/problem?id=2955][http_poj.org_problem_id_2955]

nyoj 15[ http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=15][http_acm.nyist.edu.cn_JudgeOnline_problem.php_pid_15]

描述：给出一串的只有‘（’ ‘）’ '\[‘ '\]'四种括号组成的串，让你求解需要最少添加括号数让串中的所有括号完全匹配。

分析：我们求出这个串的最大匹配，然后串的总长度-最大匹配就是答案。

方法1:首先能想到的是转化成LCS（最长公共子序列），枚举中间点，求所有的LCS中的最大值 \* 2就是最大匹配。但是复杂度较高，光LCS一次就O(n^2)的复杂度。

方法2：

首先考虑怎么样定义dp让它满足具有通过子结构来求解、

定义dp \[ i \] \[ j \] 为串中第 i 个到第 j 个括号的最大匹配数目

那么我们假如知道了 i 到 j 区间的最大匹配，那么i+1到 j+1区间的是不是就可以很简单的得到。

那么 假如第 i 个和第 j 个是一对匹配的括号那么**dp \[ i \] \[ j \] = dp \[ i+1 \] \[ j-1 \] + 2 ;**

那么我们只需要从小到大枚举所有 i 和 j 中间的括号数目，然后满足匹配就用上面式子dp，然后每次更新dp \[ i \] \[ j \]为最大值即可。

更新最大值的方法是枚举 i 和 j 的中间值，然后让 **dp\[ i \] \[ j \] = max ( dp \[ i \] \[ j \] , dp \[ i \] \[ f \] + dp \[ f+1 \] \[ j \] ) ;**

**如果要求打印路径，即输出匹配后的括号。见[http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/24238547][http_blog.csdn.net_y990041769_article_details_24238547]详细讲解**

**代码：**

#include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <string>
    using namespace std;
    const int  N = 120;
    int dp[N][N];
    int main()
    {
        string s;
        while(cin>>s)
        {
            if(s=="end")
                break;
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            for(int i=1;i<s.size();i++)
            {
                for(int j=0,k=i;k<s.size();j++,k++)
                {
                    if(s[j]=='('&&s[k]==')' || s[j]=='['&&s[k]==']')
                        dp[j][k]=dp[j+1][k-1]+2;
                    for(int f=j;f<k;f++)
                        dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j][f]+dp[f+1][k]);
                }
            }
            cout<<dp[0][s.size()-1]<<endl;
        }
        return 0;
    }

3）**整数划分问题**

题目链接：nyoj746 [http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=746][http_acm.nyist.net_JudgeOnline_problem.php_pid_746]

题目描述：给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号，将n分成m段，求出这m段的最大乘积

分析：根据区间dp的思想，我们定义dp \[ i \] \[ j \]为从开始到 i 中加入 j 个乘号得到的最大值。

那么我们可以依次计算加入1----m-1个乘号的结果

而每次放入x个乘号的最大值只需枚举第x个乘号的放的位置即可

**dp \[ i \] \[ j \] = MAX (dp \[ i \] \[ j \] , dp \[ k \] \[ j-1 \] \* a \[ k+1 \] \[ i \] ) ;**

**代码：**

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #define MAX(a,b) a>b?a:b
    long long a[20][20];
    long long dp[25][25];
    int main()
    {
        int T,m;
        scanf("%d",&T);
        getchar();
        while(T--)
        {
            char s[22];
            scanf("%s",s+1);
            scanf("%d",&m);
            int l=strlen(s),ok=1;
            memset(a,0,sizeof(a));
            for(int i=1;i<l;i++)
            {
                if(s[i]=='0')
                    ok=0;
                for(int j=i;j<l;j++)
                {
                    a[i][j]=a[i][j-1]*10+(s[j]-'0');
                }
            }
            if(ok==0&&l-1==m||l-1<m)
            {
                printf("0\n");continue;
            }
            long long x,ans;
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            for(int i=0;i<l;i++)
                dp[i][1]=a[1][i];
            ans=0;
            if(m==1)
                ans=dp[l-1][1];
            for(int j=2;j<=m;j++)
            {
                for(int i=j;i<l;i++)
                {
                    ans=a[i][i];
                    for(int k=1;k<i;k++)
                    {
                        dp[i][j]=MAX(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i]);
                    }
                }
            }
            printf("%lld\n",dp[l-1][m]);
        }
        return 0;
    }

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