五大常用算法之回溯法

￡神魔★判官ぃ 2022-08-24 06:06 312阅读 0赞

看了[五大常用算法之一][Link 1]这篇博文，感觉理解了很多，可是纯粹都是理论，缺少一些示例，所以准备综合一篇博文，以帮助自己记忆，原文：

http://www.cnblogs.com/steven\_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

# 1、概念 #

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

# 2、基本思想 #

**   **在包含问题的所有解的解空间树中，按照**深度优先搜索的策略**，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

# 3、用回溯法解题的一般步骤： #

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

# 4、算法框架 #

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

1: int a[n],i;

2: 初始化数组a[];

3: i = 1;

4: while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头

5: {

6:     if(i > n)                                              // 搜索到叶结点

7:     {

8:           搜索到一个解，输出；

9:     }

10:     else                                                   // 处理第i个元素

11:     {

12:           a[i]第一个可能的值；

13:           while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)

14:           {

15:               a[i]下一个可能的值；

16:           }

17:           if(a[i]在搜索空间内)

18:          {

19:               标识占用的资源；

20:               i = i+1;                              // 扩展下一个结点

21:          }

22:          else

23:         {

24:               清理所占的状态空间；            // 回溯

25:               i = i –1;

26:          }

27: }

（3）递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

1: int a[n];

2: try(int i)

3: {

4:     if(i>n)

5:        输出结果;

6:      else

7:     {

8:        for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径

9:        {

10:            if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件

11:              {

12:                 a[i] = j;

13:               ...                         // 其他操作

14:                 try(i+1);

15:               回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;

16:               }

17:          }

18:      }

19: }

**回溯法示例：**

**（1）深度优先算法（DFS）**

**这是数据结构中的基本算法**

深度优先搜索DFS可描述为：

（1）访问v0顶点；

（2）置 visited\[v0\]=1；

（3）搜索v0未被访问的邻接点w，若存在邻接点w，则DFS(w)。

/*
    图的深度优先遍历
    出处：一条鱼@博客园 http://www.cnblogs.com/yanlingyin/
    2011-12-26 
    
    */
    #include <stdlib.h>
    #include <stdio.h>
    
    struct node                       /* 图顶点结构定义     */
    {
       int vertex;                    /* 顶点数据信息       */
       struct node *nextnode;         /* 指下一顶点的指标   */
    };
    typedef struct node *graph;       /* 图形的结构新型态   */
    struct node head[9];              /* 图形顶点数组       */
    int visited[9];                   /* 遍历标记数组       */
    
    /********************根据已有的信息建立邻接表********************/
    void creategraph(int node[20][2],int num)/*num指的是图的边数*/
    {
       graph newnode;                 /*指向新节点的指针定义*/
       graph ptr;
       int from;                      /* 边的起点          */
       int to;                        /* 边的终点          */
       int i;
       for ( i = 0; i < num; i++ )    /* 读取边线信息，插入邻接表*/
       {
          from = node[i][0];         /*    边线的起点            */
          to = node[i][1];           /*   边线的终点             */
          
       /* 建立新顶点 */
          newnode = ( graph ) malloc(sizeof(struct node));
          newnode->vertex = to;        /* 建立顶点内容       */
          newnode->nextnode = NULL;    /* 设定指标初值       */
          ptr = &(head[from]);         /* 顶点位置           */
          while ( ptr->nextnode != NULL ) /* 遍历至链表尾   */
             ptr = ptr->nextnode;     /* 下一个顶点         */
          ptr->nextnode = newnode;    /* 插入节点        */
       }
    }
    
    /**********************  图的深度优先搜寻法********************/
    void dfs(int current)
    {
       graph ptr;
       visited[current] = 1;          /* 记录已遍历过       */
       printf("vertex[%d]\n",current);   /* 输出遍历顶点值     */
       ptr = head[current].nextnode;  /* 顶点位置           */
       while ( ptr != NULL )          /* 遍历至链表尾       */
       {
          if ( visited[ptr->vertex] == 0 )  /* 如过没遍历过 */
             dfs(ptr->vertex);              /* 递回遍历呼叫 */
          ptr = ptr->nextnode;              /* 下一个顶点   */
       }
    }
    
    /****************************** 主程序******************************/
    int main()
    {
       graph ptr;
       int node[20][2] = { {1, 2}, {2, 1},  /* 边线数组     */
                           {1, 3}, {3, 1},
                           {1, 4}, {4, 1},
                           {2, 5}, {5, 2},
                           {2, 6}, {6, 2},
                           {3, 7}, {7, 3},
                           {4, 7}, {4, 4},
                           {5, 8}, {8, 5},
                           {6, 7}, {7, 6},
                           {7, 8}, {8, 7} };
       int i;
       //clrscr();
       for ( i = 1; i <= 8; i++ )      /*   顶点数组初始化  */
       {
          head[i].vertex = i;         /*    设定顶点值      */
          head[i].nextnode = NULL;    /*       指针为空     */
          visited[i] = 0;             /* 设定遍历初始标志   */
       }
       creategraph(node,20);          /*    建立邻接表      */
       printf("Content of the gragh's ADlist is:\n");
       for ( i = 1; i <= 8; i++ )
       {
          printf("vertex%d ->",head[i].vertex); /* 顶点值    */
          ptr = head[i].nextnode;             /* 顶点位置   */
          while ( ptr != NULL )       /* 遍历至链表尾       */
          {
             printf(" %d ",ptr->vertex);  /* 印出顶点内容   */
             ptr = ptr->nextnode;         /* 下一个顶点     */
          }
          printf("\n");               /*   换行             */
       }
       printf("\nThe end of the dfs are:\n");
       dfs(1);                        /* 打印输出遍历过程   */
       printf("\n");                  /* 换行               */
       puts(" Press any key to quit...");
      // getch();
    }

代码来自http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/12/26/Depth-firstsearch.html

**（2）八皇后问题**

这是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。

八皇后问题一共有 92 个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话，则一共有12个独立解

基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2)  y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4)  col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8\*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8\*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

[![image][]][image 1]

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向  
  
量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList\[col\],col),如上图中的几个皇后可表示为：  
  
queenList\[0\] = 0;  queenList\[1\] = 3;   queenList\[2\] = 1;  queenList\[3\] = 4;   queenList = 2;

代码：

<span style="font-size:12px;">/* 
    * Copyright (c) leo 
    * All rights reserved. 
    * filename: nQueens
    * summary : 
    * version : 1.0 
    * author : leo 
    * date : 8.12.2011 
    *问题：
    *    在n*n (n=1 or n>=4 )的棋盘上放置n个皇后，如果在同一行，同一列，同一对角线上都不存在两个皇后，
    *    那么这个棋盘格局就是n皇后的一个解。
    *要求：
    *    找出n皇后的一组解即可，打印出放置满足n皇后条件的棋子位置
    */
    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<conio.h>
    #define N 8 //皇后数=棋盘行列数
    int a[N]; //a[i]为第i行皇后所在列
    void show() //图形化输出
    {
        int i;
        int p,q ;
        int b[N][N]={0};
        static t=1;
        printf("第%d个解为: ",t++);
        for(i=0;i<N;i++)
        {
            b[i][a[i]]=1;
            printf("(%d,%d) ",i,a[i]);
        }
        printf("\n");
        for(p=0;p<N;p++)
        {
            for(q=0;q<N;q++)
            {
                if(b[p][q]==1)
                    printf("●");
                else
                    printf("○");
            }
            printf("\n");
        }
    }
    int check(int n) //检查位置是否合法，满足条件返回1，否则返回0
    {
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            if(a[i]==a[n]||fabs(n-i)==fabs(a[i]-a[n])) //at the same column or diagonal (对角线)
                return 0;
        }
        return 1;
    }
    void put(int n) //主体部分，在第n行放置第n个皇后
    {
        int i;
        if(n==N)
            return ;
        for(i=0;i<N;i++)
        {
            a[n]=i;
            if(check(n)) //位置合法
            {
                if(n==N-1) //皇后全部放置完毕
                    show();
                else
                    put(n+1);
            }
        }
    }
    int main ()
    {
        put(0);
        return 0;
    }</span>

[Link 1]: http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741370.html
[image]: /images/20220823/173a1d3bc21946438a033ad389b505c8.png
[image 1]: http://images.cnblogs.com/cnblogs_com/jillzhang/WindowsLiveWriter/1f6f84a799e5_12199/image_2.png