矩阵翻硬币

ゝ一世哀愁。 2022-08-21 05:44 126阅读 0赞

问题描述
    　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
    
    　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
    
    　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
    
    　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
    
    　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
    
    　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
    
    　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
    输入格式
    　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
    输出格式
    　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
    样例输入
    2 3
    样例输出
    1
    数据规模和约定
    　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
    　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
    　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
    　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

当 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1， 每次第一行都要参与翻转，当 y 能整除 m 的时候，(1 , m)会翻转，(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数，1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3•••) 其约数个数为奇数，否则 其约数个数为偶数。 因为一般数约数都是成对出现，而一个数的平方数，有两个约数相等。
       所以，最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3•••) 最终状态为0，其他则为1。而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。
    
         再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n , m)翻转的次数为奇数时 它的最终状态为 0。而只有 奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的约数个数必须为奇数，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3•••) 且  m = j^2 (j = 1 ,2 ,3•••)。
         最后得出结论：
           对于n行m列矩阵，经过 Q 操作后 反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m)

假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。
            当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .
            当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .

import java.math.BigInteger;
    import java.util.Scanner;
    
    
    public class Main {
    	public static void main(String[] args) {
    		
    		Scanner sc = new Scanner(System.in);
    		String[] strs =  sc.nextLine().split(" ");
    		
    		BigInteger bn = new BigInteger(strs[0]);
    		BigInteger bm = new BigInteger(strs[1]);
    		System.out.println(sort(bn).multiply(sort(bm)));
    	}
    	public static BigInteger sort(BigInteger b){
    		int len = b.toString().length();
    		BigInteger big = new BigInteger("10");
    		BigInteger b10 = new BigInteger("10");
    		BigInteger b0 = new BigInteger("0");
    		int falg;
    		if(len%2==0)
    			len = len/2;
    		else
    			len = len/2+1;
    		big = big.pow(len-1);
    		for(int i=len;i>0;i--){
    			b0=b10.pow(i-1);
    			while(true){
    				falg = big.add(b0).pow(2).compareTo(b);
    				if(falg<0){
    					big = big.add(b0);
    					
    				}else if(falg==0){
    					big = big.add(b0);
    					return big;
    				}else if(falg>0){
    					break;
    				}
    			}
    		}
    		return big;
    	}
    }