级数的MATLAB实现

短命女 2022-08-13 18:38 165阅读 0赞

做一些简单的观察级数收敛性，求和，幂级数收敛域，求和，泰勒展开等等的MATLAB实现.

# 一.观察下列级数的收敛性，并求和 #

（1）![20141110114602945][]

（2）![20141110114727684][]

（3）![20141110114945136][]

（4）![20141110115150201][]

\---------------------------------------

第（1）个

![20141110114602945][]

代码如下：

clc;
    clear;
    for n=1:9000
        for k=1:n
            p1(k)=1/k;
        end
        s1(n)=sum(p1);
    end
    plot(s1)

绘图结果：  
![20141110115648848][]  
对级数求和,代码如下：

clc;
    clear;
    syms n;
    nu=1/n;
    symsum(nu,1,inf)

函数说明：

\--syms 变量名1 变量名2 ...

定义sym型变量名

\--symsum(u,n,a,b)

的功能是计算级数和。其中u是包含符号变量n的表达式，是待求和级数的通项。a为变量n的起始量，b为n的最终量， 当u的表达式中只含一个变量时，参数n可省略)

即![20141110120526582][]。

结果：

ans =  
Inf

表明级数发散，和为无穷大

\---------------------------------------

第（2）个

![20141110114727684][]

代码如下：

clc;
    clear;
    for n=1:90
        for k=1:n
            p1(k)=1/k^2;
        end
        s1(n)=sum(p1);
    end
    plot(s1)

结果：

![20141110121235099][]  
对级数求和，代码如下：

clc;
    clear;
    syms n;
    nu=1/n^2;
    symsum(nu,1,inf)

结果：

ans =  
pi^2/6

表明级数收敛  
\---------------------------------------

第（3）个

![20141110114945136][]

代码如下：

clc;
    clear;
    for n=1:100
        for k=1:n
            p1(k)=log(1+1/n^2);
        end
        s1(n)=sum(p1);
    end
    plot(s1)

结果：

![20141110121807302][]  
symsum函数无法求得其和，可用求部分和方法，定义函数：

function [s]=sump(m)
    % 求级数前m项的和s
    for n=1:m
        p1(n)=log(1+1/n^2);
    end
    s=sum(p1);
    end

键入

>> s1=sump(900);  
>> s2=sump(9000);  
>> s3=sump(90000);

结果：

s1 =  
1.3007

s2 =  
1.3017

s3 =  
1.3018

表明级数收敛，求和结果大约为1.3018

\---------------------------------------

第（4）个

![20141110115150201][]

绘图代码如下：

clc;
    clear;
    for n=1:30
        for k=1:n
            p1(k)=(2*n-1)/(2^n);
        end
        s1(n)=sum(p1);
    end
    plot(s1)

结果：

![20141110172640993][]

![Image 1][]  
求和代码：

clc;
    clear;
    syms n;
    nu=(2*n-1)/(2^n);
    symsum(nu,1,inf)

结果为：  
ans =  
3

表明级数收敛。

# 二.幂级数求收敛域，求和 #

（1）![Image 1][]![20141110173039861][]

（2）![Image 1][]![20141110173314609][]

\---------------------------------------

第（1）个

![20141110173039861][]

![Image 1][]

求和代码

clc;
    clear;
    syms n x;
    nu=x^2/(1+x^2)^n;
    symsum(nu,n,1,inf)

结果：

ans=  
x^2 + 1

\---------------------------------------

第（2）个

![20141110173314609][]

![Image 1][]

求和代码：

clc;
    clear;
    syms n x;
    nu=x^(2*n-1)/(2*n-1);
    symsum(nu,n,1,inf)

结果：

ans =  
piecewise(\[abs(x) < 1, atanh(x)\])

函数说明：

piecewise表示分段函数，收敛域为abs(x)<1,即(-1,1)，求和值为atanh(x)

atanh(x)为反超越正切函数，且atanh(x)=1/2\*log \[(1+x)/(1-x)\]

曲线图为：

![Image 1][]![20141110173442691][]

# 三.泰勒级数展开 #

泰勒级数展开命令是taylor,其调用格式为

r=taylor(f,n,x,a).

该命令的功能是将符号函数f展开成（x-a）的n-1阶泰勒多项式。其中x是待展开的符号变量，其缺省值为最接近x的字母。n的缺省值为n=6,a的缺省值为a=0。

将

![20141110173556198][]

![Image 1][]

展开为x和x-1的泰勒级数

计算关于x展开式的前8项

代码如下：

clc;
    clear;
    syms n x;
    nu=x/sqrt(1+x^2);
    taylor(nu,8)

结果：

ans =  
\- (5\*x^7)/16 + (3\*x^5)/8 - x^3/2 + x

即

![Image 1][]

![20141110172509171][]

计算关于x-1展开式的前5项

代码如下：

clc;
    clear;
    syms n x;
    nu=x/sqrt(1+x^2);
    taylor(nu,5,x,1)

结果：

ans =  
2^(1/2)/2 + (2^(1/2)\*(x - 1))/4 - (3\*2^(1/2)\*(x - 1)^2)/16 + (3\*2^(1/2)\*(x - 1)^3)/32 - (5\*2^(1/2)\*(x - 1)^4)/256

即

![Image 1][]  
![20141110172135529][]

[20141110114602945]: /images/20220810/09d599c4c51e4117acd5c901c980a426.png
[20141110114727684]: /images/20220810/0630ad2453924c08807d004f830adeb9.png
[20141110114945136]: /images/20220810/0474a83cdbb1404d9cdce6cfe72ed31e.png
[20141110115150201]: /images/20220810/dc756aff9df241aa8bd6b7d74ea834e5.png
[20141110115648848]: /images/20220810/13e24eedb1e2480d91c6e149f8fbbc83.png
[20141110120526582]: /images/20220810/4a4b71fd0d70433ca6cec7f66a516afd.png
[20141110121235099]: /images/20220810/82d61a4dba4b40bdadfc3a8040ce7a40.png
[20141110121807302]: /images/20220810/e64e1b2463ac4d168197796ca1ff4d48.png
[20141110172640993]: /images/20220810/6b09637202d7432a87b8f60a202945e0.png
[Image 1]: 
[20141110173039861]: /images/20220810/e658612fafd54e088f4fe654e83f8739.png
[20141110173314609]: /images/20220810/2f02888b69ed4db1964ec8eb97da33d0.png
[20141110173442691]: /images/20220810/0a5a5bec11d443fb85273c8ff3f5ede0.png
[20141110173556198]: /images/20220810/5f4fc6a25b4c4df5b1916b1733c3ac37.png
[20141110172509171]: /images/20220810/4cba960582b840069ad8903504ddff8a.png
[20141110172135529]: /images/20220810/b8a614d78d824d4ba17dc7bc11cc2b5a.png