hdoj 4971 A simple brute force problem. 【最大权闭合图 --> 最小割】

素颜马尾好姑娘i 2022-08-12 00:13 127阅读 0赞

题目：[hdoj 4971 A simple brute force problem. ][hdoj 4971 A simple brute force problem.]

题意：**给出 n 个任务和 m 项技术，完成某个任务需要其中几项技术，完成某个任务有奖金，学习某个技术需要钱，**技术之间有父子关系，某项技术可能需要先学习其他技术，**然后问你选择做那些任务获得收益最大？**

**分析：**

**一些相关定义：**

**闭合图：图中所有顶点的出边所指向的 *所有顶点全部* 在该图中，称为闭合图。（即图中点的后继点都在图中，这个网上定义比较少）**

**最大权闭合图：点权和最大的闭合图，即每个顶点都有一个权值，有可能为负值，求闭合图的一个子闭合图使其权值最大。**

**网上比较经典的一个问题是：太空飞行计划问题，大家可以自行问度娘，其实意思就跟上面的题意黑体字一样。**

**最大权闭合图解法：网络流**

**设置一个超级源点 S 连接所有正权值点**

**流量为正权值，所有负权值连接超级汇点 T ，**

**容量为负权值绝对值，然后在正权值和负权值之间有边的则建边，容量为无穷大，，**

**然后最大闭合权 = 正权值和 - 最小割（最大流）**

**看了上面的定义是不是感觉很简单了，看题意的黑体字部分，就是一个标准的闭合权问题，这个题目的关键忽悠点在于技术之间的关系，导致很多人想到了dp以及树形dp。**

**其实就是一个闭合权问题模板，官方题解说如果技术之间存在相互的关系需要缩点，其实不用缩点也可以过，就是在有关系的点之间在建边容量为无穷大。**

**AC代码：46ms**

#include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <vector>
    #include <queue>
    #include <cstring>
    const int N = 200;
    using namespace std;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    #define Del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
    struct Node
    {
        int from,to,cap,flow;
    };
    vector <int> v[N];
    vector<Node> e;
    int vis[N],cur[N];
    void add_Node(int from,int to,int cap)
    {
        e.push_back((Node){from,to,cap,0});
        e.push_back((Node){to,from,0,0});
        int tmp=e.size();
        v[from].push_back(tmp-2);
        v[to].push_back(tmp-1);
    }
    bool bfs(int s,int t)
    {
        Del(vis,-1);
        queue<int> q;
        q.push(s);
        vis[s] = 0;
        while(!q.empty())
        {
            int x=q.front();
            q.pop();
            for(int i=0;i<v[x].size();i++)
            {
                Node tmp = e[v[x][i]];
                if(vis[tmp.to]<0 && tmp.cap>tmp.flow)  //第二个条件保证
                {
                    vis[tmp.to]=vis[x]+1;
                    q.push(tmp.to);
                }
            }
        }
        if(vis[t]>0)
            return true;
        return false;
    }
    int dfs(int o,int f,int t)
    {
        if(o==t || f==0)  //优化
            return f;
        int a = 0,ans=0;
        for(int &i=cur[o];i<v[o].size();i++) //注意前面 ’&‘,很重要的优化
        {
            Node &tmp = e[v[o][i]];
            if(vis[tmp.to]==(vis[o]+1) && (a = dfs(tmp.to,min(f,tmp.cap-tmp.flow),t))>0)
            {
                tmp.flow+=a;
                e[v[o][i]^1].flow-=a; //存图方式
                ans+=a;
                f-=a;
                if(f==0)  //注意优化
                    break;
            }
        }
        return ans;  //优化
    }
    
    int dinci(int s,int t)
    {
        int ans=0;
        while(bfs(s,t))
        {
            Del(cur,0);
            int tm=dfs(s,inf,t);
            ans+=tm;
        }
        return ans;
    } void v_clear(int n)
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
            v[i].clear();
        e.clear();
    }
    int main()
    {
        //freopen("Input.txt","r",stdin);
        int T;
        scanf("%d",&T);
        for(int cas=1;cas<=T;cas++)
        {
            int n,m,sum=0;
            scanf("%d%d",&n,&m);
            int s=0,t=n+m+1,x;
            for(int i=1;i<=n;i++)
                scanf("%d",&x),add_Node(s,i,x),sum+=x;
            for(int i=1;i<=m;i++)
                scanf("%d",&x),add_Node(n+i,t,x);
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                scanf("%d",&x);
                while(x--)
                {
                    int tmp;
                    scanf("%d",&tmp);
                    add_Node(i,n+tmp+1,inf);
                }
            }
            for(int i=1;i<=m;i++)
            {
                for(int j=1;j<=m;j++)
                {
                    scanf("%d",&x);
                    if(x)
                        add_Node(n+i,n+j,inf);
                }
            }
            printf("Case #%d: %d\n",cas,sum-dinci(s,t));
            v_clear(t);
        }
        return 0;
    }

[hdoj 4971 A simple brute force problem.]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4971