3D数学 ---- 矩阵的几何解释

￡神魔★判官ぃ 2022-08-10 11:00 219阅读 0赞

原文地址：[http://www.cppblog.com/lovedday/archive/2008/01/09/40813.html][http_www.cppblog.com_lovedday_archive_2008_01_09_40813.html]

一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。

**矩阵是怎样变换向量的**

向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量**v**都能写成“扩展”形式：

![o_vector_axis.jpg][]

另一种略有差别的形式为：

![o_vector_axis_another.jpg][]

注意右边的单位向量就是x，y，z轴，这里只是将概念数学化，向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。

让我们将上面的向量和重写一遍，这次分别将**p**、**q**、**r**定义为指向+x，+y和+z方向的单位向量，如下所示：

**v** = x**p** \+ y**q** \+ z**r**

现在，向量**v**就被表示成向量**p**，**q**，**r**的线性变换了，向量**p**，**q**，**r**称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意3个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关（也就是不在同一平面上）。以**p**、**q**、**r**为行构建一个3 x 3矩阵M，可得到如下矩阵：

![o_matrix_basic_vector.jpg][]

用一个向量乘以该矩阵，得到：

![o_vector_matrix_multiple.jpg][]

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，如果**aM**=**b**，我们就可以说，**M**将**a**转换到**b**。

从这点看，术语“转换”和“乘法”是等价的。

坦率地说，矩阵并不神秘，它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数学运算。进一步，用线性代数操作矩阵，是一种进行简单转换或导出更复杂转换的简便方法。

**矩阵的形式：**

基向量\[1, 0, 0\], \[0, 1, 0\], \[0, 0, 1\]乘以任意矩阵**M**：

![o_basic_vector_mul_matrix.jpg][]

用基向量\[1, 0, 0\]乘以**M**时，结果是**M**的第1行。其他两行也有同样的结果，这是一个关键的发现：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。

这个强有力的概念有两条重要性质：

1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。

2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换（如旋转、缩放等），能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。

首先来看看2D例子，一个2 x 2矩阵：

![o_matrix_m.jpg][]

这个矩阵代表的变换是什么？首先，从矩阵中抽出基向量**p**和**q**：

**p** = \[2 1\]

**q** = \[-1 2\]

图7.1以“原”基向量（x轴，y轴）为参考，在笛卡尔平面中展示了这些向量。

![o_2d_vector_visualizing.jpg][]、

如图7.1所示，x基向量变换至上面的**p**向量，y基向量变换至**q**向量。所以2D中想象矩阵的方法就是想象由行向量构成的“L”形状。这个例子中，能够很清楚的看到，**M**代表的部分变换是逆时针旋转26度。

当然，所有向量都被线性变换所影响，不只是基向量，从“L”形状能够得到变换最直观的印象，把基向量构成的整个2D平行四边形画完整有助于进一步看到变换对其他向量的影响，如图7.2所示：

![o_2d_para_row.jpg][]

平行四边形称作“偏转盒”，在盒子中画一个物体有助于理解，如图 7.3 所示：

![o_visualize_transform.jpg][]

很明显，矩阵**M**不仅旋转坐标系，还会拉伸它。

这种技术也能应用到3D转换中。2D中有两个基向量，构成"L"型；3D中有三个基向量，它们形成一个”三脚架“。首先，让我们展示出一个转换前的物品。图7.4展示了一个茶壶，一个立方体。基向量在”单位“向量处。

![o_teapot_before_trans.jpg][]

（为了不使图形混乱，没有标出z轴基向量\[0, 0, 1\]，它被茶壶和立方体挡住了。）

现在，考虑以下3D变换矩阵：

![o_3d_trans_matrix.jpg][]

从矩阵的行中抽出基向量，能想象出该矩阵所代表的变换。变换后的基向量、立方体、茶壶如图7.5所示：

![o_teapot_after_trans.jpg][]

这个变换包含z轴顺时针旋转45度和不规则缩放，使得茶壶比以前”高“。注意，变换并没有影响到z轴，因为矩阵的第三行是\[0, 0 , 1\]。

[http_www.cppblog.com_lovedday_archive_2008_01_09_40813.html]: http://www.cppblog.com/lovedday/archive/2008/01/09/40813.html
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