数值分析：Hermite多项式

布满荆棘的人生 2022-08-09 12:46 253阅读 0赞

http://[blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_49366047]

# Hermite埃尔米特多项式 #

在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

### 前4个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像 ###

![HermiteH][]

The Hermite polynomials ![H\_n(x)][H_n_x] are set of orthogonal polynomials over the domain![(-infty,infty)][-infty_infty] with weighting function![e^(-x^2)][e_-x_2], illustrated above for![n=1][n_1], 2, 3, and 4. Hermite polynomials are implemented in the Wolfram Language asHermiteH\[*n*,*x*\].

The Hermite polynomial ![H\_n(z)][H_n_z] can be defined by the contour integral

where the contour encloses the origin and is traversed in a counterclockwise direction (Arfken 1985, p. 416).

Hermite多项式，其正交域为(-∞, +∞)，其一维形式是

![Center][]

其中，H k(x)前面的乘式为正交归一化因子，为计算简便可省略。

### 前10个Hermite多项式 ###

H\_0(x)= 1  
H\_1(x)= 2x  
H\_2(x)= 4x^2-2  
H\_3(x)= 8x^3-12x  
H\_4(x)= 16x^4-48x^2+12  
H\_5(x)= 32x^5-160x^3+120x  
H\_6(x)= 64x^6-480x^4+720x^2-120  
H\_7(x)= 128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x  
H\_8(x)= 256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680  
H\_9(x)= 512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x  
H\_(10)(x)= 1024x^(10)-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240

The values ![H\_n(0)][H_n_0] may be called Hermite numbers.When ordered from smallest to largest powers, the triangle of nonzero coefficientsis 1; 2; -2, 4; -12, 8; 12, -48, 16; 120, -160, 32; ... (OEIS[A059343][]).

# Hermite多项式的性质 #

多项式*Hn* 是一个*n*次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2*n*。

### 正交性 ###

多项式*Hn* 的次数与序号*n* 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的**权函数***w*，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

![w(x) = \\mathrm\{e\}^\{-x^2/2\}\\,\\!][w_x_ _ _mathrm_e_-x_2_2]   （概率论）

![w(x) = \\mathrm\{e\}^\{-x^2\}\\,\\!][w_x_ _ _mathrm_e_-x_2]   （物理学）

也就是说，当*m* ≠ *n* 时：

![\\int\_\{-\\infty\}^\\infty H\_m(x) H\_n(x)\\, w(x) \\, \\mathrm\{d\}x = 0][int_-_infty_infty H_m_x_ H_n_x_ w_x_ _ _mathrm_d_x _ 0]

除此之外，还有：

![\\int\_\{-\\infty\}^\\infty H\_m^\\mathrm\{prob\}(x) H\_n^\\mathrm\{prob\}(x)\\, \\mathrm\{e\}^\{-x^2/2\} \\, \\mathrm\{d\}x = n! \\, \\sqrt\{2 \\pi\}\\delta\_\{mn\}][int_-_infty_infty H_m_mathrm_prob_x_ H_n_mathrm_prob_x_ _mathrm_e_-x_2_2_ _ _mathrm_d_x _ n_ _ _sqrt_2 _pi_delta_mn]   （概率论）

![\\int\_\{-\\infty\}^\\infty H\_m^\\mathrm\{phys\}(x) H\_n^\\mathrm\{phys\}(x)\\, \\mathrm\{e\}^\{-x^2\}\\, \\mathrm\{d\}x = n! \\, 2^n \\sqrt\{\\pi\}\\delta\_\{mn\}][int_-_infty_infty H_m_mathrm_phys_x_ H_n_mathrm_phys_x_ _mathrm_e_-x_2_ _mathrm_d_x _ n_ _ 2_n _sqrt_pi_delta_mn]   （物理学）

其中![\\delta\_\{mn\}][delta_mn]是[克罗内克函数][Link 1]。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

### 完备性 ###

在所有满足

![\\int\_\{-\\infty\}^\\infty\\left|f(x)\\right|^2\\, w(x) \\, \\mathrm\{d\}x <\\infty][int_-_infty_infty_left_f_x_right_2_ w_x_ _ _mathrm_d_x _infty]

的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：

![\\langle f,g\\rangle=\\int\_\{-\\infty\}^\\infty f(x)\\overline\{g(x)\}\\, w(x) \\, \\mathrm\{d\}x][langle f_g_rangle_int_-_infty_infty f_x_overline_g_x_ w_x_ _ _mathrm_d_x]

### 埃尔米特微分方程 ###

**概率论**中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

![(e^\{-x^2/2\}u')' + \\lambda e^\{-x^2/2\}u = 0][e_-x_2_2_u_ _ _lambda e_-x_2_2_u _ 0]

方程的的边界条件为：![u][]应在无穷远处有界。

其中![\\lambda][lambda]是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取![\\lambda][lambda]∈![\\mathbb\{N\}][mathbb_N]。对于一个特定的本征值![\\lambda][lambda]，对应着一个特定的本征函数解，即![H\_\\lambda^\{prob\}(x)][H_lambda_prob_x]。

而**物理学**中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

![u'' - 2xu'+2\\lambda u=0][u_ - 2xu_2_lambda u_0]

其本征值同样为![\\lambda][lambda]∈![\\mathbb\{N\}][mathbb_N]，对应的本征函数解为![H\_\\lambda^\{phys\}(x)][H_lambda_phys_x]。

以上两个微分方程都称为**埃尔米特方程**。

from: [http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_49366047]

ref:mathworld [ Hermite Polynomial][Hermite Polynomial]

wikipedia [ 埃尔米特多项式][Link 2]

[blog.csdn.net_pipisorry_article_details_49366047]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/49366047
[HermiteH]: http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/HermiteH_1000.gif
[H_n_x]: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HermitePolynomial/Inline1.gif
[-infty_infty]: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HermitePolynomial/Inline2.gif
[e_-x_2]: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HermitePolynomial/Inline3.gif
[n_1]: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HermitePolynomial/Inline4.gif
[H_n_z]: /images/20220731/1d363abb50ad4765bd363311e29c13b3.png
[Center]: /images/20220731/19f608d23ca94926b35fa2023ea96242.png
[H_n_0]: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HermitePolynomial/Inline39.gif
[A059343]: http://oeis.org/A059343
[w_x_ _ _mathrm_e_-x_2_2]: https://upload.wikimedia.org/math/7/a/4/7a4a6b58917fd0ddd805b402ab5cb4d0.png
[w_x_ _ _mathrm_e_-x_2]: https://upload.wikimedia.org/math/d/9/6/d960718ab96aa67e02fef7478526bd78.png
[int_-_infty_infty H_m_x_ H_n_x_ w_x_ _ _mathrm_d_x _ 0]: https://upload.wikimedia.org/math/b/6/3/b6394d86166f7fdaab82aa7add6248a9.png
[int_-_infty_infty H_m_mathrm_prob_x_ H_n_mathrm_prob_x_ _mathrm_e_-x_2_2_ _ _mathrm_d_x _ n_ _ _sqrt_2 _pi_delta_mn]: https://upload.wikimedia.org/math/4/b/e/4be3ab1486d8fc9dc3c0cebf39c8d22c.png
[int_-_infty_infty H_m_mathrm_phys_x_ H_n_mathrm_phys_x_ _mathrm_e_-x_2_ _mathrm_d_x _ n_ _ 2_n _sqrt_pi_delta_mn]: https://upload.wikimedia.org/math/4/6/4/464d184e6b40f8b8b8ba84a4716db053.png
[delta_mn]: https://upload.wikimedia.org/math/b/4/5/b4509bb89c8d57cc0e2969a740c94ba6.png
[Link 1]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E7%BD%97%E5%86%85%E5%85%8B%E5%87%BD%E6%95%B0
[int_-_infty_infty_left_f_x_right_2_ w_x_ _ _mathrm_d_x _infty]: https://upload.wikimedia.org/math/3/8/f/38f9d4f9378e1ff04b42cb412092856d.png
[langle f_g_rangle_int_-_infty_infty f_x_overline_g_x_ w_x_ _ _mathrm_d_x]: https://upload.wikimedia.org/math/d/6/0/d60e4e65c2123d1896e0db88dfb3b399.png
[e_-x_2_2_u_ _ _lambda e_-x_2_2_u _ 0]: https://upload.wikimedia.org/math/d/a/f/daf0957e505622dcf5732d3152d04bfb.png
[u]: https://upload.wikimedia.org/math/7/b/7/7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.png
[lambda]: https://upload.wikimedia.org/math/e/0/5/e05a30d96800384dd38b22851322a6b5.png
[mathbb_N]: https://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/624e4cf68723f677d53e8cf2272f348a.png
[H_lambda_prob_x]: https://upload.wikimedia.org/math/e/2/6/e2640902d46bf375be79d0c6784ba7f0.png
[u_ - 2xu_2_lambda u_0]: https://upload.wikimedia.org/math/f/9/8/f980f56a7cb5200ff38b2d54185a4622.png
[H_lambda_phys_x]: https://upload.wikimedia.org/math/6/3/8/638e9d099ddd08dc7bb2b74f615338fd.png
[Hermite Polynomial]: http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
[Link 2]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F