ZOJ 3904 Birthday Gift【NTT】

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2022-08-09 09:41 102阅读 0赞

首先，我们知道的是，num1\+num2=N，其中num1是Alice的盒子数，num2是Bob的盒子数。  
那么ans\[N\]=∑Alice(num1)×Bob(N−num1)，明显是FFT的卷积形式。

接下来分析Alice(num1)的部分，下面直接称num1=N。  
Alice(N)有两种情况。  
如果N是素数，那么就是将n1个糖果随机分在N个无区别的盒子里。此为第二类斯特林数。在固定了n1时，第二类斯特林数的NTT求法[见此][Link 1]。  
如果N是合数，那么就是从n1中挑N−1个放入一个盒子，剩下的每个盒子中装一个。方案数为CN−1n1，记住用逆元。

分析Bob(num2)的部分，下面直接称num2=N。  
Bob比较简单，首先先将N个箱子刷成M，且使得每个箱子颜色不同。方案就是CNM。  
剩下的n2个糖果要划分到N个不同的位置，就是使用的隔板法。方案就是CN−1n2−1。

最后用NTT再求一个答案就行了。  
注意上限的取值，比如Bob的盒子数N不能超过颜色数M。

// whn6325689
    // Mr.Phoebe
    // http://blog.csdn.net/u013007900
    #include <algorithm>
    #include <iostream>
    #include <iomanip>
    #include <cstring>
    #include <climits>
    #include <complex>
    #include <fstream>
    #include <cassert>
    #include <cstdio>
    #include <bitset>
    #include <vector>
    #include <deque>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <ctime>
    #include <set>
    #include <map>
    #include <cmath>
    #include <functional>
    #include <numeric>
    #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
    
    
    using namespace std;
    
    #define eps 1e-9
    #define PI acos(-1.0)
    #define INF 0x3f3f3f3f
    #define LLINF 1LL<<62
    #define speed std::ios::sync_with_stdio(false);
    
    typedef long long ll;
    typedef unsigned long long ull;
    typedef long double ld;
    typedef pair<ll, ll> pll;
    typedef complex<ld> point;
    typedef pair<int, int> pii;
    typedef pair<pii, int> piii;
    typedef vector<int> vi;
    
    #define CLR(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
    #define CPY(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
    #define clr(a,x,size) memset(a,x,sizeof(a[0])*(size))
    #define cpy(a,x,size) memcpy(a,x,sizeof(a[0])*(size))
    #define debug(a) cout << #a" = " << (a) << endl;
    #define debugarry(a, n) for (int i = 0; i < (n); i++) { cout << #a"[" << i << "] = " << (a)[i] << endl; }
    
    #define mp(x,y) make_pair(x,y)
    #define pb(x) push_back(x)
    #define lowbit(x) (x&(-x))
    
    #define MID(x,y) (x+((y-x)>>1))
    #define getidx(l,r) (l+r|l!=r)
    #define ls getidx(l,mid)
    #define rs getidx(mid+1,r)
    #define lson l,mid
    #define rson mid+1,r
    
    template<class T>
    inline bool read(T &n)
    {
        T x = 0, tmp = 1;
        char c = getchar();
        while((c < '0' || c > '9') && c != '-' && c != EOF) c = getchar();
        if(c == EOF) return false;
        if(c == '-') c = getchar(), tmp = -1;
        while(c >= '0' && c <= '9') x *= 10, x += (c - '0'),c = getchar();
        n = x*tmp;
        return true;
    }
    template <class T>
    inline void write(T n)
    {
        if(n < 0)
        {
            putchar('-');
            n = -n;
        }
        int len = 0,data[20];
        while(n)
        {
            data[len++] = n%10;
            n /= 10;
        }
        if(!len) data[len++] = 0;
        while(len--) putchar(data[len]+48);
    }
    //-----------------------------------
    
    const int maxn=50005;
    const int MOD=786433;
    
    ll n1, n2, m, q;
    bool p[maxn];
    ll A[maxn], B[maxn], C[maxn], f[maxn], g[maxn], ans[maxn], fac[maxn], inv[maxn];
    
    ll qpow(ll a,ll b,ll p)
    {
        ll base=a,res=1;
        while(b)
        {
            if(b&1) res=res*base%p;
            base=base*base%p;
            b>>=1;
        }
        return res;
    }
    
    namespace NTT
    {
    const int r=11,gl=20;
    ll p,rp[50],irp[50];
    void setMOD(ll _p=786433)
    {
        p=_p;
        for(int i=0; i<gl; i++) rp[i]=qpow(r,(p-1)/(1<<i),p);
    }
    void FFT(ll a[],int n,ll wt[]=rp)
    {
        for(int i=0,j=0; i<n; i++)
        {
            if(j>i) swap(a[i],a[j]);
            int k=n;
            while(j&(k>>=1)) j&=~k;
            j|=k;
        }
        for(int m=1,b=1; m<n; m<<=1,b++)
            for(int k=0,w=1; k<m; k++)
            {
                for(int i=k; i<n; i+=m<<1)
                {
                    int v=a[i+m]*w%p;
                    if((a[i+m]=a[i]-v)<0) a[i+m]+=p;
                    if((a[i]+=v)>=p) a[i]-=p;
                }
                w=w*wt[b]%p;
            }
    }
    void IFFT(ll a[], int n)
    {
        for(int i=0; i<gl; i++) irp[i]=qpow(rp[i],n-1,p);
        FFT(a,n,irp);
        ll inv=qpow(n,p-2,p);
        for(int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*inv%p;
    }
    void Mul(ll a[],ll b[],ll n,ll c[])
    {
        int len = 1;
        while (len < n) len <<= 1;
        len <<= 1;
        FFT(a,len);
        FFT(b,len);
        for(int i=0; i<len; i++) c[i]=a[i]*b[i]%p;
        IFFT(c,len);
    }
    }
    
    int main()
    {
        int T;
        memset(p, 1, sizeof(p));
        p[0] = p[1] = false;
        for (int i = 2; i <= maxn; i++)
        if (p[i])
        {
            int j = 2;
            while (i * j <= maxn)
            {
                p[i*j] = false;
                j++;
            }
        }
        fac[0] = inv[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= maxn; i++)
        {
            fac[i] = fac[i-1]*i%MOD;
            inv[i] = inv[i-1]*qpow(i, MOD-2, MOD)%MOD;
        }
        read(T);
        while(T--)
        {
            scanf("%lld%lld%lld%lld", &n1, &n2, &m, &q);
            memset(A, 0, sizeof(A));
            memset(B, 0, sizeof(B));
            A[0]=1;
            for(int i=1; i<=n1; i++)  A[i]=A[i-1]*i%MOD;
            for(int i=0; i<=n1; i++)  A[i]=B[i]=qpow(A[i],MOD-2,MOD);
            for(int i=1; i<=n1; i+=2) A[i]=A[i]*(MOD-1)%MOD;
            for(int i=0; i<=n1; i++)  B[i]=B[i]*qpow(i,n1,MOD)%MOD;
            NTT::setMOD();
            NTT::Mul(A,B,n1+1,C);
            memset(f, 0, sizeof(f));
            memset(g, 0, sizeof(g));
            for (int i = 1; i <= n1 && i <= m; i++)
            {
                if (p[i]) f[i] = C[i];
                else if (i == n1) f[i] = 1;
                else f[i] = fac[n1]*inv[i-1]%MOD*inv[n1-i+1]%MOD;
            }
            for (int i = 1; i <= n2 && i <= m; i++)
                g[i] = (fac[m]*inv[i]%MOD*inv[m-i]%MOD)*(fac[n2-1]*inv[i-1]%MOD*inv[n2-i]%MOD)%MOD;
            NTT::Mul(f,g,m+1,ans);
            for (int i = 1; i <= q; i++)
            {
                int x;
                scanf("%d", &x);
                printf("%lld\n", ans[x]);
            }
        }
        return 0;
    }

[Link 1]: http://blog.csdn.net/u013007900/article/details/48489083