【结构之法】二叉树中节点的最大距离

今天药忘吃喽~ 2022-08-09 06:59 167阅读 0赞

**前言：编程之美中的解法并不是最好的，所以这里给出大神的解法。**

## 问题： ##

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义”距离”为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。  
![这里写图片描述][20151016124417913]

## 思路 ##

计算一个二叉树的最大距离有两个情况:

情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。  
情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。  
只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。

![这里写图片描述][20151016124518988]

## 新的解法 ##

#include <iostream>
    using namespace std;
    
    struct NODE
    {
        NODE *pLeft;
        NODE *pRight;
    };
    
    struct RESULT
    {
        int nMaxDistance;
        int nMaxDepth;
    };
    
    RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
    {
        if (!root)
        {
            RESULT empty = { 0, -1 };   
            return empty;
        }
    
        RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
        RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
    
        RESULT result;
        result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
        result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
        return result;
    }

计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。
    
    为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。
    
    除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

## 测试 ##

void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
    {
        if (left != -1)
            nodes[parent].pLeft = &nodes[left]; 
    
        if (right != -1)
            nodes[parent].pRight = &nodes[right];
    }
    
    void main()
    {
        // P. 241 Graph 3-12
        NODE test1[9] = { 0 };
        Link(test1, 0, 1, 2);
        Link(test1, 1, 3, 4);
        Link(test1, 2, 5, 6);
        Link(test1, 3, 7, -1);
        Link(test1, 5, -1, 8);
        cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
    
        // P. 242 Graph 3-13 left
        NODE test2[4] = { 0 };
        Link(test2, 0, 1, 2);
        Link(test2, 1, 3, -1);
        cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
    
        // P. 242 Graph 3-13 right
        NODE test3[9] = { 0 };
        Link(test3, 0, -1, 1);
        Link(test3, 1, 2, 3);
        Link(test3, 2, 4, -1);
        Link(test3, 3, 5, 6);
        Link(test3, 4, 7, -1);
        Link(test3, 5, -1, 8);
        cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
    
        // P. 242 Graph 3-14
        // Same as Graph 3-2, not test
    
        // P. 243 Graph 3-15
        NODE test4[9] = { 0 };
        Link(test4, 0, 1, 2);
        Link(test4, 1, 3, 4);
        Link(test4, 3, 5, 6);
        Link(test4, 5, 7, -1);
        Link(test4, 6, -1, 8);
        cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
    }

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[20151016124518988]: /images/20220731/bf42170454224309a903a57b57bb5463.png