【他山之石】【最大公因数】最大公因数（gcd）的两种算法

傷城~ 2022-08-09 02:08 133阅读 0赞

本文转自：[http://www.cppblog.com/beautykingdom/archive/2009/05/31/86299.html][http_www.cppblog.com_beautykingdom_archive_2009_05_31_86299.html]

原文转自：[http://blog.chinaunix.net/u2/76292/showart\_1418158.html][http_blog.chinaunix.net_u2_76292_showart_1418158.html] 但源地址已无法打开

1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法

欧几里德算法   
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b   
假设d是a,b的一个公约数，则有   
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r   
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则   
d | b , d |r ，但是a = kb +r   
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

![None.gif][] int  Gcd( int  a,  int  b)  
![ExpandedBlockStart.gif][] \{  
![InBlock.gif][]    if(b == 0)  
![InBlock.gif][]        return a;  
![InBlock.gif][]    return Gcd(b, a % b);  
![ExpandedBlockEnd.gif][]\}

当然你也可以写成迭代形式：

![None.gif][] int  Gcd( int  a,  int  b)  
![ExpandedBlockStart.gif][] \{  
![InBlock.gif][]    while(b != 0)  
![ExpandedSubBlockStart.gif][]    \{  
![InBlock.gif][]        int r = b;  
![InBlock.gif][]        b = a % b;  
![InBlock.gif][]        a = r;  
![ExpandedSubBlockEnd.gif][]    \}  
![InBlock.gif][]    return a;  
![ExpandedBlockEnd.gif][]\}

本质上都是用的上面那个原理。  
  
补充:  扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p \* a+q  \* b = Gcd(a, b)  (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

![None.gif][] int  exGcd( int  a,  int  b,  int   & x,  int   & y)  
![ExpandedBlockStart.gif][] \{  
![InBlock.gif][]    if(b == 0)  
![ExpandedSubBlockStart.gif][]    \{  
![InBlock.gif][]        x = 1;  
![InBlock.gif][]        y = 0;  
![InBlock.gif][]        return a;  
![ExpandedSubBlockEnd.gif][]    \}  
![InBlock.gif][]    int r = exGcd(b, a % b, x, y);  
![InBlock.gif][]    int t = x;  
![InBlock.gif][]    x = y;  
![InBlock.gif][]    y = t \- a / b \* y;  
![InBlock.gif][]  
![InBlock.gif][]    return r;  
![ExpandedBlockEnd.gif][]\}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。  
可以这样思考:  
对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')  
由于b' = a % b = a - a / b \* b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)  
那么可以得到:  
a'x + b'y = Gcd(a', b')  ===>  
bx + (a - a / b \* b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b)  ===>  
ay +b(x - a / b\*y) = Gcd(a, b)  
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b\*y)  
  
2. Stein算法   
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。   
  
考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够 抛弃除法和取模 。 （ 注： 说到抛弃除法和取模，其实辗转相除法可以写成减法的形式)  
  
Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。   
  
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：   
  
gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身   
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

如果A=0，B是最大公约数，算法结束   
如果B=0，A是最大公约数，算法结束   
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1   
如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn \*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)   
如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)  
如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)  
如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn   
n++，转4   
这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

给出一个C++的实现:

![None.gif][] int  Gcd( int  a,  int  b)  
![ExpandedBlockStart.gif][] \{  
![InBlock.gif][]    if(a == 0) return b;  
![InBlock.gif][]    if(b == 0) return a;  
![InBlock.gif][]    if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 \* gcd(a >> 1, b >> 1);  
![InBlock.gif][]    else if(a % 2 == 0)  return gcd(a >> 1, b);  
![InBlock.gif][]    else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);  
![InBlock.gif][]    else return gcd(abs(a \- b), Min(a, b));  
![ExpandedBlockEnd.gif][]\}

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此 对于大素数Stein将更有优势

最后作者补充了两道例题，已经无法打开第二道，第一道：

[HDOJ 2028 Lowest Common Multiple Plus][]   这个是求n个数的最小公倍数(有了最大公约数，最小公倍数应该很容易了）

最后再次感谢本文转载作者-博客园beautykingdom和原作者

[http_www.cppblog.com_beautykingdom_archive_2009_05_31_86299.html]: http://www.cppblog.com/beautykingdom/archive/2009/05/31/86299.html
[http_blog.chinaunix.net_u2_76292_showart_1418158.html]: http://blog.chinaunix.net/u2/76292/showart_1418158.html
[None.gif]: /images/20220731/207504ef7c46473db521f61040f1a91c.png
[ExpandedBlockStart.gif]: /images/20220731/76d97569515a4918ab66beea1f452c19.png
[InBlock.gif]: /images/20220731/458ea73eb4794f16a59c5dca713ab68b.png
[ExpandedBlockEnd.gif]: /images/20220731/4c3478b7c21141c9b69676c7a8778657.png
[ExpandedSubBlockStart.gif]: /images/20220731/ddd696230fa540beac705f63ac0f29ac.png
[ExpandedSubBlockEnd.gif]: /images/20220731/a202b7aa728a4c48811bcb86e4b90481.png
[HDOJ 2028 Lowest Common Multiple Plus]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2028