线性分组码

红太狼 2022-08-08 05:27 96阅读 0赞

**线性分组码的基本概念：**

线性分组码（n，k）中许用码字（组）为2k个。定义线性分组码的加法为模2和，乘法为二进制乘法。即1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0。且码字![image020.gif][]与码字![image022.gif][]的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。

线性分组码具有如下性质（n，k）的性质：

1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。

2、码的最小距离等于非零码的最小码重。

对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作（n，k）码，如果满足2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。

下面我们通过（7，4）分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。设分组码（n，k）中，k = 4，为能纠正一位误码，要求r≥3。现取r＝3，则n＝k＋r＝7。我们用a0ala2a3a4a5a6表示这7个码元，用S1、S2、S3表示由三个监督方程式计算得到的校正子，并假设三位S1、S2、S3校正子码组与误码位置的对应关系如表12.2所示。

表12.2 （7，4）码校正子与误码位置

<table style="width: 754px; height: 219px;"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td colspan="4"> 由表可知，当误码位置在a2、a4、a5、a6时，校正子S1＝1；否则S1＝0。因此有S1＝a6⊕a5⊕a4⊕a2，同理有S2＝a6⊕a5⊕a3⊕a1和S3＝a6⊕a4⊕a3⊕a0。在编码时a6、a5、a4、a3为信息码元，a2、a1、a0为监督码元。则监督码元可由以下监督方程唯一确定 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td colspan="4"><img src="http://www.bmrtech.com/svu-www/index4/index4-10/image12.1.gif" alt="" width="148" height="67"> 即 <img src="http://www.bmrtech.com/svu-www/index4/index4-10/image12.2.gif" alt="" width="121" height="67"> </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

由上面方程可得到表12.3所示的16个许用码组。在接收端收到每个码组后，计算出S1、S2、S3，如果不全为0，则表示存在错误，可以由表12.2确定错误位置并予以纠正。例如收到码组为0000011，可算出S1S2S3=011,由表12.2可知在a3上有一误码。通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为dmin＝3，它能纠正一个误码或检测两个误码。如果超出纠错能力则反而会因“乱纠”出现新的误码。

表12.3 （7，4）许用码组

上述方法构造的能纠正单个误码的线性分组码又称为汉明码。它具有以下一些特点：码长n＝2m－1，最小码距为d＝3，信息码长k＝2n－m－1，纠错能力t＝1，监督码长r＝n－k＝m。这里m为≥2的正整数。给定m后，就可构造出汉明码（n，k）。

**（7，4）汉明码的编译码仿真：**

![image027.gif][]

图12.1所示为（7，4）汉明码的编码器电路原理图，图12.2为对应的译码器电路原理图。根据上述两图可构建如图12.3所示的仿真原理图。该仿真原理图包含两个子系统，分别是（7，4）汉明码的编码器和译码器。仿真时的信号源采用了一个PROM，并由用户自定义数据内容，数据的输出由一个计数器来定时驱动，每隔一秒输出一个4位数据（PROM的8位仅用了其中4位），由编码器子系统编码转换后成为7位汉明码，经过并串转换后传输，其中的并串、串并转换电路使用了扩展通信库2中的时分复用合路器和分路器图符，该合路器和分路器最大为16位长度的时隙转换，这里定义为7位时隙。此时由于输入输出数据的系统数据率不同，因此必须在子系统的输入端重新设置系统采样率，将系统设置为多速率系统。因为原始4位数据的刷新率为1Hz，因此编码器的输入端可设置重采样率位10Hz，时分复用合路器和分路器的数据帧周期设为1秒，时隙数位7，则输出采样率为输入采样率的7倍，即70Hz。如果要加入噪声，则噪声信号源的采样率也应设为70Hz。图12.3是（7，4）汉明码编码器的仿真子系统原理图，图12.4是其对应的译码器的仿真子系统原理图。图12.5为经过并串转换后的(7,4)汉明码输出波形图，这里仅设置了4秒时间长度的仿真，输出的4个数据为0、1、3、4，对应的（7，4）汉明码码字为（0000000）、（0001011）、（0011110）、（0100110），注意串行传输的次序是先低后高的次序（LSB）。

当然，我们也可以不通过并串转换，直接并行传输、译码。这样可以在7位汉明码并行传输时人为对其中的一位进行干扰，并观察其纠错的情况。通过仿真实验可以发现，出现两位以上错误时汉明码就不能正确纠错了。因此，在要求对多位错误进行纠正的应用场合，就要使用别的编码方式了，如BCH码、RS码、卷积码等。

图12.6 输入为0、1、3、4的（7，4）汉明码输出波形图

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