源码、反码、补码详解

亦凉 2022-08-06 11:11 194阅读 0赞

本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!

## 一. 机器数和真值 ##

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

### 1、机器数 ###

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

### 2、真值 ###

> 因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

## 二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法. ##

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

### 1. 原码 ###

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

> \[+1\]原 = 0000 0001
> 
> \[-1\]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

> \[1111 1111 , 0111 1111\]

即

> \[-127 , 127\]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

### 2. 反码 ###

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

> \[+1\] = \[00000001\]原 = \[00000001\]反
> 
> \[-1\] = \[10000001\]原 = \[11111110\]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

### 3. 补码 ###

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

> \[+1\] = \[00000001\]原 = \[00000001\]反 = \[00000001\]补
> 
> \[-1\] = \[10000001\]原 = \[11111110\]反 = \[11111111\]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

## 三. 为何要使用原码, 反码和补码 ##

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

> \[+1\] = \[00000001\]原 = \[00000001\]反 = \[00000001\]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

> \[-1\] = \[10000001\]原 = \[11111110\]反 = \[11111111\]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

> 1 - 1 = 1 + (-1) = \[00000001\]原 \+ \[10000001\]原 = \[10000010\]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

> 1 - 1 = 1 + (-1) = \[0000 0001\]原 \+ \[1000 0001\]原= \[0000 0001\]反 \+ \[1111 1110\]反 = \[1111 1111\]反 = \[1000 0000\]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有\[0000 0000\]原和\[1000 0000\]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

> 1-1 = 1 + (-1) = \[0000 0001\]原 \+ \[1000 0001\]原 = \[0000 0001\]补 \+ \[1111 1111\]补 = \[0000 0000\]补=\[0000 0000\]原

这样0用\[0000 0000\]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用\[1000 0000\]表示-128:

> (-1) + (-127) = \[1000 0001\]原 \+ \[1111 1111\]原 = \[1111 1111\]补 \+ \[1000 0001\]补 = \[1000 0000\]补

\-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, \[1000 0000\]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示\[1000 0000\]补算出来的原码是\[0000 0000\]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为\[-127, +127\], 而使用补码表示的范围为\[-128, 127\].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: \[-231, 231\-1\] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.