Egg dropping puzzle

Love The Way You Lie 2022-08-04 05:17 160阅读 0赞

问题：

有一个100层高的楼，如果一个鸡蛋从n层掉下来或者n层以上，鸡蛋就会碎掉。已知，现在有两个鸡蛋，找到满足条件的n，使在最坏情况下，丢鸡蛋的次数最少。原题链接可以转到wiki：[点击打开链接][Link 1]

很明显，不管egg1怎么丢，egg2肯定得线性得丢。

我们假设egg1每次丢10层，即按10f, 20f, 30f, 40f, 50f, 60f, 70f, 80f, 90f, 100f。

则，如果egg1在10f碎了，我们就不得不用egg2从1f按线性试了，此时最坏的情况是n=9，则总共丢了10次。

如果egg1在100f碎了，我们就不得不用egg2从90f按线性试了，此时最坏的情况是n=99，则总共丢了19次。

但是题目的要求是在最坏情况下丢的鸡蛋次数最少。也就是我们需要在最坏和最好做一下load balance。从上面的举例我们可以发现，越靠后试的次数越多，这是我们对每次丢的层数做了一个等价划分，每次多的都是egg1丢的次数，此时我们只能减少egg2丢的次数，已达到丢的总次数是相同的，很显然，每当egg1多丢一次的时候，egg2就少丢一次。

比如，假设第一次从x层丢下，如果此时n=x-1，显然我们需要试1+(x-1) = x次。

我们现有要分析第二次从那一层丢下，因为egg1比第一次多丢了一次，所以egg2在最坏情况下应该少丢一次，则第二次丢的楼层数是x-1

以此递推则，x + (x-1) + (x-2) + ...+ 1 >= 100，解之得x = 14;

则此时的顺序为：

14f, 27f, 39f, 50f, 60f, 69f, 77f, 84f, 90f, 95f, 99f, 100f

可以显式的试一下，最坏情况是不会超过14的，或者基本都是14次。

把问题再次扩展，如果是n个鸡蛋，k层楼？wiki中有关于这个解答，用动态规划。[Wiki Egg Dropping Puzzle][Link 1]，其状态转移方程为：

W(n,k) = 1 + min\{max(W(n − 1, x − 1), W(n,k − x)): x = 1, 2, ..., k \} 并且初始化条件W(n,1)=1, W(1,k)=k

解释下这个状态转移方程，当我们在x层做实验的时候，我们有两种可能：

1）鸡蛋碎了，则我们就需要递归的处理：x-1 层，n-1个鸡蛋，也就是W(n-1, x-1)

2) 鸡蛋没碎，则我们局需要递归额处理：k-x 层，n个鸡蛋，也就是W(n, k-x)

因为题目要求是在最坏的情况下，所以求上面两个的max。但是要求最坏情况下的最小值，所以需要求x在1到k直接的最小值。

接下来，动态规划的代码就比较容易写了，如下是我自己写的一个：

public int eggDrop(int n, int m) {//n eggs, m floors.
    		int[][] dp = new int[n+1][m+1];
    		
    		for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
    			dp[i][1] = 1;
    		}
    		
    		for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) {
    			dp[1][i] = i;
    		}
    		
    		for (int i = 2; i < dp.length; i++) {
    			for (int j = 2; j < dp[i].length; j++) {
    				dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
    				for (int k = 1; k <= j; k++) {
    					int ret = 1 + Math.max(dp[i-1][k-1], dp[i][j-k]);
    					if (ret < dp[i][j]) {
    						dp[i][j] = ret;
    					}
    				}
    			}
    		}
    		return dp[n][m];
    	}

用计算机解法问题的好处就是我们可以试，我们可以把很多情况罗列出来，然后取最优解！

[Link 1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming#Egg_dropping_puzzle

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