九种排序算法

一时失言乱红尘 2022-07-28 09:51 143阅读 0赞

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排序的定义：  
输入：n个数：a1,a2,a3,…,an  
输出：n个数的排列:a1’,a2’,a3’,…,an’，使得a1’<=a2’<=a3’<=…<=an’。

In-place sort（不占用额外内存或占用常数的内存）：插入排序、选择排序、冒泡排序、堆排序、快速排序。  
Out-place sort：归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。

当需要对大量数据进行排序时，In-place sort就显示出优点，因为只需要占用常数的内存。  
设想一下，如果要对10000个数据排序，如果使用了Out-place sort，则假设需要用200G的额外空间，则一台老式电脑会吃不消，但是如果使用In-place sort，则不需要花费额外内存。

stable sort：插入排序、冒泡排序、归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。  
unstable sort：选择排序(5 8 5 2 9)、快速排序、堆排序。

为何排序的稳定性很重要？

在初学排序时会觉得稳定性有这么重要吗？两个一样的元素的顺序有这么重要吗？其实很重要。在基数排序中显得尤为突出，如下：

算法导论习题8.3-2说：如果对于不稳定的算法进行改进，使得那些不稳定的算法也稳定？  
其实很简单，只需要在每个输入元素加一个index，表示初始时的数组索引，当不稳定的算法排好序后，对于相同的元素对index排序即可。

基于比较的排序都是遵循“决策树模型”，而在决策树模型中，我们能证明给予比较的排序算法最坏情况下的运行时间为Ω(nlgn)，证明的思路是因为将n个序列构成的决策树的叶子节点个数至少有n!，因此高度至少为nlgn。

线性时间排序虽然能够理想情况下能在线性时间排序，但是每个排序都需要对输入数组做一些假设，比如计数排序需要输入数组数字范围为\[0,k\]等。

在排序算法的正确性证明中介绍了”循环不变式“，他类似于数学归纳法，”初始”对应”n=1”，”保持”对应”假设n=k成立，当n=k+1时”。

一、插入排序

特点：stable sort、In-place sort  
最优复杂度：当输入数组就是排好序的时候，复杂度为O(n)，而快速排序在这种情况下会产生O(n^2)的复杂度。  
最差复杂度：当输入数组为倒序时，复杂度为O(n^2)  
插入排序比较适合用于“少量元素的数组”。

其实插入排序的复杂度和逆序对的个数一样，当数组倒序时，逆序对的个数为n(n-1)/2，因此插入排序复杂度为O(n^2)。  
在算法导论2-4中有关于逆序对的介绍。

伪代码：

证明算法正确性：

循环不变式：在每次循环开始前，A\[1…i-1\]包含了原来的A\[1…i-1\]的元素，并且已排序。

初始：i=2，A\[1…1\]已排序，成立。  
保持：在迭代开始前，A\[1…i-1\]已排序，而循环体的目的是将A\[i\]插入A\[1…i-1\]中，使得A\[1…i\]排序，因此在下一轮迭代开 始前，i++，因此现在A\[1…i-1\]排好序了，因此保持循环不变式。  
终止：最后i=n+1，并且A\[1…n\]已排序，而A\[1…n\]就是整个数组，因此证毕。

而在算法导论2.3-6中还问是否能将伪代码第6-8行用二分法实现？

实际上是不能的。因为第6-8行并不是单纯的线性查找，而是还要移出一个空位让A\[i\]插入，因此就算二分查找用O(lgn)查到了插入的位置，但是还是要用O(n)的时间移出一个空位。

问：快速排序（不使用随机化）是否一定比插入排序快？

答：不一定，当输入数组已经排好序时，插入排序需要O(n)时间，而快速排序需要O(n^2)时间。

递归版插入排序

二、冒泡排序

特点：stable sort、In-place sort  
思想：通过两两交换，像水中的泡泡一样，小的先冒出来，大的后冒出来。  
最坏运行时间：O(n^2)  
最佳运行时间：O(n^2)（当然，也可以进行改进使得最佳运行时间为O(n)）

算法导论思考题2-2中介绍了冒泡排序。

伪代码：

证明算法正确性：

运用两次循环不变式，先证明第4-6行的内循环，再证明外循环。

内循环不变式：在每次循环开始前，A\[j\]是A\[j…n\]中最小的元素。

初始：j=n，因此A\[n\]是A\[n…n\]的最小元素。  
保持：当循环开始时，已知A\[j\]是A\[j…n\]的最小元素，将A\[j\]与A\[j-1\]比较，并将较小者放在j-1位置，因此能够说明A\[j-1\]是A\[j-1…n\]的最小元素，因此循环不变式保持。  
终止：j=i，已知A\[i\]是A\[i…n\]中最小的元素，证毕。

接下来证明外循环不变式：在每次循环之前，A\[1…i-1\]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序：A\[1\]<=A\[2\]<=…<=A\[i-1\]。

初始：i=1，因此A\[1..0\]=空，因此成立。  
保持：当循环开始时，已知A\[1…i-1\]是A中最小的i-1个元素，且A\[1\]<=A\[2\]<=…<=A\[i-1\]，根据内循环不变式，终止时A\[i\]是A\[i…n\]中最小的元素，因此A\[1…i\]包含了A中最小的i个元素，且A\[1\]<=A\[2\]<=…<=A\[i-1\]<=A\[i\]  
终止：i=n+1，已知A\[1…n\]是A中最小的n个元素，且A\[1\]<=A\[2\]<=…<=A\[n\]，得证。

在算法导论思考题2-2中又问了”冒泡排序和插入排序哪个更快“呢？

一般的人回答：“差不多吧，因为渐近时间都是O(n^2)”。  
但是事实上不是这样的，插入排序的速度直接是逆序对的个数，而冒泡排序中执行“交换“的次数是逆序对的个数，因此冒泡排序执行的时间至少是逆序对的个数，因此插入排序的执行时间至少比冒泡排序快。

递归版冒泡排序

改进版冒泡排序

最佳运行时间：O(n)  
最坏运行时间：O(n^2)

三、选择排序

特性：In-place sort，unstable sort。  
思想：每次找一个最小值。  
最好情况时间：O(n^2)。  
最坏情况时间：O(n^2)。

伪代码：

证明算法正确性：

循环不变式：A\[1…i-1\]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序。

初始：i=1，A\[1…0\]=空，因此成立。  
保持：在某次迭代开始之前，保持循环不变式，即A\[1…i-1\]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序，则进入循环体后，程序从 A\[i…n\]中找出最小值放在A\[i\]处，因此A\[1…i\]包含了A中最小的i个元素，且已排序，而i++，因此下一次循环之前，保持 循环不变式：A\[1..i-1\]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序。  
终止：i=n，已知A\[1…n-1\]包含了A中最小的i-1个元素，且已排序，因此A\[n\]中的元素是最大的，因此A\[1…n\]已排序，证毕。

算法导论2.2-2中问了”为什么伪代码中第3行只有循环n-1次而不是n次”？

在循环不变式证明中也提到了，如果A\[1…n-1\]已排序，且包含了A中最小的n-1个元素，则A\[n\]肯定是最大的，因此肯定是已排序的。

递归版选择排序

递归式：

T(n)=T(n-1)+O(n)  
=> T(n)=O(n^2)

四、归并排序

特点：stable sort、Out-place sort  
思想：运用分治法思想解决排序问题。  
最坏情况运行时间：O(nlgn)  
最佳运行时间：O(nlgn)

分治法介绍：分治法就是将原问题分解为多个独立的子问题，且这些子问题的形式和原问题相似，只是规模上减少了，求解完子问题后合并结果构成原问题的解。  
分治法通常有3步：Divide（分解子问题的步骤） 、 Conquer（递归解决子问题的步骤）、 Combine（子问题解求出来后合并成原问题解的步骤）。  
假设Divide需要f(n)时间，Conquer分解为b个子问题，且子问题大小为a，Combine需要g(n)时间，则递归式为：  
T(n)=bT(n/a)+f(n)+g(n)

算法导论思考题4-3（参数传递）能够很好的考察对于分治法的理解。

就如归并排序，Divide的步骤为m=(p+q)/2，因此为O(1)，Combine步骤为merge()函数，Conquer步骤为分解为2个子问题，子问题大小为n/2，因此：  
归并排序的递归式：T(n)=2T(n/2)+O(n)

而求解递归式的三种方法有：  
(1)替换法：主要用于验证递归式的复杂度。  
(2)递归树：能够大致估算递归式的复杂度，估算完后可以用替换法验证。  
(3)主定理：用于解一些常见的递归式。

伪代码：

证明算法正确性：

其实我们只要证明merge()函数的正确性即可。  
merge函数的主要步骤在第25~31行，可以看出是由一个循环构成。

循环不变式：每次循环之前，A\[p…k-1\]已排序，且L\[i\]和R\[j\]是L和R中剩下的元素中最小的两个元素。  
初始：k=p，A\[p…p-1\]为空，因此已排序，成立。  
保持：在第k次迭代之前，A\[p…k-1\]已经排序，而因为L\[i\]和R\[j\]是L和R中剩下的元素中最小的两个元素，因此只需要将L\[i\]和R\[j\]中最小的元素放到A\[k\]即可，在第k+1次迭代之前A\[p…k\]已排序，且L\[i\]和R\[j\]为剩下的最小的两个元素。  
终止：k=q+1，且A\[p…q\]已排序，这就是我们想要的，因此证毕。

归并排序的例子：

问：归并排序的缺点是什么？

答：他是Out-place sort，因此相比快排，需要很多额外的空间。

问：为什么归并排序比快速排序慢？

答：虽然渐近复杂度一样，但是归并排序的系数比快排大。

问：对于归并排序有什么改进？

答：就是在数组长度为k时，用插入排序，因为插入排序适合对小数组排序。在算法导论思考题2-1中介绍了。复杂度为O(nk+nlg(n/k)) ，当k=O(lgn)时，复杂度为O(nlgn)

五、快速排序

Tony Hoare爵士在1962年发明，被誉为“20世纪十大经典算法之一”。  
算法导论中讲解的快速排序的PARTITION是Lomuto提出的，是对Hoare的算法进行一些改变的，而算法导论7-1介绍了Hoare的快排。  
特性：unstable sort、In-place sort。  
最坏运行时间：当输入数组已排序时，时间为O(n^2)，当然可以通过随机化来改进（shuffle array 或者 randomized select pivot）,使得期望运行时间为O(nlgn)。  
最佳运行时间：O(nlgn)  
快速排序的思想也是分治法。  
当输入数组的所有元素都一样时，不管是快速排序还是随机化快速排序的复杂度都为O(n^2)，而在算法导论第三版的思考题7-2中通过改变Partition函数，从而改进复杂度为O(n)。

注意：只要partition的划分比例是常数的，则快排的效率就是O(nlgn)，比如当partition的划分比例为10000:1时（足够不平衡了），快排的效率还是O(nlgn)

“A killer adversary for quicksort”这篇文章很有趣的介绍了怎么样设计一个输入数组，使得quicksort运行时间为O(n^2)。

伪代码：

随机化partition的实现：

改进当所有元素相同时的效率的Partition实现：

证明算法正确性：

对partition函数证明循环不变式：A\[p…i\]的所有元素小于等于pivot，A\[i+1…j-1\]的所有元素大于pivot。  
初始：i=p-1,j=p，因此A\[p…p-1\]=空，A\[p…p-1\]=空，因此成立。  
保持：当循环开始前，已知A\[p…i\]的所有元素小于等于pivot，A\[i+1…j-1\]的所有元素大于pivot，在循环体中，  
\- 如果A\[j\]>pivot，那么不动，j++，此时A\[p…i\]的所有元素小于等于pivot，A\[i+1…j-1\]的所有元素大于pivot。  
\- 如果A\[j\]<=pivot，则i++，A\[i+1\]>pivot，将A\[i+1\]和A\[j\]交换后，A\[P…i\]保持所有元素小于等于pivot，而A\[i+1…j-1\]的所有元素大于pivot。  
终止：j=r，因此A\[p…i\]的所有元素小于等于pivot，A\[i+1…r-1\]的所有元素大于pivot。

六、堆排序

1964年Williams提出。

特性：unstable sort、In-place sort。  
最优时间：O(nlgn)  
最差时间：O(nlgn)  
此篇文章介绍了堆排序的最优时间和最差时间的证明：[http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/8193625][http_blog.csdn.net_xiazdong_article_details_8193625]  
思想：运用了最小堆、最大堆这个数据结构，而堆还能用于构建优先队列。

优先队列应用于进程间调度、任务调度等。  
堆数据结构应用于Dijkstra、Prim算法。

证明算法正确性：

（1）证明build\_max\_heap的正确性：  
循环不变式：每次循环开始前，A\[i+1\]、A\[i+2\]、…、A\[n\]分别为最大堆的根。

初始：i=floor(n/2)，则A\[i+1\]、…、A\[n\]都是叶子，因此成立。  
保持：每次迭代开始前，已知A\[i+1\]、A\[i+2\]、…、A\[n\]分别为最大堆的根，在循环体中，因为A\[i\]的孩子的子树都是最大堆，因此执行完MAX\_HEAPIFY(A,i)后，A\[i\]也是最大堆的根，因此保持循环不变式。  
终止：i=0，已知A\[1\]、…、A\[n\]都是最大堆的根，得到了A\[1\]是最大堆的根，因此证毕。

（2）证明heapsort的正确性：  
循环不变式：每次迭代前，A\[i+1\]、…、A\[n\]包含了A中最大的n-i个元素，且A\[i+1\]<=A\[i+2\]<=…<=A\[n\]，且A\[1\]是堆中最大的。

初始：i=n，A\[n+1\]…A\[n\]为空，成立。  
保持：每次迭代开始前，A\[i+1\]、…、A\[n\]包含了A中最大的n-i个元素，且A\[i+1\]<=A\[i+2\]<=…<=A\[n\]，循环体内将A\[1\]与A\[i\]交换，因为A\[1\]是堆中最大的，因此A\[i\]、…、A\[n\]包含了A中最大的n-i+1个元素且A\[i\]<=A\[i+1\]<=A\[i+2\]<=…<=A\[n\]，因此保持循环不变式。  
终止：i=1，已知A\[2\]、…、A\[n\]包含了A中最大的n-1个元素，且A\[2\]<=A\[3\]<=…<=A\[n\]，因此A\[1\]<=A\[2\]<=A\[3\]<=…<=A\[n\]，证毕。

七、计数排序

特性：stable sort、out-place sort。  
最坏情况运行时间：O(n+k)  
最好情况运行时间：O(n+k)

当k=O(n)时，计数排序时间为O(n)

伪代码：

八、基数排序

本文假定每位的排序是计数排序。  
特性：stable sort、Out-place sort。  
最坏情况运行时间：O((n+k)d)  
最好情况运行时间：O((n+k)d)

当d为常数、k=O(n)时，效率为O(n)  
我们也不一定要一位一位排序，我们可以多位多位排序，比如一共10位，我们可以先对低5位排序，再对高5位排序。  
引理：假设n个b位数，将b位数分为多个单元，且每个单元为r位，那么基数排序的效率为O\[(b/r)(n+2^r)\]。  
当b=O(nlgn)，r=lgn时，基数排序效率O(n)

比如算法导论习题8.3-4：说明如何在O(n)时间内，对0~n^2-1之间的n个整数排序？  
答案：将这些数化为2进制，位数为lg(n^2)=2lgn=O(lgn)，因此利用引理，b=O(lgn)，而我们设r=lgn，则基数排序可以在O(n)内排序。

基数排序的例子：

证明算法正确性：

通过循环不变式可证，证明略。

九、桶排序

假设输入数组的元素都在\[0,1)之间。  
特性：out-place sort、stable sort。  
最坏情况运行时间：当分布不均匀时，全部元素都分到一个桶中，则O(n^2)，当然\[算法导论8.4-2\]也可以将插入排序换成堆排序、快速排序等，这样最坏情况就是O(nlgn)。  
最好情况运行时间：O(n)

桶排序的例子：

伪代码：

证明算法正确性：

对于任意A\[i\]<=A\[j\]，且A\[i\]落在B\[a\]，A\[j\]落在B\[b\]，我们可以看出a<=b，因此得证。

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