（ACM数论）求乘法逆元的各种姿势~

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-07-17 03:24 198阅读 0赞

首先，通过下面的式子来看看什么是乘法逆元~

x \* n % P = 1，其中x和P为已知且互素，n未知（比如在 2 \* n % 7 = 1 这个式子里，n就是乘法逆元）

弄懂什么是乘法逆元，来看看有什么姿势可以把它求出来吧~

**姿势1.暴力（此姿势不要求P为素数）**

没有什么问题是一个暴力解决不了的，如果有，那就两个（手动滑稽）

代码如下：

int n;
    for(int i = 1 ;i <= P ;i++)
    {
        if(x * i % P == 1)
        {
            n = i;
            break;
        }
    }

**虽然暴力简单粗暴，但是它的时间复杂度为O(P)，只能在P较小的情况使用，局限性有点大。**

**姿势2.快速幂（此姿势要求P为素数）**

这个姿势是由费马巨巨的费马小定理（x^(P-1) ≡ 1 mod P）得来的：

x^(P-1) ≡ 1 mod P 即 x^(P-1) % P = 1
    
    已知 x * n % P = 1
    
    所以有 x * n % P = x^(P-1) % P 即 n % P = x^(P-2) % P

**到这里可以看出，逆元有无数个：n,n+P,n+2\*P,…**

一般情况下我们只要求那个最小的正整数，这样问题就转化为求 x^(P-2) % P

代码就不贴了，在网上找个有求模快速幂的模版，把x，P-2，P代进去就可以了

**这个姿势的时间复杂度为O(log P)，是个不错的姿势（手动滑稽）**

**姿势3.扩展欧几里德算法（此姿势不要求P为素数）**

首先，我们将式子变形一下~

x \* n % P = 1 等价于 n \* x + k \* P = 1，其中k为整数

因为 x 和 P 互素，所以 gcd (x ,P) = 1（最大公约数为1）

所以有 n \* x + k \* P = gcd (x ,P)

这样问题就转化为，求二元一次方程 n \* x + k \* P = gcd (x ,P) 的解

代码同样不贴了， 在网上找个扩展欧几里德的模版，把 x , P 代进去。

**不过要注意，算出来的n有可能是负数，也有可能不是最小的。若需要得到最小的正整数，加上如下代码即可：**

n = n % P;//处理不是最小的情况
    while(n < 0)//处理负数的情况
    {
        n =( n + P ) % P;
    }

**到这里可以得出结论：逆元的集合为｛…，n - 2 \* P，n - P，n , n + P，n + 2 \* P，… ｝**

**这个姿势的时间复杂度为O(log P)，是个不错的姿势（手动滑稽）**

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