树链剖分详解及模板

向右看齐 2022-07-17 02:13 155阅读 0赞

这几天学习了一下树链剖分，顺便写一下我的理解、  
早上看了一下别人的讲解，云里雾里，终于算是搞懂了、

树链剖分是解决在树上进行插点问线，插线问点等一系列树上的问题  
假如现在给你一棵树，然后没两条边之间有一条权值，有一些操作，1：x—y之间的最大权值是多少，2：改变x—y之间的权值  
当前这样的操作有很多，如果直接用暴力的方法的话肯定不行，那么就要想一个好的方法，我们可以想一下能不能借助线段树解决，能不能想一种方法对树上的边进行编号，然后就变成区间了。那么我们就可以在线段树上进行操作了，树链剖分就是这样的一个算法。

当然编号不是简单的随便编号，如果我们进行随便的编号，然后建立一个线段树，如果要更新一个边的权值，是log2（n）的复杂度，而查找的话，我们要枚举x–y的之间的所有的边，假如我们随便以一个点为根节点进行编号，最大的长度是树的直径，这个值本身是比较大的，而在线段树上查找任意一个区间的复杂度也是log2（n），这样查找一次的时间复杂度比直接暴力还要高，所以很明显是不行的。  
那么就要想想办法了，我们能不能把x–y之间的一些边一块儿查找，这就是关于树链剖分的重边和轻边，

重边：某个节点x到孩子节点形成的子树中节点数最多的点child之间的边，由定义发现除了叶子节点其他节点只有一条重边  
重边是可以放在一块儿更新的，而有

性质：从根到某一点的路径上轻边、重边的个数都不大于logn。  
所以这样查找的时间复杂度相当于log2（n）

其实树链剖分就是把边哈希到线段树上的数据结构。  
实现的话很简单，用两个dfs处理数数的信息，重边以及轻边，然后就是一些线段树的操作了。

模板“：以spoj 375 为例

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <vector>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    #define Del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
    const int N = 10005;
    
    int dep[N],siz[N],fa[N],id[N],son[N],val[N],top[N]; //top 最近的重链父节点
    int num;
    vector<int> v[N];
    struct tree
    {
        int x,y,val;
        void read(){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
        }
    };
    tree e[N];
    void dfs1(int u, int f, int d) {
        dep[u] = d;
        siz[u] = 1;
        son[u] = 0;
        fa[u] = f;
        for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {
            int ff = v[u][i];
            if (ff == f) continue;
            dfs1(ff, u, d + 1);
            siz[u] += siz[ff];
            if (siz[son[u]] < siz[ff])
                son[u] = ff;
        }
    }
    void dfs2(int u, int tp) {
        top[u] = tp;
        id[u] = ++num;
        if (son[u]) dfs2(son[u], tp);
        for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {
            int ff = v[u][i];
            if (ff == fa[u] || ff == son[u]) continue;
            dfs2(ff, ff);
        }
    }
    #define lson(x) ((x<<1))
    #define rson(x) ((x<<1)+1)
    struct Tree
    {
        int l,r,val;
    };
    Tree tree[4*N];
    void pushup(int x) {
        tree[x].val = max(tree[lson(x)].val, tree[rson(x)].val);
    }
    
    void build(int l,int r,int v)
    {
        tree[v].l=l;
        tree[v].r=r;
        if(l==r)
        {
            tree[v].val = val[l];
            return ;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(l,mid,v*2);
        build(mid+1,r,v*2+1);
        pushup(v);
    }
    void update(int o,int v,int val)  //log(n)
    {
        if(tree[o].l==tree[o].r)
        {
            tree[o].val = val;
            return ;
        }
        int mid = (tree[o].l+tree[o].r)/2;
        if(v<=mid)
            update(o*2,v,val);
        else
            update(o*2+1,v,val);
        pushup(o);
    }
    int query(int x,int l, int r)
    {
        if (tree[x].l >= l && tree[x].r <= r) {
            return tree[x].val;
        }
        int mid = (tree[x].l + tree[x].r) / 2;
        int ans = 0;
        if (l <= mid) ans = max(ans, query(lson(x),l,r));
        if (r > mid) ans = max(ans, query(rson(x),l,r));
        return ans;
    }
    
    int Yougth(int u, int v) {
        int tp1 = top[u], tp2 = top[v];
        int ans = 0;
        while (tp1 != tp2) {
            //printf("YES\n");
            if (dep[tp1] < dep[tp2]) {
                swap(tp1, tp2);
                swap(u, v);
            }
            ans = max(query(1,id[tp1], id[u]), ans);
            u = fa[tp1];
            tp1 = top[u];
        }
        if (u == v) return ans;
        if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
        ans = max(query(1,id[son[u]], id[v]), ans);
        return ans;
    }
    void Clear(int n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            v[i].clear();
    }
    int main()
    {
        //freopen("Input.txt","r",stdin);
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            int n;
            scanf("%d",&n);
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                e[i].read();
                v[e[i].x].push_back(e[i].y);
                v[e[i].y].push_back(e[i].x);
            }
            num = 0;
            dfs1(1,0,1);
            dfs2(1,1);
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                if (dep[e[i].x] < dep[e[i].y]) swap(e[i].x, e[i].y);
                val[id[e[i].x]] = e[i].val;
            }
            build(1,num,1);
            char s[200];
            while(~scanf("%s",&s) && s[0]!='D')
            {
                int x,y;
                scanf("%d%d",&x,&y);
                if(s[0]=='Q')
                    printf("%d\n",Yougth(x,y));
                if (s[0] == 'C')
                    update(1,id[e[x].x],y);
            }
            Clear(n);
        }
        return 0;
    }