Java 01背包问题

╰半橙微兮° 2022-07-15 08:37 145阅读 0赞

Java实现01背包问题

## 动态规划基本思想： ##

把一个问题分解为子问题递归求解，且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解，且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列，下一步总是依赖上一步的结果，自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构，寻找子问题，对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解（若有k个变量，一般用K维的数组存储各个状态下的解，并可根 据这个数组记录打印求解过程。）。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础，如果题目只要求最优解的值，则步骤5可以省略。

## 背包问题 ##

01背包: 有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w\[i\]，价值是p\[i\]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包: 有N种物品和一个重量为M的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w\[i\]，价值是p\[i\]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

多重背包: 有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n\[i\]件可用，每件重量是w\[i\]，价值是p\[i\]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

01背包问题：

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即c\[i\]\[v\]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

c\[i\]\[m\]=max\{c\[i-1\]\[m\],c\[i-1\]\[m-w\[i\]\]+p\[i\]\}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c\[i-1\]\[m\]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w\[i\]的背包中”，此时能获得的最大价值就是c\[i-1\]\[m-w\[i\]\]再加上通过放入第i件物品获得的价值p\[i\]。

测试数据：  
10,3  
3,4  
4,5  
5,6

c\[i\]\[j\]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

## 实现 ##

public class Pack01 {  
      
        public int [][] pack(int m,int n,int w[],int p[]){  
            //c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值  
            int c[][]= new int[n+1][m+1];  
            for(int i = 0;i<n+1;i++)  
                c[i][0]=0;  
            for(int j = 0;j<m+1;j++)  
                c[0][j]=0;  
            //  
            for(int i = 1;i<n+1;i++){  
                for(int j = 1;j<m+1;j++){  
                    //当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：  
                    //(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值  
                    //(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值  
                    if(w[i-1]<=j){  
                        if(c[i-1][j]<(c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]))  
                            c[i][j] = c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1];  
                        else  
                            c[i][j] = c[i-1][j];  
                    }else  
                        c[i][j] = c[i-1][j];  
                }  
            }  
            return c;  
        }  
        /**  
         * 逆推法求出最优解  
         * @param c  
         * @param w  
         * @param m  
         * @param n  
         * @return  
         */  
        public int[] printPack(int c[][],int w[],int m,int n){  
              
            int x[] = new int[n];  
            //从最后一个状态记录c[n][m]开始逆推  
            for(int i = n;i>0;i--){  
                //如果c[i][m]大于c[i-1][m]，说明c[i][m]这个最优值中包含了w[i-1](注意这里是i-1，因为c数组长度是n+1)  
                if(c[i][m]>c[i-1][m]){  
                    x[i-1] = 1;  
                    m-=w[i-1];  
                }  
            }  
            for(int j = 0;j<n;j++)  
                System.out.println(x[j]);  
            return x;  
        }  
        public static void main(String args[]){  
            int m = 10;  
            int n = 3;  
            int w[]={3,4,5};  
            int p[]={4,5,6};  
            Pack01 pack = new Pack01();  
            int c[][] = pack.pack(m, n, w, p);  
            pack.printPack(c, w, m,n);  
        }  
    }