关于寻找素因数的三种方法

古城微笑少年丶 2022-07-14 15:53 175阅读 0赞

质因数（ 素因数或 质因子）在数论里是指能整除给定正 [整数][Link 1]的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为 [互质][Link 2]。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的 [因数分解][Link 3]可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以 [指数][Link 4]表示。根据 [算术基本定理][Link 5]，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。

每个 [合数][Link 6]都可以写成几个质数（也可称为 [素数][Link 7]）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的 [因数][Link 8]，那么就说这个质数是这个数的 [质因数][Link 9]。而这个因数一定是一个质数。

——摘自百度百科。

值得一提的是质数的素因数是本身，非质数都可表示为几个质数的乘积。

我们为了求解任一整数n的素因数，便可设计一个算法来求解。容易想到的第一个方法便是利用递归的方法进行求解，我们可以定义一个整数i，用i对2到根号n之间的数进行取模，判断是否为零，若为零，则此时的i为一个素因数，之后将n/i作为函数的变量进行递归调用，如此，直到循环完毕。代码如下：

\#include<iostream>

#include<cmath>
    using namespace std;
    void suyinshu(int n);
    int main()
    {
    	int n;
    	cout<<"please input a number:";
    	cin>>n;
    	suyinshu(n);
    	return 0;
    }
    void suyinshu(int n)
    {
    	int i;
    	for(i=2;i<=sqrt(double(n));i++)
    	{
    		if(n%i==0)
    		{
    			cout<<i<<",";
    			suyinshu(n/i);
    			return ;
    		}
    	}
    	if(n>1)
    	cout<<n;
    }

这是用到了递归的思想，如果我们不打算用递归，而仅仅用循环结构来解决，也是有方法的。代码如下：

#include<iostream>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    void suyinshu(int n);
    int main()
    {
    	int n;
    	cout<<"please input a number:";
    	cin>>n;
    	suyinshu(n);
    	return 0;
    }
    void suyinshu(int n)
    {
    	int i;
    	for(i=2;i<=sqrt(double(n));i++)
    	{
    		if(n%i==0)
    		{
    			cout<<i<<",";
    			n=n/i;
    			i=1;
    		}
    	}
    	if(n>1)
    		cout<<n;
    }

我们可以发现，该方法是用if判断模是否为零，同时令i=1，便是从头再次进行for循环，这样不免过于繁琐，算法复杂度有些大了。我们便可以对该算法进行改进，改进如下：

#include<iostream>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    void suyinshu(int n);
    int main()
    {
    	int n;
    	cout<<"please input a number:";
    	cin>>n;
    	suyinshu(n);
    	return 0;
    }
    void suyinshu(int n)
    {
    	int i;
    	for(i=2;i<=sqrt(double(n));i++)
    	{
    		while(n%i==0)
    		{
    			cout<<i<<",";
    			n=n/i;
    		}
    	}
    	
    	if(n>1)
    	cout<<n;
    }

可以发现该算法用while代替了if，使得for循环仅仅执行一次便可解决问题，时间复杂度即为o（n），大大加快了运算速度。

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/71484.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/731400.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/321529.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/194477.htm
[Link 5]: http://baike.baidu.com/view/651164.htm
[Link 6]: http://baike.baidu.com/view/1301.htm
[Link 7]: http://baike.baidu.com/view/1767.htm
[Link 8]: http://baike.baidu.com/view/532121.htm
[Link 9]: http://baike.baidu.com/view/341369.htm