高斯模糊的算法

分手后的思念是犯贱 2022-07-14 11:39 201阅读 0赞

作者：阮一峰 日期：2012年11月14

通常，图像处理软件会提供"模糊"（blur）滤镜，使图片产生模糊的效果。

![bg2012111401.jpg][]

"模糊"的算法有很多种，其中有一种叫做["高斯模糊"][Link 1]（Gaussian Blur）。它将[正态分布][Link 2]（又名"高斯分布"）用于图像处理。

![bg2012111402.png][]

本文介绍"高斯模糊"的算法，你会看到这是一个非常简单易懂的算法。本质上，它是一种[数据平滑技术][Link 3]（data smoothing），适用于多个场合，图像处理恰好提供了一个直观的应用实例。

一、高斯模糊的原理

所谓"模糊"，可以理解成每一个像素都取周边像素的平均值。

![bg2012111403.png][]

上图中，2是中间点，周边点都是1。

![bg2012111404.png][]

"中间点"取"周围点"的平均值，就会变成1。在数值上，这是一种"平滑化"。在图形上，就相当于产生"模糊"效果，"中间点"失去细节。

![bg2012111405.jpg][]

显然，计算平均值时，取值范围越大，"模糊效果"越强烈。

![bg2012111406.jpg][]

上面分别是原图、模糊半径3像素、模糊半径10像素的效果。模糊半径越大，图像就越模糊。从数值角度看，就是数值越平滑。

接下来的问题就是，既然每个点都要取周边像素的平均值，那么应该如何分配权重呢？

如果使用简单平均，显然不是很合理，因为图像都是连续的，越靠近的点关系越密切，越远离的点关系越疏远。因此，加权平均更合理，距离越近的点权重越大，距离越远的点权重越小。

二、正态分布的权重

正态分布显然是一种可取的权重分配模式。

![bg2012111407.png][]

在图形上，正态分布是一种钟形曲线，越接近中心，取值越大，越远离中心，取值越小。

计算平均值的时候，我们只需要将"中心点"作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权平均值。

三、高斯函数

上面的正态分布是一维的，图像都是二维的，所以我们需要二维的正态分布。

![bg2012110708.png][]

正态分布的密度函数叫做["高斯函数"][Link 4]（Gaussian function）。它的一维形式是：

![chart_cht_tx_chl_f_28x_29_3D_5Cfrac_7B1_7D_7B_5Csigma_5Csqrt_7B2_5Cpi_20_7D_20_7D_7De_5E_7B-_28x-_5Cmu_20_29_5E_7B2_7D_2F2_5Csigma_5E_7B2_7D_7D_chs_120][]

其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因为计算平均值的时候，中心点就是原点，所以μ等于0。

![chart_cht_tx_chl_f_28x_29_3D_5Cfrac_7B1_7D_7B_5Csigma_5Csqrt_7B2_5Cpi_20_7D_20_7D_7De_5E_7B-x_5E_7B2_7D_2F2_5Csigma_5E_7B2_7D_7D_chs_120][]

根据一维高斯函数，可以推导得到二维高斯函数：

![chart_cht_tx_chl_G_28x_2Cy_29_3D_5Cfrac_7B1_7D_7B2_5Cpi_20_5Csigma_20_5E_7B2_7D_7De_5E_7B-_28x_5E2_2By_5E2_29_2F2_5Csigma_5E2_7D_chs_80][]

有了这个函数 ，就可以计算每个点的权重了。

四、权重矩阵

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

![bg2012111410.png][]

更远的点以此类推。

为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

![bg2012111411.png][]

这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

![bg2012111412.png][]

五、计算高斯模糊

有了权重矩阵，就可以计算高斯模糊的值了。

假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

![bg2012111413.png][]

每个点乘以自己的权重值：

![bg2012111414.png][]

得到

![bg2012111416.png][]

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。

对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片，可以对RGB三个通道分别做高斯模糊。

六、边界点的处理

如果一个点处于边界，周边没有足够的点，怎么办？

一个变通方法，就是把已有的点拷贝到另一面的对应位置，模拟出完整的矩阵。

七、参考文献

\* [How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries][]

（完）

[bg2012111401.jpg]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111401.jpg
[Link 1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_blur
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
[bg2012111402.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111402.png
[Link 3]: http://en.wikipedia.org/wiki/Smoothing
[bg2012111403.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111403.png
[bg2012111404.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111404.png
[bg2012111405.jpg]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111405.jpg
[bg2012111406.jpg]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111406.jpg
[bg2012111407.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111407.png
[bg2012110708.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012110708.png
[Link 4]: http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
[chart_cht_tx_chl_f_28x_29_3D_5Cfrac_7B1_7D_7B_5Csigma_5Csqrt_7B2_5Cpi_20_7D_20_7D_7De_5E_7B-_28x-_5Cmu_20_29_5E_7B2_7D_2F2_5Csigma_5E_7B2_7D_7D_chs_120]: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma%5Csqrt%7B2%5Cpi%20%7D%20%7D%7De%5E%7B-%28x-%5Cmu%20%29%5E%7B2%7D%2F2%5Csigma%5E%7B2%7D%7D&chs=120
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[chart_cht_tx_chl_G_28x_2Cy_29_3D_5Cfrac_7B1_7D_7B2_5Cpi_20_5Csigma_20_5E_7B2_7D_7De_5E_7B-_28x_5E2_2By_5E2_29_2F2_5Csigma_5E2_7D_chs_80]: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=G%28x%2Cy%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20%5Csigma%20%5E%7B2%7D%7De%5E%7B-%28x%5E2%2By%5E2%29%2F2%5Csigma%5E2%7D&chs=80
[bg2012111410.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111410.png
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[bg2012111416.png]: http://image.beekka.com/blog/201211/bg2012111416.png
[How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries]: http://www.swageroo.com/wordpress/how-to-program-a-gaussian-blur-without-using-3rd-party-libraries/