Dijkstra算法原理

逃离我推掉我的手 2022-07-12 09:12 27阅读 0赞

**Dijkstra算法**

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E\[i\] 的长度为 w\[i\]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"\[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞\]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

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以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

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**初始状态**：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！  
**第1步**：将顶点D加入到S中。  
    此时，S=\{D(0)\}, U=\{A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)\}。     注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

**第2步**：将顶点C加入到S中。  
    上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。  
    此时，S=\{D(0),C(3)\}, U=\{A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)\}。

**第3步**：将顶点E加入到S中。  
    上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。  
    此时，S=\{D(0),C(3),E(4)\}, U=\{A(∞),B(13),F(6),G(12)\}。

**第4步**：将顶点F加入到S中。  
    此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6)\}, U=\{A(22),B(13),G(12)\}。

**第5步**：将顶点G加入到S中。  
    此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)\}, U=\{A(22),B(13)\}。

**第6步**：将顶点B加入到S中。  
    此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)\}, U=\{A(22)\}。

**第7步**：将顶点A加入到S中。  
    此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)\}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：**A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)**。

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