NYOJ 247 SPFA算法

浅浅的花香味﹌ 2022-06-17 10:28 156阅读 0赞

## 虚拟的城市之旅 ##

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难度： 6

描述

展馆是未来城市的缩影，个人体验和互动是不变的主题。在A国展馆通过多维模式和高科技手段，引领参观者在展示空间踏上一段虚拟的城市之旅。

梦幻国有N个城市和M条道路，每条道路连接某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这M条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路。

梦幻国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

现在你已踏上一段虚拟的城市之旅。为了给你一个意外收获，允许你在旅游的同时，利用 X 商品在不同城市中的差价赚回一点旅费，但最多只能交易一次。即,在某个城市买入X 商品，可以走到另外一个城市买掉来获得旅费。当然，在赚不到差价的情况下，你也可以不进行贸易活动。

设梦幻国N个城市的标号从1~ N，你只能从1 号城市出发，并最终在N 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有N个城市。

例如：梦幻国有5个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。假设 X 商品在1~5 号城市的价格分别为 4，3，5，6，1。

![20110423172507_23501.jpg][]

你可以选择如下一条线路：1235，并在2 号城市以3 的价格买入X 商品，在3号城市以5 的价格卖出X 商品，赚取的旅费数为2。

你也可以选择如下一条线路14545，并在第1次到达5号城市时以1的价格买入X 商品，在第2次到达4号城市时以6 的价格卖出X 商品，赚取的旅费数为5。

现在给出N个城市的X 商品价格，M条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请问你能赚取尽可能多的旅费吗。

输入

有多组测试数据（以EOF为文件结束的标志）  
每组测试数据的格式如下：  
第一行：N M 分别表示城市的数目和道路的数目。  
第二行：N个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示1到N个城市的商品价格。  
接下来 M行，每行有3个正整数，X，Y，Z，每两个整数之间用一个空格隔开。  
如果 Z=1，表示这条道路是城市X到城市Y之间的单向道路；  
如果Z=2，表示这条道路为城市X 和城市Y之间的双向道路。  
  
1≤N≤100000，1≤M≤500000，  
1≤X，Y≤N，1≤Z≤2，1≤商品价格≤100。

输出

输出1个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出0。

样例输入

5 5
    4 3 5 6 1
    1 2 1
    1 4 1
    2 3 2
    3 5 1
    4 5 2

样例输出

#include <stdio.h>
    #include <string.h>
    #include <algorithm>
    #include <queue>
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    const int Max_N = 100005;
    using namespace std;
    queue<int> Q;
    struct Node
    {
    	int v;
    	int next;
    }edge[Max_N*5];
    
    int head1[Max_N];
    int head2[Max_N];
    int dis1[Max_N];
    int dis2[Max_N];
    bool vis1[Max_N];
    bool vis2[Max_N];
    int n,m,num;
    
    void add_edge(int u,int v)
    {
    	edge[num].v = v;
    	edge[num].next = head1[u];
    	head1[u] = num++;
    
    	edge[num].v = u;
    	edge[num].next = head2[v];
    	head2[v] = num++;
    }
    
    void SPFA_1(int s)//正向求 1 到所有的最短路径
    {
    	int i;
    	memset(vis1,false,sizeof(vis1));
    	Q.push(s);
    	vis1[s] = true;
    	while(!Q.empty())
    	{
    		int u = Q.front();
    		Q.pop();
    		for(i=head1[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    		{
    			int v = edge[i].v;
    			dis1[v] = min(dis1[v],dis1[u]);
    			if(vis1[v]==false)
    			{
    				vis1[v] = true;
    				Q.push(v);
    			}
    
    		}
    	}
    
    }
    void SPFA_2(int e)	//反向求 n到所有的最大距离
    {
    	int i;
    	memset(vis2,false,sizeof(vis2));
    	Q.push(e);
    	vis2[e] = true;
    	while(!Q.empty())
    	{
    		int u = Q.front();
    		Q.pop();
    		for(i=head2[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    		{
    			int v = edge[i].v;
    			dis2[v] = max(dis2[v],dis2[u]);
    			if(vis2[v]==false)
    			{
    				vis2[v] = true;
    				Q.push(v);
    			}
    		}
    	}
    }
    int main()
    {
    	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    	{
    		memset(head1,-1,sizeof(head1));
    		memset(head2,-1,sizeof(head2));
    		int i,j,a,b,c;
    		for(i=1;i<=n;i++)
    		{
    			scanf("%d",&dis1[i]);
    			dis2[i] = dis1[i];
    		}
    		num = 0;
    		for(i=1;i<=m;i++)
    		{
    			scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    			if(c==1)
    			{
    				add_edge(a,b);
    			}
    			else if(c==2)
    			{
    				add_edge(a,b);
    				add_edge(b,a);
    			}
    		}
    		SPFA_1(1);
    		SPFA_2(n);
    		int res = 0;   //不可达为 0
    		for(i=1;i<=n;i++)
    		{
    			if(vis1[i] && vis2[i])//看是否可达
    			{
    				res = max(res,dis2[i]-dis1[i]);
    			}
    		}
    		printf("%d\n",res);
    	}
    	return 0;
    }

转自：[点击此处跳转][Link 1]

**SPFA最快最好用的算法**

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。   
    SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。  
    从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。   
    很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。  
  
    简洁起见，我们约定有向加权图G不存在 负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。  
    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。  
  
spfa的算法思想（动态逼近法）：  
    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行 松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。   
    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis\[j\]>dis\[i\]+w\[i,j\]，如果该式成立则将dis\[j\]减小到dis\[i\]+w\[i,j\]，否则不动。   
    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：  
![s9-4-1.jpg][]  
![s9-4-2.jpg][]  
  
和广搜bfs的区别：  
    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进( 重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。  
  
算法的描述：

void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
        for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离，不在队列
        dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
        vis[s]=true; //源点s入队列
        head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
        while head<tail do {
           head+1;  //队首出队
           v=q[head];  //队首结点v
           vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队
           for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
      	  if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
    	 	dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
    		if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列
        }

最短路径本身怎么输出？  
    在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？  
    我们定义一个path\[\]数组，path\[i\]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path\[v\]=u，记录的工作就完成了。  
    如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了：

c++ code:
    void printpath(int k){
    	if (path[k]!=0) printpath(path[k]);
    	cout << k << ' ';
    }
    
    pascal code:
    procedure printpath(k:longint);
      begin
        if path[k]<>0 then printpath(path[k]);
        write(k,' ');
      end;

spfa算法模板(邻接矩阵)：
    c++ code:
    void spfa(int s){
    	for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每点i到s的距离
    	dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s;  队列初始化,s为起点
    	int i, v, head=0, tail=1;
    	while (head<tail){   队列非空
    		head++; 
    		v=q[head];  取队首元素
    		vis[v]=0;   释放队首结点，因为这节点可能下次用来松弛其它节点，重新入队
    		for(i=0; i<=n; i++)  对所有顶点
    		   if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){  
    				dis[i] = dis[v]+a[v][i];   修改最短路
    				if (vis[i]==0){  如果扩展结点i不在队列中，入队
    					tail++;
    					q[tail]=i;
    					vis[i]=1;
    				}
    		   }
    		
    	}
    }
    
    pascal code:
    procedure spfa(s:longint);
      var i,j,v,head,tail:longint;
      begin
        for i:=0 to n do dis[i]:=99999999;
        dis[s]:=0; vis[s]:=true; q[1]:=s;
        head:=0;tail:= 1;
        while head<tail do
           begin
             inc(head);
             v:=q[head];
             vis[v]:=false;
             for i:=0 to n do
               if dis[i]>dis[v]+a[v,i] then
                 begin
                   dis[i]:= dis[v]+a[v,i];
                   if not vis[i] then
                     begin
                       inc(tail);
                       q[tail]:=i;
                       vis[i]:=true;
                     end;
                 end;
    
          end;
      end;

【程序1】畅通工程 (laoj1138)

某省自从实行了很多年的畅通工程计划后，终于修建了很多路。不过路多了也不好，每次要从一个城镇到另一个城镇时，都有许多种道路方案可以选择，而某些方案要比另一些方案行走的距离要短很多。这让行人很困扰。   
    现在，已知起点和终点，请你计算出要从起点到终点，最短需要行走多少距离。  
输入格式：  
    第一行包含两个正整数N和M(0<N<200,0<M<1000)，分别代表现有城镇的数目和已修建的道路的数目。城镇分别以0～N-1编号。  
    接下来是M行道路信息。每一行有三个整数A,B,X(0<=A,B<N,A!=B,0<X<10000),表示城镇A和城镇B之间有一条长度为X的双向道路。   
    再接下一行有两个整数S,T(0<=S,T<N)，分别代表起点和终点。  
输出格式：  
    输出最短需要行走的距离。如果不存在从S到T的路线，就输出-1。  
样例输入1：  
3 3  
0 1 1  
0 2 3  
1 2 1  
0 2  
样例输入2：  
3 1  
0 1 1  
1 2   
样例输出1：  
2  
样例输出2：  
\-1  
  
【分析】 注意本题可能有结点为0的顶点，我就在这上面wa了很多次。并且有可能两个城镇之间有多条道路，我们要保留最小的那条。

pascal code(邻接矩阵)：
    var i,n,m,s,t,x,y,z:longint; s:起点;t:终点
        a,b:array[0..201,0..201] of longint; b[x,c]存与x相连的第c个边的另一个结点y
        q:array[0..10001] of integer; 队列
        vis:array[0..201] of boolean; 是否入队的标记
        dis:array[0..201] of longint; 到起点的最短路
    procedure spfa(s:longint);
      var i,j,v,head,tail:longint;
      begin
        fillchar(q,sizeof(q),0);
        fillchar(vis,sizeof(vis),false);
        for i:=0 to n do dis[i]:=99999999;
        dis[s]:=0; vis[s]:=true; q[1]:=s; 队列的初始状态,s为起点
        head:=0;tail:= 1;
        while head<tail do 队列不空
           begin
             inc(head);
             v:=q[head]; 取队首元素
             vis[v] := false; 释放结点，一定要释放掉，因为这节点有可能下次用来松弛其它节点
             for i:=1 to b[v,0] do
               if dis[b[v,i]]>dis[v]+a[v,b[v,i]] then
                 begin
                   dis[b[v,i]]:=dis[v]+a[v,b[v,i]]; 修改最短路
                   if not vis[b[v,i]] then 扩展结点入队
                     begin
                       inc(tail);
                       q[tail]:=b[v,i];
                       vis[b[v,i]]:=true;
                     end;
                 end;
    
          end;
      end;
    begin
      read(n, m);  //n结点数;m边数
      fillchar(a,sizeof(a),0);
      for i:=1 to m do
        begin
          readln(x,y,z); x,y一条边的两个结点;z这条边的权值
          if (a[x,y]<>0)and(z>a[x,y]) then continue;如果两顶点间有多条边，保留最小的一条
          inc(b[x,0]);b[x,b[x,0]]:=y;a[x,y]:=z; b[x,0]以x为一个结点的边的条数
          inc(b[y,0]);b[y,b[y,0]]:=x;a[y,x]:=z;
        end;
      readln(s,t); 读入起点与终点
      spfa(s);
      if dis[t]<>99999999 then writeln(dis[t]) else writeln(-1);
    end.  
    
    C++ code(邻接矩阵)：
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int q[10001], dis[201], a[201][201], b[201][201];
    bool vis[201];
    int n, m, s, t;
    void spfa(int s){
    	for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999;
    	dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s;  队列的初始状态,s为起点
    	int i, v, head=0, tail=1;   
    	while (head<tail){    队列不空
    		head++;
    		v=q[head];   取队首元素
    		vis[v]=0;   释放结点，一定要释放掉，因为这节点有可能下次用来松弛其它节点
    		for(i=1; i<=b[v][0]; i++)
    		   if (dis[b[v][i]] > dis[v]+a[v][b[v][i]]){
    				dis[b[v][i]] = dis[v]+a[v][b[v][i]];   修改最短路
    				if (vis[b[v][i]]==0){   扩展结点入队
    					tail++;
    					q[tail]=b[v][i];
    					vis[b[v][i]]=1;
    				}
    		   }
    		
    	}
    }
    int main(){
    	int x, y, z;
    	cin >> n >> m;   //n结点数;m边数
    	for(int i=0; i<m; i++){
    		cin >> x >> y >> z;   x,y一条边的两个结点;z这条边的权值
    		if (a[x][y]!=0 && z>a[x][y]) continue;如果两顶点间有多条边，保留最小的一条
    		b[x][0]++; b[x][b[x][0]]=y; a[x][y]=z;   b[x,0]以x为一个结点的边的条数
    		b[y][0]++; b[y][b[y][0]]=x; a[y][x]=z;
    	}
    	cin >> s >> t;   读入起点与终点
    	spfa(s);
    	if (dis[t]!=99999999) cout << dis[t] << endl;
    	else cout << -1 << endl;
    	return 0;
    }

## spfa优化——深度优先搜索dfs ##

在上面的spfa标准算法中，每次更新（松弛）一个结点u时，如果该结点不在队列中，那么直接入队。  
     但是有负环时，上述算法的时间复杂度退化为O(nm)。能不能改进呢？  
    那我们试着使用深搜，核心思想为 每次从更新一个结点u时，从该结点开始递归进行下一次迭代。

使用dfs优化spfa算法：
    pascal code：
    procedure spfa(s:longint);
      var i:longint;
      begin
        for i:=1 to b[s,0] do  //b[s,0]是从顶点s发出的边的条数
               if dis[b[s,i]]>dis[s]+a[s,b[s,i]] then  //b[s,i]是从s发出的第i条边的另一个顶点
                 begin
                   dis[b[s,i]]:=dis[s]+a[s,b[s,i]];
                   spfa(b[s,i]);
                 end;
      end; 
    
    C++ code：
    void spfa(int s){
    	for(int i=1; i<=b[s][0]; i++)  //b[s,0]是从顶点s发出的边的条数
    	   if (dis[b[s][i]>dis[s]+a[s][b[s][i]]){  //b[s,i]是从s发出的第i条边的另一个顶点
    		dis[b[s][i]=dis[s]+a[s][b[s][i]];
    		spfa(b[s][i]);
    	   }
    }

相比队列，深度优先搜索有着先天优势：在环上走一圈，回到已遍历过的结点即有负环。绝大多数情况下的时间复杂度为O(m)级别。  
    那我们试着使用深搜，核心思想为 每次从更新一个结点u时，从该结点开始递归进行下一次迭代。  
    对于WorldRings(ACM-ICPC Centrual European 2005)这道题，676个点，100000条边，查找负环dfs仅仅需219ms。  
    一个简洁的数据结构和算法在一定程度上解决了大问题。

判断存在负环的条件：重新经过某个在当前搜索栈中的结点。

【程序1】畅通工程 laoj1138 spfa算法(dfs)：
    pascal code：
    var i,n,m,s,t,x,y,z:longint;
        a,b:array[0..201,0..201] of longint;
        q:array[0..10001] of integer;
        vis:array[0..201] of boolean;
        dis:array[0..201] of longint;
    procedure spfa(s:longint);
      var i:longint;
      begin
        for i:=1 to b[s,0] do
               if dis[b[s,i]]>dis[s]+a[s,b[s,i]] then
                 begin
                   dis[b[s,i]]:=dis[s]+a[s,b[s,i]];
                   spfa(b[s,i]);
                 end;
      end;
    begin
      read(n, m);
      fillchar(a,sizeof(a),0);
      for i:=1 to m do
        begin
          readln(x,y,z);
          if (a[x,y]<>0)and(z>a[x,y]) then continue;
          inc(b[x,0]);b[x,b[x,0]]:=y;a[x,y]:=z;
          inc(b[y,0]);b[y,b[y,0]]:=x;a[y,x]:=z;
        end;
      readln(s,t);
      for i:=0 to n do dis[i]:=99999999;
      dis[s]:=0;
      spfa(s);
      if dis[t]<>99999999 then writeln(dis[t]) else writeln(-1);
    end. 
    
    C++ code：
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int q[10001], dis[201], a[201][201], b[201][201];
    bool vis[201];
    int n, m, s, t;
    void spfa(int s){
    	for(int i=1; i<=b[s][0]; i++)
    		if (dis[b[s][i]] > dis[s]+a[s][b[s][i]]){
    				dis[b[s][i]] = dis[s]+a[s][b[s][i]];
    				spfa(b[s][i]);
    		}
    }
    int main(){
    	int x, y, z;
    	cin >> n >> m; 
    	for(int i=0; i<m; i++){
    		cin >> x >> y >> z;  
    		if (a[x][y]!=0 && z>a[x][y]) continue;
    		b[x][0]++; b[x][b[x][0]]=y; a[x][y]=z; 
    		b[y][0]++; b[y][b[y][0]]=x; a[y][x]=z;
    	}
    	cin >> s >> t;
    	for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999;
    	dis[s]=0;
    	spfa(s);
    	if (dis[t]!=99999999) cout << dis[t] << endl;
    	else cout << -1 << endl;
    	return 0;
    }

spfa优化——前向星优化

星形（star）表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。对每个结点，它也是记录从该结点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。也就是说，在该数组中首先存放从结点1出发的所有弧，然后接着存放从节点2出发的所有孤，依此类推，最后存放从结点n出发的所有孤。对每条弧，要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号，只是从同一结点出发的弧的顺序可以任意排列。此外，为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧，我们一般还用一个数组记录每个结点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。在这种表示法中，可以快速检索从每个结点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星形（forward star）表示法。  
    例如，在下图中，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，0，7，6和3。此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下： ![s9-4-3.jpg][]

前向星存储图：
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int first[10005];
    struct edge{
    	int point,next,len;
    } e[10005];
    void add(int i, int u, int v, int w){
    		e[i].point = v;
    		e[i].next = first[u];
    		e[i].len = w;
    		first[u] = i;
    }
    int n,m;
    int main(){
    	int u,v,w;
    	cin >> n >> m;
    	for (int i = 1; i <= m; i++){
    		cin >> u >> v >> w;
    		add(i,u,v,w);
    	}  //这段是读入和加入
    	for (int i = 0; i <= n; i++){
    		cout << "from " << i << endl;
    		for (int j = first[i]; j; j = e[j].next)  //这就是遍历边了
    			cout << "to " << e[j].point << " length= " << e[j].len << endl;
    	}
    }

[20110423172507_23501.jpg]: http://acm.nyist.net/JudgeOnline/admin/kind/attached/20110423172507_23501.jpg
[Link 1]: http://www.layz.net/LAOJ/suanfa/s9-4.html
[s9-4-1.jpg]: http://www.layz.net/LAOJ/suanfa/pic/s9-4-1.jpg
[s9-4-2.jpg]: http://www.layz.net/LAOJ/suanfa/pic/s9-4-2.jpg
[s9-4-3.jpg]: http://www.layz.net/LAOJ/suanfa/pic/s9-4-3.jpg