#51 D. Beautiful numbers （数位dp+离散化）

小咪咪 2022-06-17 03:44 180阅读 0赞

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http://codeforces.com/contest/55/problem/D

题意：

定义：Beautiful Numbers : 这个数能整除它的所有位上非零整数。问你\[ l , r \] 之间的Beautiful Numbers的个数。

题解：

数位dp。

如果一个数能整除它的所有的非零数位，那么相当于它能整除个位数的最小公倍数。因此记忆化搜索中的参数除了len(当前位)和flag（是否达到上界），有一个pre\_lcm表示前面的数的最小公倍数，判断这个数是否是Beautiful Numbers，还要有一个参数表示前面数，但是这个数太大，需要缩小它的范围。

解决方法：

缩小前面组成的数的范围。  
可以发现所有个位数的最小公倍数是2520，假设当前的Beautiful Numbers是x，  
那么 x % lcm\{ dig\[ i \] \} = 0,  
又 2520%lcm\{ dig\[ i \] \} = 0。  
那么x%2520%lcm\{ dig\[i\] \} = 0，x范围由9\*10^18变为2520。

经过分析后可以设出dp\[20\]\[2520\]\[2520\]，dp\[ i \] \[ j \]\[ k \]表示处理到i位，前面的数的最小公倍数为j，前面的数%2520为k。这样做居然会TLE...明显爆内存...

因为1~9组成的最小公倍数只有48个，1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 ,10 ,12 ,14 ,15 ,18, 20, 21 ,24, 28, 30 ,35, 36, 40 ,42, 45, 56, 60, 63, 70 ,72 ,84 ,90 ,105 ,120, 126, 140 ,168 ,180 ,210, 252, 280, 315 ,360, 420, 504 ,630 ,840, 1260 ,2520。一共48个。 可以离散化，这样数组就降到了dp\[20\]\[50\]\[2520\]。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int max_lcm=2520;
    int dig[25];
    int Hash[2525];
    ll dp[25][50][2525];
    
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
    	return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
    ll lcm(ll a,ll b)
    {
    	return a/gcd(a,b)*b;
    }
    ll dfs(int len,int pre_lcm,int pre_num,int flag)
    {
    	if(len==0)
    	{
    		return pre_num % pre_lcm ==0;
    	}
    	if(!flag && dp[len][ Hash[pre_lcm] ][pre_num]!= -1 )
    	return dp[len][ Hash[pre_lcm] ][pre_num];
    	int n = flag ? dig[len] : 9;
    	ll res = 0;
    	for(int i=0;i<=n;i++)
    	{
    		int now_num = (pre_num * 10 +i) % max_lcm;
    		int now_lcm = pre_lcm;
    		if(i) now_lcm = lcm(pre_lcm,i);
    		res += dfs(len-1,now_lcm,now_num,flag&&i==n);
    	}
    	if(!flag){
    		dp[len][Hash[pre_lcm]][pre_num] = res;
    	}
    	return res;
    }
    ll cal(ll num)
    {
    	int len=0;
    	while(num)
    	{
    		dig[++len]=num%10;
    		num/=10;
    	}
    	return dfs(len,1,0,1);
    }
    
    int main()  
    {  
    	//freopen("in.txt","r",stdin);
    	int t;
    	ll a,b;
    	int cnt=0;
    	for(int i=1;i<=2520;i++)
    	{
    		if(max_lcm%i==0){
    			Hash[i]=++cnt;
    		}
    	}
    	cin>>t;
    	memset(dp,-1,sizeof(dp));
    	while(t--)
    	{
    		scanf("%I64d %I64d",&a,&b);
    		//cout<<cal(b)-cal(a-1)<<endl;
    		printf("%I64d\n",cal(b)-cal(a-1));
    	}
        return 0;  
    }

[Link 1]: http://codeforces.com/contest/55/problem/D